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Algebra mit Spaß lernen
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Funktionen light 3
Exponetialfunktionen und Wachstumsprozesse
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Nach unserem erst Hineinschnuppern in die Exponetialfunktionen gilt es eine Zusammenfassung zu bringen und dir zu zeigen, welche Aufgaben auf dich warten könnten. Doch wie immer erst einmal ein herzliches Grüß Gott aus Bayern.
Eine Gleichung der Form  mit  = x; k \{0}, bestimmt eine Exponentialfunktion mit der Definitionsmenge  = und der Wertemenge  =+.
Unten im Arbeitsblatt kannst du den Graphen verändern, indem du mit den Schiebereglern verschiedene Werte für k und a auswählst. Lass uns einmal ein paar Graphen untersuchen. |
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| Nr. 1 |
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Stelle erst einmal den roten Schieberegler k auf 1. Dann spielst du mit dem Schieberegler a. Wie verändert sich der Graph, wenn du a veränderst?
Für a>1 steigt der Graph erst langsam, dann schnell (exponentielles Wachstum).
Für 0<a<1 fällt der Graph erst schnell, dann langsam (exponentielle Abnahme).
Warum darf man für a nur positive Werte zulassen? Wird durch die Gleichung y = (-2)x eine Funktion festgelegt?
Nein, wird es nicht, denn aus negativen Zahlen kannst du keine Wurzeln ziehen. Was sollte den y = (-2)0,5 für ein Wert sein?
Was fällt dir noch auf?
Alle Graphen haben den Punkt P(0/1) gemeinsam. Man könnte hier von einem gemeinsamen y-Achsenabschnitt sprechen.
So jetzt machen wir es umgekehrt. Du stellst a = 2 ein und spielst dann mit dem Schieberegler k. Wie wirkt sich k auf den Graphen aus?
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| Nr. 3 |
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Ich lese ab:
xp= 4,76
Wenn du das mit dem Geodreick in deinem Heft machst, kannst du das natürlich nicht so genau ablesen.
Löse die anderen Teilaufgaben in ähnlicher Weise.
b) P(xp/3); f mit y=0,4x
c) P(xp/0,5); f mit y=3,5x
d) P(xp/-2); f mit y=-2x
(Nein, das a ist nicht negativ! Hier gilt nur k=-1)
e) P(xp/6); f mit y=0,1x
(Du musst k wieder umstellen!)
f) P(xp/2,46); f mit y=0,3x
g) P(xp/-3,86);
f mit y=-1,3x
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| Nr. 2 |
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Für k > 0 steigt der Graph.
Für k < 0 fällt der Graph.
k = 0 ist unsinnig, da ich dann die Gleichung der x-Achse y = = erhalte.
Was hat k mit dem Punkt P zu tun, mit dem y-Achsenabschnitt? Erkennst du es? Nein, ich erkläre es nicht. Das formulierst du mal schön selber für dich.
Aufgabe 1:
Die Punkte P liegen auf dem Graphen zu f. Bestimme die fehlende Koordinate aus der Zeichnung.
a) P(xp/5); f mit y=1,4x
Du stellst im Arbeitsblatt k=1 ein und a=1,4. Damit hast du den Graphen. Da wir hier schlecht ein Geodreieck verwenden können, stelle ich dir zwei grüne Hilfslinien zur Verfügung, eine y-Linie und eine x-Linie.
Du stellst die grüne y-Linie auf y=5. Dorthin wo die y-Linie den Graphen f schneidet, schiebst du jetzt die grüne x-Linie. Alle drei schneiden sich in einem Punkt. Lies die fehlende x-Koordinate ab. |
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Die Aufgabe 1 kannst du aber auch mit dem Casio-GTR exakt lösen. Und das will ich dir jetzt zeigen.
Aufgabe 2:
Die Punkte P liegen auf dem Graphen zu f. Bestimme die fehlende Koordinate mit deinem graphischen Taschenrechner. |
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a) P(xp/5); f mit y=1,4x
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b) P(xp/-2); f mit y=-2x
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Du kannst zur Lösung entweder das GRAPH-Menü oder das EQUA-Menü benutzen. Teilaufgabe a) löse ich im GRAPH-Menü und Teilaufgabe b) m EQUA-Menü.
