Figurine12
 
 
 
Erst den rechten Rand lesen!
 
So hier findest Du die Anzahl der Reiskörner auf jedem der 64 Felder des Schachbretts.
 
1
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
2048
4096
8192
16384
32768
65536
131072
262144
524288
1048576
2097152
4194304
8388608
16777216
33554432
67108864
134217728
268435456
536870912
1073741824
2147483648
4294967296
8589934592
17179869184
34359738368
68719476736
137438953472
274877906944
549755813888
1099511627776
2199023255552
4398046511104
8796093022208
17592186044416
35184372088832
70368744177664
140737488355328
281474976710656
562949953421312
1125899906842624
2251799813685248
4503599627370496
9007199254740992
18014398509481984
36028797018963968
72057594037927936
144115188075855872
288230376151711744
576460752303423488
1152921504606846976
2305843009213693952
4611686018427387904
9223372036854775808
______________________
18446744073709551615
 

Nehmen wir an unser Reiskorn ist 5 mm lang und der Durchmesser ist 2 mm. Nun sind die Dinger nur sehr näherungsweise zylindrisch. Rechnerisch gehen dann ca. 64 Körner auf den cm³. Ich habe es ausgezählt, es ist zu hoch. 50 Körner pro cm³ ist realistischer.

18446744073709551615 : 50 =
368934881474191032 cm³ =
368934881474 m³ =
369 km³

Ein Reiskorn wiegt etwa 0,03 g, d.h. 1 l Reis wiegt etwa 1,5 kg und 1 m³ wiegt 1,5 t und 1 km³ wiegt 1500 Millionen t

Buddhiram hat 553500 Millionen t Reis zu bekommen. Das ist 'ne ziemliche Menge, wenn man bedenkt, dass es das 1000-fache der jährlichen Weltreisernte ist.

Manche Reisfelder liefern 8 t Reis pro Hektar andere nur 3 t. Nehmen wir den Mittelwert 5,5 t/ha. Um den Reis für Buddhiram anzubauen bräuchten wir also eine Fläche von 100636363636 ha.

1 ha = 0,01 km²

1 km² = 100 ha

Wir brauchen also 1006363636 km² Anbaufläche. Die Erdoberfläche beträgt etwa 510 Millionen km². Wir bräuchten also 2 komplette Erdoberflächen um den Reis für Buddhiram innerhalb eines Jahres zu erzeugen. Wir müssten zwischen den Reisfeldern schlafen.

Berücksichtigt man, dass der Ertrag pro Hektar damals lausig war und überhaupt nicht zu vergleichen mit den heutigen Hektarerträgen, dann enthielt die Aussage unseres Ober-Hof-Haupt-und Chefmathematikers zwar die richtige Botschaft. Aber es war eine lausige Berechnung.

 

Algebra mit Spaß lernen

 
Funktionen light 2
Exponentialfunktionen
 
     
 

Was sagst Du? x = 0 ! Meine Güte, ich habe ja noch gar nicht angefangen. Heut' bin ich aber auf einen hoch motivierten Schüler gestoßen. Aber wo Du recht hast, hast Du recht. Schön, dass Du Dich an die Potenzen und die Potenzgesetze erinnerst. Die werden wir nämlich brauchen und ich will nicht bei Adam und Eva anfangen müssen.

Dann weißt Du sicher auch was 25 oder 210 ist ? Was aber ist 20,5 ? Was sagst Du ? Es sei nur eine andere Schreibweise für Ö2. Na gut, ich hab' Dich wieder nicht erwischt. Du hast wirklich im Unterricht gut aufgepasst. Dann kannst Du sicher auch diese Gleichungen lösen:

Ö2 = 2x    =>     Ö2 = 20,5    =>   x = 0,5

4 = 2x    => x = 2

125 = 5x    => x = 3

3,45201 = 2x    => ?

