zu a)

Solche Aufgaben "in Abhängigkeit von" wirst du bis zur Abschlussprüfung immer wieder bekommen. Du musst dir dann einen Schieberegler vorstellen, wie du ihn links im Arbeitsblatt für "x" findest. Wenn du diesen Schieberegler für "x" betätigst, siehst du die "Abhängigkeit". Das rote Rechteck verändert sich je nach dem gewählten x-Wert. Es ist "abhängig von x".

In deinem Heft oder in einer Prüfung hast du keinen Schieberegler zur Verfügung. Also was macht der Aufgabensteller? Er lässt dich für einen bestimmten x-Wert ein Beispiel zeichnen und wendet sich an deine Vorstellungskraft.

Mit der Beispiel-Zeichnung hast du eine Skizze, die dir beim Nachdenken hilft. Wenn du die nicht hinkriegst, ist es allerdings nichts mit dem Nachdenken. Es ist eigentlich nur ein sprachliches Problem. Du musst verstehen, was von dir verlangt wird. Mit ein wenig Übung verliert sich die Fremdheit der Aufgabenstellung und du schaffst es sicher.

zu f)

Eigentlich hast du die Antwort in der letzten Aufgabe schon gesehen. Du brauchst eine Vermutung. Mit der letzten Aufgabe und Schieberegler vermutest du: Wenn x = 1 ist, dann ist das Rechteck ein Quadrat, d.h. die Seiten sind gleich lang.

Für die Länge gilt:

Länge = 7 - x= 7 -1= 6 LE

Für die Breite gilt;

Breite =4+2x=4+2*1= 6 LE

=> Für x = 1 ist das Rechteck ein Quadrat.

Für den rechnerischen Nachweis musst du die Teilterme gleichsetzen:

7 - x = 4 + 2x |+x

7 = 4 + 3x |-4

3 = 3x |: 3

x = 1

Alles klar?

Fortsetzung zu e)

Es gibt 'ne Menge Methoden für die Prozentrechnung. Und ich weiß nicht, welche dein(e) LehrerIn bevorzugt. Ich bin äußerst altmodisch und bevorzuge den Dreisatz. Dieses Werkzeug ist uralt, universal anwendbar, sozusagen eine Kombizange (Weißt wieder nicht, was das ist? Oderrr?) und jeder begreift seine Anwendung.

100 % <=> 40,5 FE

1 % <=> 0,405 FE

? % <=> 36 FE

NR: 36 : 0,405 = 88,89

36 FE <=> 88,89 % gerundet

Also ich habe hier den GTR benutzt, sonst ist es mühsam.

Gefragt ist hier aber nach der Verringerung!

NR: 100 % - 88,89 % = 11,11%

Antwort: Der Flächeninhalt ist um 11,11 % geringer.

Du solltest Prozentzahlen immer auf 2 Kommastellen genau berechnen!

zu e)

Daran musst du dich gewöhnen. Eine Prozentrechnung ist meistens auch immer dabei. In einer Prozentrechnung gibt es immer eine Vergleichsgröße. Mit dieser Vergleichsgröße sollst du eine 2. Größe vergleichen. Die Vergleichsgröße entspricht immer 100 %.

Mit welcher Größe soll hier verglichen werden? Die Vergleichsgröße ist hier der maximale Fllächeninhalt.

Welche Größe soll verglichen werden? Es ist der Flächeninhalt des Rechtecks, wenn x = 1 ist. Genauer es ist der Unterschied zum Extremwert. Und diesen Flächeninhalt müssen wir erst einmal berechnen.

A = (7 - x) (4 + 2x)

A = (7 - 1) (4 + 2*1)

A = 6 * 6 = 36 FE

d.h. die Vergleichsgröße ist 40,5 FE <=> 100 %
und die zu vergleichende Größe ist 36 FE.

Mit dem Dreisatz geht es weiter!

zu d)

Jetzt schalte links erst einmal "Flächeninhalt" ein und versuche mit dem Schieberegler den Extremwert und den zugehörigen x-Wert zu bestimmen. Damit kennst du zumindest schon einmal das Ergebnis der nachfolgenden Rechnung.

T(x) = (7 - x) (4 + 2x) =

28 + 14x - 4x - 2x² =

-2x² + 10x + 28 =

-2 [x² - 5x] + 28 =

a² = x² => a = x

2ab = 5x = 2*x*2,5

=> b = 2,5

-2[(x²-5x+2,5²)-2,5²]+28=

-2 [(x - 2,5)² - 6,25] + 28

-2 (x - 2,5)² + 12,5 + 28

-2 (x - 2,5)² + 40,5

A_max = 40,5 FE für x = 2,5

zu c)

Für einen Flächeninhalt brauchst du die Flächenformel. Du wirst noch viele Flächenformeln kennenlernen, und wissen müssen, wo sie in der Formelsammlung stehen.

Für eine Rechtecksfläche gilt:

A = Länge mal Breite

Länge und Breite sind hier aber von "x" abhängig.

Länge = (7 - x)

Breite = (4 + 2x)

damit gilt:

A = (7 - x) (4 + 2x)

Damit hast du eigentlich die Aufgabe c) erfüllt. Du solltest den Flächeninhalt in Abhängigkeit von "x" darstellen.