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Du musst folgende Gleichung lösen:
5 = 1,4x | -5
0 = 1,4x - 5
Du musst, wie bei einer quadratischen Gleichung, so äquivalent umformen, dass eine Seite gleich 0 ist.
Damit hast du das Problem uminterpretiert. Du bestimmst jetzt die Nullstelle der Funktion y = 1,4x - 5.
Du gibst den Funktionsterm im GRAPH-Menü ein.
Mit F6 DRAW lässt du den Graphen zeichnen.
Falls die Nullstelle in deinem Koordinatensystem nicht zu sehen ist, ist hier die Zeit gekommen dein Koordinatensystem richtig einzustellen. Mit F3 wählst V-Window und dort das Untermenü STD (Standard) ebenfalls mit F3. Mit EXE kehrst du zurück. Dein Display sollte jetzt so ausschauen wie oben.
Mit F5 wählst G-Solv und dort mit F1 das Untermenü ROOT (= Nullstelle).
Du liest ab: xp = 4,78
Vergiss nicht, dass du deinen Lösungsweg dokumentieren musst. Hier wäre es:
GRAPH-F6-F5-F1
Auf diese Art und Weise kannst du praktisch jede Gleichung lösen! |
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Hier hingegen musst du folgende Gleichung lösen:
-2 = - 2x
Eine Umformung ist nicht notwendig. Im EQUA-Menü wählst F3 Solver (Gleichungslöser). Solltest du ein älteres Modell des Casio-GTR besitzen, hast du Pech gehabt. Solche Modelle der ersten Stunde haben noch keinen Gleichungslöser.
Hinter "Eq:" gibst du die Gleichung ein, wie sie oben steht, und bestätigst mit EXE. Dann sollte dein Display etwa so ausschauen wie meines.
Das Gleichheitszeichen findest du ganz unten beim Dezimalpunkt.
Den x-Wert unter der Gleichung ignorierst du. Es handelt sich um die letzte Lösung, die du betimmt hast. Mit F6 SOLV löst du die Gleichung.
Du liest ab: xp = 1
Dokumentation: EQUA-F3-EXE-F6
Lft (left) und Rgt (right) gibt jeweils den Wert des Links- bzw. des Rechtsterms an. Für dich nicht wichtig.
Attention please!
Für quadratische Gleichungen solltest du den Gleichungslöser nicht verwenden. Er zeigt dir immer nur eine Lösung an. Hier brauchst F2 Polynomial. |
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Jetzt folgt eine erste Aufgabe zu einem Wachstumsprozess. Was ist ein Wachstumsprozess? Eine Größe, z.B. die Holzmenge eines Waldes, wächst in einer Zeiteinheit, z.B. hier in einem Jahr, um einen bestimmten Prozentsatz, hier 3,5 % an. Eine mögliche Frage wäre, wenn du den jetztigen Holzbestand kennst, wie groß ist er nach 5 Jahren oder 20 Jahren.
Ein weiteres schönes Beispiel für einen Wachstumsprozess ist die Geldanlage bei einer Bank, z.B. 5000 Euro, zu einem festen Zinssatz, z.B. 4 % Zinsen pro Jahr. Eine möglich Frage wäre, wann hat sich das Kapital verdoppelt?
Viele dieser Wachstumsprozesse lassen sich durch eine Exponentialfunktion der Form
beschreiben. Hier gilt es nur einmal das Prinzip zu begreifen, das dahintersteckt, dann kannst Aufgaben lösen, die dir jetzt noch wahnsinnig kompliziert vorkommen. Dem ist aber nicht so.
Grundsätzlich hast du einen Anfangsbestand (Holz, Geld, Bevölkerung, Bakterien usw.). Dieser Anfangsbestand wächst pro Zeiteinheit um p Prozent. Wie groß ist der Bestand (y) nach x Zeiteinheiten.
Aufgabe 3:
Der Holzbestand einer Waldfläche beträgt 20 000 Festmeter. Forstwirtin Bayer muss für weitere Planungen die Zunahme des Bestandes berechnen. Unter normalen Wachstumsbedingungen nimmt der Bestand jährlich um 3,5 % zu.
a) Forstwirtin Bayer will den Holzbestand nach 20 Jahren berechnen.
b) Stelle den Zusammenhang graphisch dar.
c) Nach wie vielen Jahren beträgt der Bestand 28210 Festmeter?
d) Nach wie vielen Jahren hat der Bestand um 50 % zugenommen, wenn kein Holz in diesem Zeitraum gefällt wird?
