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Algebra mit Spaß lernen

 

Funktionen light 4
Wachstumsprozesse und Abnahmeprozesse

 
     
 

Na du! Wir beide haben es wirklich eine lange Zeit zusammen gut ausgehalten. Ich begrüße dich herzlich zur tatsächlich letzen Website mit Lernstoff zur Abschlussprüfung. Nach dieser Webseite beginnt das Abschlusstraining mit Abschlussprüfungsaufgaben. Ein paar hast du ja schon kennengelernt.

Eine unbedingte und unverzichtbare Voraussetzung für diese Webseite ist das Verständnis der Aufgabe 3 auf der letzten Webseite. Wenn du diese Aufgabe nicht verstehst, kannst du diese Seite vergessen. Ich weiß nach über 30 Jahren Lehrerdasein, dass es ein paar angeblich "coole" Typen gibt, die meinen, man könnte mit ein wenig Einsatz am Ende der Schulzeit eine tolle Abschlussprüfung schreiben. Pustekuchen! Lernen braucht Zeit. Wozu hätte man sonst 6 Schuljahre vorgesehen. Was du aber mit einem sehr intensiven und zeitaufwendigen Abschlusstraining erreichen kannst, ist die Verbesserung um eine Notenstufe. Einige wenige verbessern sich sogar um 2 Notenstufen. Mehr ist nicht drin! Doping gibt es bei Mathe nicht.

Aufgabe 1:

Julia und Johannes legen jeweils zu ihrem 16 Geburtstag 1200 Euro bzw. 1400 Euro bei einer Bank an. Bestimme jeweils die Höhe des Guthabens, das ihnen mit 18 Jahren ausgezahlt wird, wenn die beträge mit 2% angelegt werden (Mit dem Sparbuch bekomst du nicht mehr. Deswegen ist ein Sparbuch nur eine geeignete Geldanlage für kleine Geldbeträge).

 
 

 

 
 

Hier geht es um Zinsrechnung. Und in der Zinsrechnung heißt der Wachstumsfaktor a Zinsfaktor q. Ansonsten bleibt alles beim Gewohnten.

 
 

 

 
 

Aufgabe 2:

Berechne wie oben in Aufgabe 1 das Kapital am Ende der Laufzeit.

 
 

 

 
 
 
Kapital
Zinssatz
Laufzeit
a)
3000 €
4%
3 Jahre
b)
5500 €
3,4%
6 Jahre
c)
6700 €
3,75%
4 Jahre
d)
12500 €
5,25%
8 Jahre
e)
1500 €
6,25%
9 Jahre
 
     
 
a)
b)
c)
d)
e)
         
 
 

 

 
   
 

Aufgabe 3:

 
 

 

 
 

In der Tabelle ist die Bevölkerungsentwicklung eines Landes dargestellt. Liegt ein exponentielles Wachstum vor, so kann die Bevölkerungsentwicklung mit der Expoenentialfunktion beschrieben werden.

a) Beginne 1983 mit dem Jahr 0. Zeige mithilfe der Funktionswerte f(0) und f(2), dass das Wachstum durch die Gleichung beschrieben werden kann.

 
Jahr
Bevölkerung
1983
3 006 737
1985
3 134 348
1990
3 477 570
1995
3 858 377
2000
4 280 883
 
     
 

b) Überprüfe, ob in der Zeit von 1983 bis 2000 ein exponentielles Wachstum vorliegt, indem du die Wertepaare (7/ 3477570) und (12/ 3858377) in die Funktionsgleichung einsetzt.

c) Um wie viel Prozent wächst die Bevölkerung jährlich?

d) Berechne die Einwohnerzahl für die Jahre 2010 und 2020 bei gleichbleibender jährlicher Zuwachsrate.