 
     
 
Was hat der Kaninchen-Graph mit der Lösung der letzten Gleichung zu tun ? Geh' ruhig mal mit der Maus über die Kaninchen. Du hast keinen Plan ? Dann bist Du hier richtig und solltest weiter lesen. Was sagst Du? So 'was wie die letzte Gleichung sei nicht lösbar, das gibt es nicht ? Abwarten und Tee trinken.

Wenn die schöne Unbekannte, 'tschuldigung Variable x, im Exponenten auftaucht, nennt man so eine Gleichung Exponentialgleichung. Der Name klingt schrecklich. Es sind nur Gleichungen und die hast Du bisher auch lösen können.
 
     
 

Jetzt will ich Dir mal ' ne richtig schön fette Exponentialgleichung zeigen, nicht um Dich abzuschrecken, sondern um Dich stolz zu machen. Denn bis Du hier unten angelangt bist, wirst Du sie lösen können.

3,451087 = 2,34 · 2(x+2) - 8,7

So könnte eine Exponentialgleichung auch aussehen ? Beruhige Dich ! So etwas musst Du an der bayerischen Realschule selbst in Wahlfachgruppe 1 selten lösen. Aber ich wette mit Dir um ein virtuelles Bier/ Cola, Du kannst es, wenn Du diese Site ( graphische Lösungsmethode) aufmerksam gelesen und mitgemacht hast.

 
     
 
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

In dem Applet links siehst Du 2 Schieberegler. Stelle den Schieberegler a auf 1 und den Schieberegler b auf 2. Was siehst Du ?


Handelt es sich hier um den Graphen einer Funktion?

Richtig, es handelt sich um eine Funktion, weil es keine Punkte gibt, die übereinander liegen. Über dem Graphen steht y = 2x . Es ist die Gleichung, die den Graphen beschreibt. Was hier dargestellt wird, ist die Exponentialfunktion (Ufffffffffffff!) y = 2x .

'tschuldigung, Exponentialfunktion heißt es deshalb, weil die Variable x im Exponenten steht und dass es eine Funktion ist, davon haben wir uns ja schon überzeugt.

     
 

Gehen wir zurück zu unser Exponentialgleichung ganz oben, die wir nicht lösen konnten.

3,45201 = 2x

Theoretisch müssten wir sie mit unserem Applet lösen können. Wir suchen einen Punkt auf dem Graphen, dessen y-Wert 3,45201 ist. Also gehen wir auf der y-Achse um 3,45201 nach oben und dann nach rechts rüber auf den Graphen und lesen den zugehörigen x-Wert ab.


Du gibst zu, dass man so eine Exponentialgleichung mittels des Graphen lösen kann.

Doch zurück zu unserem Applet. Du verstehst noch nicht was unsere Exponentialfunktion 3,45201 = 2x mit den Schiebereglern a und b zu tun haben?

Mit dem Applet kannst Du Exponentialfunktionen der Form y = a · bx darstellen, wobei a (probier es nur aus) und b mit Zahlen zwischen 0 bzw. 0,1 und 4 belegt werden können. Über das, was da noch mehr zulässig ist oder nicht, können wir uns später Gedanken machen.

So und jetzt suchen wir uns einen guten, zoombaren Funktionsplotter und lösen die Gleichung graphisch. Und wie es der Zufall will, hab' ich hier gleich einen:

 
     
 
Als Funktionsterm gibts Du 2^x ein. Dann lässt Du Dir die Funktion anzeigen. Eventuell musst Du erst etwas heraus zoomen um auf dem Funktionsgraphen den Punkt mit dem y-Wert 3,45.... zu finden.
 
 

Nach dem Herauszoomen ziehst Du um diesen Punkt mit der Maus ein Rechteck und zoomst diesen Teil des Graphen. Du suchst wieder diesen Punkt und zoomst diesen Teil des Graphen abermals. Das machst Du ein paarmal. Irgendwann findest Du den Punkt mit dem y-Wert 3,4502..., also 4 Stellen Genauigkeit sollten es schon sein. Lese den Wert für x oben links ab: x = 1,7874...

