|
Geometrie mit Spaß lernen
|
| |
|
|
| |
Flächen, Formeln und andere Plattheiten 2
Flächeninhalt ebener Vielecke - rechtwinkliges Dreieck, Drachen und Raute
|
|
| |
|
|
| |
Ich grüße dich. In dieser Webseite geht es viel um rechtwinklige Dreiecke und das richtige Hinschauen, um auch eigentlich nicht sofort Sichtbares zu entdecken. Doch werde ich dir beim Hinschauen mit meinen Arbeitsblättern Hilfestellung leisten.
Flächeninhalt rechtwinkliger Dreiecke
Also ich möchte mich jetzt mit dir über die Flächenformeln der rechtwinkligen Dreiecke unterhalten und da gibt's 4 Stück. Es wäre völlig sinnlos sie auswendig zu lernen. Und in der Formelsammlung sind sie auch nicht drin. Scheiße, gell! Aber nur ein paar mal mitgedacht und du erinnerst dich ewig daran. Weil du sie von der Flächenformel für das Dreieck ableiten kannst. Wenn du nicht mitdenken willst, tschüß!
Um meine Plaudereien zum Arbeitsblatt unten im rechten Rand einzublenden, klicke unten auf 1, 2, 3 usw. |
|
| |
|
|
| |
| |
| |
|
|
| Nr. 2 |
| |
Wenn wir ein rechtwinkliges Dreieck als halbes Rechteck ansehen, dann schaut die Flächenformel so aus.
Bevor du mit meinem Arbeitsblatt spielst nur noch eine kurze Anmerkung:
Der rechte Winkel ist nicht immer bei der Ecke C und dann sind die Bezeichnungen in den Formeln natürlich andere.
Mit der Maus kannst du den Punkt C bewegen. Auf welcher Linie bewegt er sich? Kennst du den alten Griechen Thales? Versuche ein gleichschenklig-rechtwinliges Dreieck herzustellen.
Je nach Modellvorstellung kannst du dann unser Dreieck ABC als ein halbes Quadrat oder ein viertel Quadrat ansehen. So gibt es auch zwei Spezial-Flächenformeln.
|
| |
|
| Nr. 1 |
| |
Nur mal ein kleiner Test: Wie lauten die Fachbegriffe für die Dreieckseiten im rechtwinkligen Dreieck?
Die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen, heißen Katheten.
Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, heißt Hypotenuse.
Dreieck ist Dreieck, also ist auch ein rechtwinkliges Dreieck mit der Dreiecksformel zu berechnen. Selbstverständlich!
Wenn die Hypotenuse c und die Höhe hc gegeben ist, kannst du nur die Dreiecksformel verwenden.
Was ist aber, wenn eine der Katheten die Grundseite ist. Wo ist dann die Höhe?
Sie fällt mit der anderen Kathete zusammen. Hier hilft die Vorstellung, dass ein rechtwinkliges Dreieck ja ein halbes Rechteck ist. |
| |
|
|
|
|
| |
Bevor ich dich unten auf die Aufgabe loslasse, muss ich dir hier ein paar Dinge verklickern, denn im Rand ist zu wenig Platz. Er ist diesmal nur für die Aufgabenstellung zuständig.
Wenn du in ebenen Figuren wie Dreiecken oder Vierecken Längen und/oder Flächeninhalte berechnen sollst, musst du dir unbedingt eine kleine Skizze machen. Mein Skizzen-Arbeitsblatt unten leistet aber mehr als eine pure Skizze.
- Du kannst die gegebenen Seiten mit einem Schieberegler rot markieren. Dabei werden Seitenlängen angezeigt, die nicht der Aufgabenstellung entsprechen. Doch...
- Du kannst die Punkte A, B, C mit der Maus ziehen. Du kannst also die rot markierten Seiten auf die gewünschte Länge bringen. Wenn du das machst, musst auch den Schieberegler Lösung einschalten betätigen, um einerseits die Gleichschenkligkeit wiederherzustellen und auch die geforderte Rechtwinkligkeit.
- Die Winkel sind grün markiert. Einen rechten Winkel erkennst du am Symbol mit dem Punkt.
- Wenn der Flächeninhalt gegeben ist, kannst du das ebenfalls mit einem Schieberegler anzeigen lassen. Aber auch hier gilt: Der Flächeninhalt stimmt nur, wenn die angegebenen Maße stimmen, Und auch die Gleichschenkligkeit und die Rechtwinkligkeit.
- Wenn du den Schieberegler "Lösung einschalten" betätigst, bekommst du zunächst eine falsche Lösung, außer du hast die oben angesprochenen bedingungen erfüllt. Die angegebene Lösung ist falsch, weil die Skizze noch nicht den in der Aufgabe verlangten Maßen entspricht. Hier handelt es sich immer um gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke. Du musst dein Skizzendreieck noch gleichschenklig und rechtwinklig machen und die richtigen Maße. Aber da gebe ich dir im Rand noch Hinweise.