Frau Bayer hat keine Ahnung von Exponentialfunktionen und beginnt eine einfache schlichte Prozentrechnung mit dem Anfangsbestand H0 = 20000 fm (Festmeter). Immer mit der Hoffnung dabei eine Methode zu finden, damit sie nicht 20 mal dasselbe machen muss. |
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Vergleichen wir einmal das System der Forstwirtin Bayer mit unserer Exponentialfunktion |
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k => Anfangswert (im Graphen y-Achsenabschnitt) hier 20000 Festmeter
a => Wachstumsfaktor,
er berechnet sich so: 
wobei p der Prozentsatz ist mit dem eine Größe pro Zeiteinheit wächst.
hier 
x=> ist die Anzahl der Zeiteinheiten
hier 20 Jahre
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Das mit dem Wachstumsfaktor funktioniert bei allen Vorgängen bei denen eine Größe je Zeiteinheit um denselben Prozentsatz größer wird. Was aber ist mit den Vorgängen, die bei denen Größen je Zeiteinheit um einen festen Prozentsatz kleiner werden? So ein exponentieller Prozess ist z.B. das Kälterwerden deines Badewassers, oder die Abkühlung einer Tasse Kaffee, oder die Abnahme des Lichts bei zunehmender Wassertiefe, oder der radioaktive Zerfall von Uranatomen. All das lässt sich mathematisch durch eine Exponentialfunktion beschreiben. Und errätst du wie der negative Wachstumsfaktor ausschaut? Ganz einfach:  .
Aber lass uns die restlichen Teilaufgaben gemeinsam lösen. |
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| Nr. 1 |
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b)
Wie du links siehst, musst du als allererstes festlegen was 1 LE auf jeder Achse bedeutet. Dann musst du für den Graphen noch etwa 4 bis 5 weitere Werte berechnen, so wie es die Forstwirtin Bayer getan hat, z.B. den Holzbestand nach 5 ( 8, 12, 15) Jahren.
Mit den grünen Hilfslinien, die dein Geodreieck ersetzen, kannst du entweder zu einem x-Wert den zugehörigen y-Wert ablesen oder umgekehrt. Bedenke, dass eine Zeichnung nie so genau sein kann wie eine Rechnung. Deshalb ist, wenn du den x-Wert auf 20 Jahre einstellst, der y-Wert 40000 Festmeter ein sehr gutes Ergebnis.
c)
Wenn du den y-Wert möglichst genau auf 28210 Festmeter einstellst, kannst du mit der x-Linie die graphische Näherungslösung bestimmen.
10 Jahre
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| Nr. 2 |
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weiter c)
Wie bei allen anderen Funktionen setzt du hier in den erarbeiteten Funktionsterm den erfragten Wert ein.
Wenn du das rechnerisch lösen wolltest, würdest du mit Logarithmen rechnen müssen. Doch dies gibt es nur in Wahlfachgruppe 1. Deshalb wird von Dir vermutlich kein Prüfer mehr als eine graphische Lösung verlangen.
Doch eigentlich müsstest du sagen, dass kann ich auch genauer lösen, als nur graphisch. Du hast ja deinen Casio-GTR mit dem Menü EQUA und dem Gleichungslöser. Versuche es ruhig einmal.
Hier der Lösungsweg:
EQUA-F3-F6
x = 9.99796...
Die graphische Lösung ist genau genug. |
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| Nr. 3 |
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d)
Kannst du im Kopf 50% von 20000 Festmetern berechnen. Das ist nämlch die Zunahme des Holzbestandes. Wer das nicht kann, verdient eigentlich die Mittlere Reife nicht. Sorry!
Die Zunahme beträgt 10000 Festmeter. Du stellst links also den y-Wert auf 30000 Festmeter ein und liest den zugehörigen x-Wert ab.
11,8 Jahre
Versuche noch einmal den Gleichunglöser deines Casio-GTR.
EQUA-F3-F6
x = 11.79
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Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 15 September, 2009 19:39
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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