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Algebra mit Spaß lernen

 

Geraden geschnitten, Gleichungen gelöst 1
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen - Graphische Lösung

 
     
 

Ich freue mich, dass du mit mir zusammen ein neues Thema angehen willst. Sei herzlich willkommen. Zunächst einmal musst du ein paar Kenntnisse über Geraden vom Oktober/November reaktivieren.

Was ist ein lineares Gleichungssystem?

Wenn du zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen, also zwei Geradengleichungen, durch ("und zugleich") verknüpfst, entsteht ein lineares Gleichungssystem. Die Lösung erhältst du als Koordinaten des Schnittpunktes S der beiden Geraden g und h, die zu den beiden Gleichungen gehören. Die Lösung erfüllt die beiden Gleichungen gleichzeitig.

Mit dem Arbeitsblatt unten kannst du jede Menge von linearen Gleichungssystemen grafisch lösen. Wie das funktioniert erkläre ich dir wie immer im rechten Rand. Schiebe dazu das Arbeitsblatt am roten Balken nach links bis der Rand frei liegt. Dann blende meine Plaudereien ein, indem du auf 1, 2, 3, usw. klickst.

 
 

 

 
 
1
2
3
             
 
     
 
   
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)    
 
 

In der Schule hast natürlich kein dynamisches GeoGebra-Arbeitsblatt zur Verfügung. Nichtsdestotrotz kannst du ein lineares Gleichungssystem auch durch eine schlichte Zeichnung lösen. Doch das will ich dir gar nicht zumuten. Wozu hast du soviel Geld für den graphischen Taschenrechner ausgegeben? Der kann nämlich auch grafische Lösungen bestimmen. Aber ich zeige es nur für den GTR, der an meiner Schule verwendet wird. Es ist dies der CASIO CFX-9850GC PLUS. Auf älteren CASIO-GTRs funktioniert es ähnlich.

Grundsätzlich kannst du mit allen grafischen Taschenrechnern lineare Gleichungssysteme grafisch lösen. Doch da musst du selber das Handbuch bemühen.

 
     
 

Aufgabe2:

Löse nachfolgendes lineares Gleichungssystem grafisch mit dem GTR.

 

 
 
  Voraussetzung ist, dass die Gleichungen nach der Variablen y aufgelöst sind. Du wählst im Hauptmenü das Menü GRAPH.
 
 

 

 
 
 

In der 1. Zeile oben sollte y= stehen. Falls das nicht der Fall ist, dann ist der falsche Typ eingestellt. In der untersten Zeile siehst du das Untermenü. Du erreichst die Menüpunkte mit den Funktionstasten F1 bis F6. Mit F3 wählst du das Untermenü TYPE. Wähle dort mit F1 y=. Möglicherweise steht etwas schon drin. Du stellst mit den Pfeiltasten den schwarzen Balken darauf und wählst unten mit F2 DEL für delete=löschen. => F1 YES

     

Jetzt gibst du bei y1 den Rechtsterm 0.5x-4 und bei y2 den Rechtsterm 3x+1 ein. Du bestätigst jedesmal mit EXE. Das x findest du unter der roten Alpha-Taste.

Jetzt lässt du die Geraden zeichnen und zwar mit F6 DRAW. Sollte dein Koordinatensystem anders ausschauen als meines, dann wähle mit F3 V-WINDOW. Wähle dort im Untermenü F3 STD für Standard. Bestätige mit EXE.

 
     
 

Dieses Standard-Koordinatensystem reicht für die meisten Zwecke völlig aus. Es reicht auf beiden Achsen jeweils von -10 bis 10. Beachte bitte, dass dadurch das Bild etwas gestaucht ist.

Jetzt wählst du mit F5 G-SOLV. Unter den beiden Geraden erscheint ein Untermenü (siehe Bild unten).