Diese graphische Lösungsmethode kannst Du übrigens auch mit Deinem Casio-GTR in der Schule anwenden. Damit die Suche nach der Nadel im Heuhaufen bzw. dem Punkt auf dem Graphen etwas einfacher wird, kannst Du folgenden Trick anwenden.

3,45201 = 2x    <=>   0 = 2x - 3,45201

Wir formen unsere Exponentialgleichung so um, dass auf einer Seite 0 steht ? Was das bringt ? Jetzt lässt wohl bei Dir die Konzentration nach ? Wir suchen einen Punkt auf dem Graphen mit der y-Koordinate 0. Vorhin haben wir den Punkt mit zoomen und zittern gefunden. Zoomen müssen wir immer noch, aber nur noch den Schnittpunkt des Graphen mit der x-Achse. Wir haben den Punkt ständig vor Augen.

Weißt Du noch, wie man den Schnittpunkt eines Funktionsgraphen mit der x-Achse nennt ? Richtig, Nullstelle der Funktion. Wir bestimmen hier eine Nullstelle. Zurück zum Applet und die Funktion f(x) = 2x - 3,45201 eingegeben. Was? Fehlermeldung ? Du musst einen Dezimalpunkt setzen! Was y = 3,41... E-7 bedeutet ? Also bitte! Das ist die übliche wissenschaftliche Schreibweise für sehr große bzw. sehr kleine Zahlen hier also

3,41... · 10-7= 0,000000341...

Du siehst, wieviel bequemer es ist mit diesem Trick unsere Exponentialgleichung zu lösen. Damit kannst Du auch die dicke fette Gleichung oben 3,451087 = 2,34 · 2(x+2) - 8,7 lösen. Kopiere Dir hier die Eingabe ab: 2.34*2^(x+2)-8.7-3.451087. Ich komme auf x = 0,37650...

Was hast Du hier gelernt?

  • Du hast gelernt, dass es durchaus sinnvoll ist für den Exponenten einer Potenz reelle Zahlen zuzulassen.

  • Du hast gelernt, wenn bei einer Gleichung die Variable x im Exponenten steht, es sich um eine Exponentialgleichung handelt.

  • Du hast gelernt, dass es Exponentialfunktionen gibt.

  • Du hast gelernt, wie man durch Bestimmen der Nullstellen einer Exponentialfunktion eine Exponentialgleichung mit einer graphischen Methode lösen kann.

Mit Exponentialfunktionen beschreibt man Wachstums- bzw. Abklingprozesse.

 
     
 
Zurück zu Seite 1 geht es hier...
   
 
     

Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 19:39 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

Free counter and web stats

Schach, Reis und Potenzen

Der Legende nach stammt das Schachspiel aus Indien. Das Schachbrett besteht aus 64 Quadraten. Ein König namens Sher Khan war von dem neuen Spiel so begeistert, dass er seiner Armee befahl nach dem Erfinder des Spiels zu suchen. Sie brachten den Erfinder des Spiels vor den König.

Lach' jetzt nicht, es war wirklich so: Es war ein Mathe-Lehrer namens Buddhiram.

"Ich möchte dich für deine wundervolle Erfindung belohnen", begrüßte der König den Mann.

Der Mathe-Lehrer verbeugte sich. "Ich bin reich und mächtig genug", fuhr der König fort, "dir auch den ausgefallensten Wunsch zu erfüllen. Sag' mir nur, was du haben möchtest und ich erfülle es dir."

Buddhiram blieb still.

"Sei nicht so scheu", ermutigte ihn der König. "Sag nur was du möchtest, ich werde an Nichts sparen dir den Wunsch zu erfüllen".