Ansonsten läuft es hier, wie du es kennst. Mit einem Klick auf 1, 2, 3 usw. blendest du meine Plaudereien im rechten Rand ein. Das Beste ist du spielst eine wenig mit dem Arbeitsblatt unten, damit du siehst, was die einzelnen Schieberegler verursachen. Mit einem Klick auf das Symbol Aktualisieren im rechten oberen Eck des Arbeitsblattes stellst du den Ausgangszustand wieder her. |
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| Nr. 1 |
| |
Aufgabe 1:
Berechne die in Klammern angegebenen Größen folgender gleichschenklig-rechtwinkliger Dreiecke. Runde auf 2 Stellen nach dem Komma.
a) a = 90°; c =4,8 cm (A)
Wie gehst du mit dem Arbeitsblatt um? Du markierst die Seite c in dem du den Schieberegler nach rechts schiebst. Mit der Maus packst du den Punkt B und ziehst ihn nach links, so weit bis c = 4,8 cm ist. Du müsstest jetzt noch die Seite b etwas verkürzen. Das kannst du aber auch später machen, wenn du A ausgerechnet hast. Dann stellst du den Schieberegler für "Lösung einschalten" auf Ein.
Jetzt musst du die Seite b auch auf 4,8 cm bringen. Wenn du es nicht tust, stimmt der angezeigte Flächeninhalt nicht.
Nur wenn du im Arbeitsblatt die Punkte so setzt, dass die Längen stimmen, kommst du zur richtigen Lösung..
Achte darauf, dass der rechte Winkel erhalten bleibt!
Du kannst aber auch sofort die Lösung einschalten und das Dreieck gemäß der Aufgabenstellung gestalten und erst danach rechnen. |
| |
|
| Nr. 2 |
| |
b) b = 90°; b = 7,5 cm (A)
c) a = 90°; a = 5,3 cm (A)
Wenn du hier Schwierigkeiten hast die Punkte richtig zu platzieren, dann klicke den Punkt mit der rechten Maustaste an. Wähle dort Umdefinieren. Du siehst der Punkt hat Koordinaten. Überlege dir, wo die Koordinatenachsen liegen. Diese Koordinaten kannst du ändern. Bei Dezimalzahlen musst du aber den Dezimalpunkt verwenden.
d) g = 90°; b = 2,5 cm (A)
Hier musst du die Punkte B und C verschieben.
e) g = 90°; A = 32 cm² (a)
f) g = 90°; A = 16 cm² (c)
g) b = 90°; A = 81 cm² (b)
Hier wird das Arbeitsblatt zu klein. Wie oben beschrieben, haben die Punkte Koordinaten. Überlege dir, wie du die Koordinaten ändern musst, damit ein Flächeninhalt von 81 cm² erreicht wird. Du siehst dann zwar nur einen Teil des Dreiecks, kannst aber deine Lösung überprüfen.
h) a = 90°; A = 128 cm² (c)
|
| |
|
|
|
|
| |
Flächeninhalt von Drachen und Raute |
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| Nr. 1 |
| |
Links im Drachen kannst du die Diagonale e mit der Maus verschieben und auch die Länge von e verändern. Probiere es aus.
Aufgabe 2:
Bestimme den Flächeninhalt von mindestens 4 verschiedenen Drachen. Was fällt dir auf?
Lösung:
Der Drachen ist einem Rechteck einbeschrieben, dessen Seitenlängen e und f sind. Also gilt für den Flächeninhalt des Rechtecks:
A = e * f
Die Diagonalen e und f des Drachen teilen das Rechteck in 4 Teilrechtecke. Diese Teilrechtecke werden von den Drachenseiten halbiert. Der Drachen setzt sich also aus 4 halben Teilrechtecken zusammen. Deshalb gilt für den Flächeninhalt des Drachens:
Versuche links die Diagonale e so zu verschieben, dass eine Raute entsteht |
| |
|
| Nr. 2 |
| |
Ein Drachen wird zu einer Raute, wenn sich die Diagonalen gegenseitig halbieren. Hast du diese Einstellung geschafft?
Eine Raute ist also auch ein Drachen und die Formel für den Flächeninhalt ist die gleiche:
Aufgabe 3:
Bei einer Raute ist eine Diagonale vier mal so lang wie die andere. Der Flächeninhalt beträgt .
Berechne die Längen der Diagonalen.
Lösung einblenden hier... |
| |
f = 4*e => A =0,5*e*4e
=> A = 2e² =>
e = 1,25 cm und f = 5 cm |
|
| |
|
|
|
|
| |
Aufgabe 4:
Berechne die jeweils fehlende Größe des Drachens. Mit Mausklick auf die Aufgabenstellung blendest du die Lösung ein. |
|
| |
|
|
| |
| a) e = 7,2 cm; f = 8,8 cm |
|
|
| |
|
|
| b) e = 0,71 m; f = 124 cm |
|
|
| |
|
|
| c) e = f = 0,6 m |
|
|
| |
|
|
| d) e = 64 mm, A = 16,96 cm² |
|
|
| |
|
|
| e) f =0,75 m; A = 22,5 dm² |
|
|
| |
|
|
| f) e = f; A = 32 cm² |
|
|
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
|
|
Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 15 September, 2009 20:04
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
|
|
|
|