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a)
b)
c)
d)
           
 
     
   
 

Aufgabe 4:

Während in vielen Ländern die Bevölkerungszahlen ansteigen, kommt es zum Beispiel in Deutschland zu einem jährlichen Bevölkerungsrückgang um 0,1%.

a) Bestimme die Einwohnerzahlen in den folgenden 8 Jahren bei einer Bevölkerung von 82,4 Millionen im Jahr 2007.

b) Berechne die voraussichtliche Einwohnerzahl für das Jahr 2040, falls der Wachstumsfaktor sich nicht ändert.

c) Erstelle eine Prognose für das Jahr 2040 bei einer jährlichen Abnahme von 0,2%.

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a)
b)
c)
             
 
     
   
 

Aufgabe 5:

In einem Gewässer verringert sich die Lichtstärke je Meter um 25 %. Ein Belichtungsmesser zeigt bei einem Meter Wassertiefe eine Lichtstärke von 3150 Lux. Dieser Zusammenhang wird durch eine Gleichung der Form beschrieben. Dabei steht x für die Wassertiefe, y Lux für die Lichtstärke.

Bestimme die Funktionsgleichung und berechne dann die Lichtstärke in 15 m Tiefe.

Lösung einblenden hier...

 
     
   
 

Aufgabe 6:

Der Luftdruck p nimmt mit der Höhe h exponentiell ab. Dabei sinkt der Luftdruck in je 5500 m auf die Hälfte. Am Boden beträgt der normale Luftdruck p = 1013 hPa (Hekto-Pascal).

a) Stelle eine passende Funktionsgleichung auf.

b) Fertige eine grafische Darstellung für die Abnahme des Luftdrucks an.

c) In welcher Höhe herrscht noch ein Druck von 400 hPa?

 
     
 

zu a) k = 1013 und für a gilt:

Diese Abnahme gilt aber nur für je 5500 m. x = 2 würde demnach 11 000 m bedeuten. Das ist natürlich sehr missverständlich. Viel schöner wäre es wenn man x in Metern angeben könnte. Und das geht auch, wenn du als Exponent wählst.

Es gilt also:

 
     
 
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c)

Du stellst die y-Messlinie auf 400 hPa. Dorthin, wo die y-Messlinie den Funktionsgraphen schneidet, schiebst du die x Messlinie und liest ab:

7370 m

Mit dem Gleichungslöser deines Casio-GTR kannst du den Wert noch genauer bestimmen. Du gibst folgende Gleichung ein:

Lösungsweg:

EQUA-F3-EXE-F6

Lösung: 7373 m

 
     
     
     
 
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Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 19:40 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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Wie alt ist Ötzi oder wann starb Ötzi?
 
Mit der C14-Methode ist es möglich, das Alter organischer Proben (z.B. Reste von Pflanzen, alte ägyptische Holzsärge und auch „Ötzi“) zu  bestimmen.

Was ist C14?

Es gibt zwei Sorten von Kohlenstoff, C12 und C14. Der Physiker spricht hier von zwei Isotopen. Der Atomkern von C12 besteht aus 6 Protonen und 6 Neutronen, bei C14 sind es 6 Protonen und 8 Neutronen.

C14 ist radioaktiv, weil es ein Produkt der kosmischen Strahlung von der Sonne und den Sternen ist. Diese Strahlung hat so hohe Energie, dass sie Stickstoff- und Sauerstoffatome beim Aufprall zerstört, sobald sie auf die obersten Schichten der Erdatmosphäre trifft. Bei einer Kollision entstehen Elementarteilchen, neue Atomkerne und Neutronen. Diese Neutronen wiederum erzeugen in einer Kettenreaktion weitere freie Neutronen, wenn sie auf Luftmoleküle treffen.

In den Luftmolekülen befinden sich Kerne von Stickstoffatomen mit der Massezahl 14. Sie bestehen aus 7 Protonen und 7 Neutronen. Sobald ein freies Neutron auf den Kern trifft, wird ein Proton abgestoßen und das freie Neutron stattdessen aufgenommen. Der Kern hat seine Zusammensetzung aus Neutronen und Protonen geändert, während die Masse gleich blieb. Daraus entsteht ein neuer Stoff und aus dem Stickstoffatom bildet sich das radioaktive Kohlenstoffisotop C14.