"Eure Freundlichkeit kennt keine Grenzen", erwiderte der Mathe-Lehrer, "aber gebt mir bitte etwas Zeit meine Antwort zu bedenken. Morgen, wenn ich darüber nachgedacht habe, werde ich euch meinen Wunsch mitteilen."

Am nächsten Tag überraschte Buddhiram den König mit einem sehr bescheidenen Wunsch.

"Herr", sagte er, "ich möchte auf dem ersten Quadrat des Schachbretts ein Reiskorn haben."

"Ein gewöhnliches Reiskorn ?" Der König traute seinen Ohren nicht.

"Ja, Herr, ein Reiskorn auf dem ersten Feld, zwei auf dem zweiten, vier auf dem dritten, acht auf dem vierten, sechzehn auf dem fünften??"

"Es reicht", rief der König verärgert. Du sollst deine Reiskörner für alle 64 Quadrate des Schachbretts haben, so wie du es wünschst. Ich werde jeden Tag die Anzahl der Körner vom Vortag verdoppeln lassen. Aber wisse, dein Wunsch ist meine Großzügigkeit nicht wert. Mit dem Wunsch nach so einer geringen Belohnung hast du mir deine Mißachtung gezeigt. Gerade als Lehrer solltest du der Freundlichkeit deines Königs mehr Respekt erweisen. Geh! Meine Diener werden dir deinen Sack Reiskörner bringen."

Buddhiram lächelte und ging hinaus. Am Tor wartete er auf seine Belohnung.

Beim Abendessen erinnerte sich der König an Buddhiram und erkundigte sich ob der "tollkühne" Mathe-Lehrer seine "geizige" Belohnung bekommen habe.

"Herr", sagte der Chef-Hof-Mathematiker, "wir haben seit heute morgen die Anzahl der Reiskörner berechnet, die Buddhiram als Belohnung möchte. Die Anzahl ist tatsächlich außerordentlich hoch ??.."

"Wieviel außerordentlich", unterbrach ihn der König ungeduldig. "Meine Getreidespeicher können das mit Leichtigkeit leisten. Die Belohnung ist versprochen worden und muss bezahlt werden."

"Es steht nicht in ihrer Macht, Herr, den Wunsch des Buddhiram zu erfüllen. Ihre Getreidespeicher enthalten nicht genug Reiskörner. Selbst im ganzen Königreich gibt es nicht genug Reiskörner, ja nicht einmal auf der ganzen Welt. Und wenn ihr euer Wort halten wollt, dann müsst ihr alles Land der Welt kaufen und es in Reisfelder verwandeln lassen, ihr müsst die Seen und Ozeane trocken legen und alles Eis im Norden schmelzen lassen. Wenn ihr dann all dieses Land mit Reis besäen lasst, dann und nur dann werdet ihr vielleicht genug Reis haben um den Wunsch des Buddhiram zu erüllen."

Der König war sehr beeindruckt und eingeschüchtert. "nenne diese gigantische Zahl", sagte er nachdenklich.

"Es sind 18,446,744,073,709,551,615 Reiskörner", sagte der Mathematiker.

 

So jetzt wollen wir diesen Chef- Ober-Haupt-und-Hof-Mathematiker einmal überprüfen und uns klar machen was diese Zahl eigentlich bedeutet. Dann wird Dir vielleicht auch klar was "Exponential" bedeutet.

Wenn Du Dir oben die Anzahl der Ziffern ansiehst, wird Dir klar sein, mit dem Taschenrechner geht es nicht. Der ist viel zu ungenau. Wir brauchen eine Genauigkeit von mindestens 20 Ziffern.

Ich habe im Web den geeigneten Wunderrechner gefunden. In der Voreinstellung arbeitet er mit einer Genauigkeit von 80 Ziffern, aber 1000 wären auch möglich. Klicke auf das Bild unten (öffnet in eigenem Fenster). Meine Ergebnisse kannst Du am linken Heftrand nachlesen. Aber probiere es ruhig selber.