     
Das Untermenü, das du rechts siehst, ist eines der nützlichsten untermenüs für dich, z.B. mit F1 ROOT kannst du dir die Nullstellen einer Funktion berechnen lassen. Mit F2 MAX und F3 MIN kannst du dir Extremwerte quadratischer Terme berechnen lassen. F4 Y-ICPT (intercept) zeigt dir den Schnittpunkt einer Funktion mit der y-Achse, bei Geraden ist es der y-Achsenabschnitt.  
     
 

Mit F5 ISCT (intersect) kannst du dir die Koordinaten eines Schnittpunktes von Funktionen anzeigen lassen. Das klappt nicht nur mit Geraden, sondern auch mit den Funktionen, die du nächstes Jahr kennenlernst.

Es reicht leider nicht aus, dass du nur die Lösung angibst. Dein Lösungsweg muss nachvollziehbar sein, d.h. du musst deine Tastatureingaben beim GTR dokumentieren:

     

Lösung:

GRAPH Gleichungen eingeben - F6 - F5 - F5

=> = {(-2/-5)}

  Du gibst dein Menü an mit dem du arbeitest, dann die Folge der notwendigen Funktionstasten. Dabei kannst du alles weglassen, was nicht unmittelbar zur Aufgabe gehört z.B. die Einstellung des Koordinatensystems.
 
     
 

In der Abschlussprüfung in Bayern ist eine ordentlich dokumentierte Lösung, wie oben, eine vollgültige Lösung. Du bekommst die volle Punktzahl. So halte ich es auch in meinen Schulaufgaben und Stegreifaufgaben, außer ich verlange ausdrücklich eine Lösung ohne GTR. Benutzt du dann trotzdem den GTR, ziehe ich Punkte ab. Aber ich weiß, dass mancher Kollege den graphischen Taschenrechner für den Untergang der Mathematik hält. Du musst deinen Lehrer fragen, ob er eine Lösung mit GTR als vollgültige Lösung anerkennt. Wenn er in der Aufgabenstellung nicht ausdrücklich "ohne GTR", d.h. ohne all die Fähigkeiten, die der GTR neben den Rechenfähigkeiten noch hat, verlangt, muss er die Lösung eigentlich akzeptieren. Eine Klage vor dem Verwaltungsgericht könnte sich lohnen.

Aber niemand kann einen Schüler daran hindern seine "zu Fuß" berechneten Lösungen mit dem GTR zu überprüfen. Und ehe du deine falsche Berechnung stehen lässt, streiche sie durch, und schreibe die GTR-Lösung hin, natürlich mit Dokumentation.

 
     
 

Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen

1. eine Lösung

Haben die zugehörigen Geraden eine unterschiedliche Steigung, dann gibt es einen Schnittpunkt und somit eine Lösung.

 
     
  2. keine Lösung  
     
 
 

Die zugehörigen Geraden haben gleiche Steigung, aber unterschiedliche y-Achsenabschnitte. Die Geraden sind parallel. Es gibt keinen Schnittpunkt und somit keine Lösung.

=

Dein GTR zeigt Not Found an.

     
3. unendlich viele Lösungen    
     
 

Die zugehörigen Geraden haben gleiche Steigung und gleiche y-Achsenabschnitte. Die Geraden sind identisch. Somit gibt es unendlich viele Lösungen.

= {(x|y)|y=0,5x+1}

Vorsicht! Dein GTR zeigt scheinbar eine Lösung an. Es ist aber nur die erste im sichtbaren Bereich. Mit den Pfeiltasten kannst du dir weitere anzeigen lassen. Lass dich hier

 
  nicht irre machen. Manchmal musst du trotz GTR auch selber noch etwas denken.  
 

 

 

 
 
 
 
     
 
Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 19:38 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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Aufgabe 3:

Ermittle grafisch die Lösungsmenge mithilfe des GTR.

a)

Hinweis: Mittels der ab/c -Taste kannst du durchaus auch Brüche eingeben. Das x findest du unter der roten Alpha-Taste.

Lösung einblenden hier...

 

b)

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c)

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d)

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