Das Verhältnis zwischen C14 und dem stabilen C12 das ca. 99% des gesamten Kohlenstoffvorkommens ausmacht, kann für den Zeitraum der ganzen Menschheitsgeschichte als konstant angesehen werden.

In der Erdatmosphäre kommt Kohlenstoff meist in der Verbindung CO2, also Kohlenstoffdioxid vor. Dieses Kohlenstoffdioxid, und damit auch das C14, wird durch die Fotosynthese von Pflanzen aufgenommen und in deren Organismus eingebaut. Über die Nahrungskette gelangt dann C14 in die Körper von Tieren und schließlich auch in den von Menschen. Durch Ausatmen und andere Körperausscheidungen wird C14 wieder abgegeben, sodass sich ein Gleichgewicht zwischen C14- Aufnahme und -Abgabe im Körper einstellt. Darum bleibt der C14-Gehalt im Körper des Menschen weitgehend konstant. Das ist nicht nur heute so. Die gleichen Bedingungen galten für die Zeit, in der Ötzi noch lebte.

Warum dient C14 zur Todesanzeige?

Sobald ein Organismus stirbt, steht er nicht mehr im Austausch mit seiner Umwelt. Folglich kann ein toter Organismus auch kein C14 mehr aufnehmen. Als Ötzi starb, konnte sein Körper also weder weiteres C14 aufnehmen noch abgeben. Doch der C14-Gehalt bleibt über Tausende von Jahren nicht gleich.

Weil es sich bei C14 um ein radioaktives Isotop handelt, ist es nicht stabil und zerfällt mit der Zeit zu seinem Ausgangselement Stickstoff. Dabei verringert sich die Radioaktivität alle 5.730 Jahre auf die Hälfte.

Hörst du die Nachtigall trappsen? Du meinest es sei die Lerche und nicht die Nachtigall. Wie es Euch gefällt! Jedenfalls handelt es sich hier um einen prozentualen Abnahmeprozess. Und so etwas kannst du inzwischen hoffentlich berechnen.

Mit entsprechenden Messgeräten (Geiger-Müller-Zählrohr, Massenspektrometer) kann man die verbliebene Radioaktivität von Ötzis konserviertem Gewebe messen. Diese Messungen ergaben, dass bei unserem Ötzi nur noch 57 % der Zerfälle von Kohlenstoff-14-Atomen stattfinden. Es kann also noch keine ganze Halbwertszeit vergangen sein seit er starb. Ötzi ist also jünger als 5730 Jahre.

Für die Messung der Radioaktivität von C14 brauchst du einige wenige Gramm Material. Da die Messinstrumente eine Prozentangabe liefern, benötigst du für deine Exponentialgleichung gar keine reale Anfangsmenge. Die Anfangsmenge ist einfach 100.

Du erhältst damit folgende Exponentialgleichung:

57 = 100 * 0,5x

Diese Gleichung hat nur einen Schönheitsfehler, der x-Wert zeigt die Zeitintervalle von 5730 Jahren an. Es ist dasselbe Problem wie in Aufgabe 6. Damit das Zeitintervall x = 1 Jahr ist, verbessern wir die Gleichung etwas.

Diese Gleichung kannst du graphisch lösen (siehe Aufgabe 6) oder mit dem Gleichungslöser deines Casio-GTR. Für eine graphische Lösung habe ich hier keinen Platz.

Lösungsweg:

EQUA-F3-EXE-F6

x =4647

Demnach ist Ötzi vor etwa 4647 Jahren gestorben. Wobei es hier wirklich nicht auf ein Jahr ankommt. Die Frage ist, wie genau war die Messung?