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Geometrie mit Spaß lernen

 
 
 

Flächen, Formeln und andere Plattheiten 5
Funktionale Abhängigkeiten im Koordinatensystem

 
     
 

Grüß dich Gott! Jetzt wird es lustig. Bei mir ist es Abend und ich überlege mir in welcher Sprache(n) ich dir erklären kann, was eine funktionale Abhängigkeit ist. Bei meinen Schülern versuch' ich es zunächst mit Deutsch. Doch wenn ich in ihre leeren Augen blicke, weiß ich, Deutsch allein reicht nicht aus. Gottseidank ist mir eingefallen, dass du funktionale Abhängigkeiten schon längst kennst, aber leider den Begriff noch nicht. Also habe ich mich entschlossen, es doch in Deutsch zu versuchen. In einer Klasse, die meine dynamischen Arbeitsblätter nicht kennt, hätte ich es wesentlich schwerer als mit dir.

Meine Arbeitsblätter sind randvoll mit funktionalen Abhängigkeiten. Ohne funktionale Abhängigkeiten wären meine Arbeitsblätter weiter nichts als statische Bilder. Du könntest nichts verändern. Weißt du eigentlich, was so eine Schieberegler in meinen Arbeitsblättern macht? Jeder Stellung des Reglers entspricht ein bestimmter Zahlenwert. Von diesen Zahlenwerten hängen nun die verschiedensten Ereignisse ab und Maße ab. Mit so einem Schieberegler, kann ich Punkte auftauchen und verschwinden lassen, ich kann Streckenlängen verändern, Flächeninhalte verändern, ich kann Abbildungen durchführen und alles nur durch Änderung von Zahlenwerten mittels des Schiebereglers.

Eine Kleinigkeit brauchst du allerdings noch. Du brauchst eine Funktion in die du diese Zahlenwerte einsetzt. Je nach eingesetztem Zahlenwert, also je nach Reglerstand, erhältst du einen anderen Funktionswert. Aber der Schieberegler ist nur eine Möglichkeit in GeoGebra um funktionale Abhängigkeiten zu erzeugen.

Am besten bequatsche ich dies alles mit dir anhand einer ersten einfachen Aufgabe zur funktionalen Abhängigkeit im Koordinatensystem.

Aufgabe 1:

Die Punkte A(-2 / 1) und B(3 / 1) bilden die Grundseite von Dreiecken ABCn. Die Eckpunkte Cn(x / y) liegen auf der Geraden g mit der Gleichung

y = 0,25x + 4.

a) Zeige, dass für den Flächeninhalt der Dreiecke ABCn gilt:

A(x) = (0,625x + 7,5) FE

b) Unter den Dreiecken der Schar gibt es zwei rechtwinklige Dreiecke. Finde sie im Arbeitsblatt und berechne ihren Flächeninhalt.

Es läuft wie immer, du klickst unten auf 1, 2, 3 usw. und blendest damit meine Plaudereien im rechten Rand ein.

 
 
 
 
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So als allererstes packst du mit der Maus den roten Punkt Cn (anklicken und Maustaste gedrückt halten) und schiebst ihn auf der Geraden g hin und her. Dabei beobachtest du was so im Arbeitsblatt alles passiert.

Was stellst du fest? Versuche es zu begründen. Nein, nicht für mich, das machst du alles nur für dich.

Wenn du den Punkt Cn bewegst, änderst du den x-Wert von Cn. Außerdem haben wir gemeinsam festgelegt, dass Cn auf der Geraden g mit der Gleichung y=0,25x+4 liegen soll.

Wenn du den Punkt Cn mit der Maus ziehst, setzt du Zahlenwerte x in die lineare Funktion y=0,25x+4 ein. Und weil das so ist, kannst du Cn nur auf der Geraden bewegen.

Du fragst, warum der Punkt Cn heißt? Meine Güte es gibt unendlich viele C's. Mit C1 fängt es an, und mit C2, C3 usw. geht es weiter. Welche Punkte auf der Geraden damit gemeint sind, das legst du fest.

 
 
 

Die nächste Aufgabe formuliere ich so, wie du sie auch in deinem Buch finden könntest. So als ob du sie im Heft lösen müsstest. Ich werde dir nach deinen eigenen, ausführlichen Anstrengungen erklären, was wie zu tun ist. Doch wenn du glaubst, du kommst hier im Schnelldurchgang durch, hast du sogar wahrscheinlich recht. Aber Erfolg hast du nicht! Es wird nichts im Hirn hängen bleiben. Ein schnelles Lernen gibt es nicht. Das glaubst du nicht? Na, dann verdienst du auch deine Noten.

 
     
 

Aufgabe 2:

Die Parallelogramme ABCnDn sind gegeben durch die Punkte A(3/-1), B(8/-1) und die Punkte Cn(x/y) auf der Geraden g mit der Gleichung y=1,5x+2.

a) Zeichne die Gerade g und zwei Parallelogramme ABC1D1 und ABC2D2 für x=1 und x=4,5 in ein Koordinatensystem ein.

b) Bestimme den Flächeninhalte A1 und A2 dieser Parallelogramme.

c)Bestimme den Flächeninhalt der Parallelogramme ABCnDn in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte Cn. [Ergebnis: A(x) = (7,5x + 15) FE]

d) Welche Werte kann x annehmen?

e) Gibt es ein Parallelogramm mit dem Flächeninhalt 3,75 FE? berechne.

f) Für welche Belegung von x ist die Höhe eines Parallelogramms ABCnDn halb so groß wie die Grundseite? Berechne.

g) Unter den Parallelogrammen gibt es ein Rechteck. Berechne seinen Flächeninhalt.

Es läuft wie immer, du klickst unten auf 1, 2, 3 usw. und blendest damit meine Plaudereien im rechten Rand ein. Doch vorher musst du das Arbeitsblatt am roten Balken nach links ziehen, bis der Rand frei liegt.

 
     
 
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Aufgabe 3:

Von den Vierecken ABnCD liegen die Punkte C(xC/4) und Bn(x/y) auf der Geraden g mit der Gleichung . Es gilt: A(-1,5/-1); D(-1,5/4)

a) Zeichne das Viereck AB1CD für x=1,5 in ein Koordinatensystem ein.

b) Berechne xC und den Flächeninhalt A1 des Vierecks AB1CD.

c) Für welches x ergibt sich ein Trapez? Berechne den Flächeninhalt A2

d) Zeichne das Viereck AB3CD mit B3(0/y3). Berechne y3 und den Flächeninhalt A3.

 
     
 
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© 2002 Wolfgang Appell

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