Doch für eine Extremwertbestimmung reicht diese Darstellung nicht aus. Du musst erst noch einige Termumformungen vornehmen. Aber diese Termumformungen gehören in die nächste Teilaufgabe.

zu b)

Mit dem Schieberegler links siehst du es. Aber wie ist es ohne Schieberegler? Eine Seite verlängern, das ist kein Problem. Hier sind dir keine Grenzen gesetzt. Aber wenn eine Seite verkürzt wird, dann ist die Seitenlänge eine absolute Begrenzung.

Die kleinste Verkürzung ist gar keine Verkürzung d.h. x = 0. Die größte Verkürzung ist x=Seitenlänge.

Hier kannst du also nur
x-Werte zwischen 0 und 7 wählen.

So jetzt musst du dieses Ergebnis deiner Überlegung noch in Intervallschreibweise zu Papier bringen.

Hier müsstest du schreiben:

x [0;7]

Die eckigen Klammern symbolisieren eine Strecke auf der Zahlengeraden. So ein Abschnitt auf der Zahlengeraden, genannt Intervall, wird durch seine Grenzzahlen beschrieben. Die Grenzzahlen sind hier 0 und 7.

zu a)

Für den Flächeninhalt gilt:

mit

= x cm und

=(10 -2x) cm

Warum? Die grünen Dreiecke links und rechts sind auch rechtwinklig-gleichschenklige Dreiecke. Demnach musst du von der Basislänge 2x cm abziehen.

A = [x (10 - 2x)] cm²

A = [-2x² + 10x] cm²

Für den Umfang gilt:

u = 2+ 2

u = [2x + 2 (10 - 2x)] cm

u = [2x + 20 - 4x] cm

u = [20 - 2x] cm

zu e)

Ich hoffe, du bist auf die 50% auch ohne Rechnung gekommen. Sonst hättest du ein Problem mit dem Prozentrechnen. Aber das ist hier nicht mein Thema.

zu f)

Wenn das Rechteck zum Quadrat wird gilt:

=

x = 10 - 2x | + 2x

3x = 10 | : 3

x =

zu e)

Du erhältst zwei gleichschenklig-rechtwinklige Teildreiecke, die absolut gleich sind. du kannst sie zu einem Quadrat zusammensetzen.

Welche Seitenlänge hat dieses Quadrat und damit welchen Flächeninhalt?

Die Seitenlänge beträgt 5 cm und damit der Flächeninhalt des Dreiecks ABC 25 cm².

Damit hast du die Vergleichsgröße, den Grundwert, in der Prozentrechnung berechnet.

Jetzt brauchst du noch die zu vergleichende Größe, die Rechteckfläche für x = 2,5.

A(x) = (-2x² + 10x) cm²

A=( -2*2,5² + 10*2,5) cm²

A= (-12,5 + 25) cm²

A= 12,5 cm²

Es ist demnach halb so groß wie das Dreieck. Wie viel Prozent sind das? Du wirst doch hier nicht den Dreisatz verwenden wollen?

zu d)

Du bist mit der Aufgabe d) noch nicht fertig. Du musst noch für x=2,5 den Umfang ausrechnen.

u(x) = (20 - 2x) cm

u(2,5) = (20 - 2*2,5) cm

u(2,5) = 15 cm

Nein, dass vom Flächeninhalt her größtmögliche Rechteck hat nicht den größtmöglichen Umfang.

zu e)

Du weißt nicht wie du die Dreiecksfläche berechnen sollst. Du hast recht die Formel zur Dreiecksflächenberechnung liegt noch in ferner Zukunft. Aber die brauchst du hier auch nicht.

Das Dreieck ist so besonders, dass du mit der Rechteckformel auskommst.

Wenn du das Dreieck ABC entlang der Symmetrieachse auseinanderschneidest, was erhältst du dann?

zu c)

A(x) = [-2x² + 10x] =

- 2 [x² - 5x] =

a² = x² => a = x

2ab = 5x = 2*x*2,5

=> b = 2,5

-2 [(x² - 5x + 2,5²) -2,5²] =

-2 [(x - 2,5)² - 6,25] =

-2(x - 5)² + 12,5

A_max = 12,5 cm² für x = 2,5

zu d)

Welches ist den überhaupt der größtmögliche Umfang?

u(x) = 20 - 2x

Von 20 subtrahierst du immer etwas, außer wenn x = 0. Also ist 20 cm der größtmögliche Umfang. Auch wenn du dann gar kein Rechteck mehr hast.

zu b)

Mit dem Schieberegler links siehst du es. Aber wie ist es ohne Schieberegler? Wie groß kann x maximal werden?

Es gilt: x [0;5]

Die eckigen Klammern symbolisieren eine Strecke auf der Zahlengeraden. So ein Abschnitt auf der Zahlengeraden, genannt Intervall, wird durch seine Grenzzahlen beschrieben. Die Grenzzahlen sind hier 0 und 5.

Kannst du begründen, warum 5 der größtmögliche x-Wert ist?

Die Höhe h_c teilt das gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck ABC wiederum in zwei gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke. Damit ist h_c halb so lang wie die Basis [AB] .

Du kannst noch ein paar andere Begründungen finden. Doch jetzt geht es zur Extremwertbestimmung. Versuche es erst selber.