So als allererstes packst du mit der Maus den roten Punkt C_n (anklicken und Maustaste gedrückt halten) und schiebst ihn auf der Geraden g hin und her. Dabei beobachtest du was so im Arbeitsblatt alles passiert.

Was stellst du fest? Versuche es zu begründen. Nein, nicht für mich, das machst du alles nur für dich.

Wenn du den Punkt C_n bewegst, änderst du den x-Wert von C_n. Außerdem haben wir gemeinsam festgelegt, dass C_n auf der Geraden g mit der Gleichung y=0,25x+4 liegen soll.

Wenn du den Punkt C_n mit der Maus ziehst, setzt du Zahlenwerte x in die lineare Funktion y=0,25x+4 ein. Und weil das so ist, kannst du C_n nur auf der Geraden bewegen.

Du fragst, warum der Punkt C_n heißt? Meine Güte es gibt unendlich viele C's. Mit C₁ fängt es an, und mit C₂, C₃ usw. geht es weiter. Welche Punkte auf der Geraden damit gemeint sind, das legst du fest.

Von der y-Koordinate des Punktes C_n brauchst du jetzt nur die y-Koordinate des Punktes F zu subtrahieren und du erhältst h_c in Abhängigkeit von x. Wobei für x jeweils der x-Wert des Punktes C_n eingesetzt wird.

Damit kannst du den Flächeninalt des Dreiecks in Abhängigkeit von x darstellen.

A = 0,5*5*(0,25x+4-1)

= 2,5*(0,25x + 3)

= (0,625x + 7,5) FE

b) Da hier nur von zwei rechtwinkligen Dreiecken die Rede ist, können nur die rechten Winkel bei A oder B gemeint sein. Falls es auch noch ein rechtwinkliges Dreieck mit g=90° gibt, könntest du es mit deinen Werkzeugen, die dir im Augenblick zur Verfügung stehen nicht aufspüren.

Entweder ist also a=90° oder b=90°. Was bedeutet das für die zugehörigen Punkte C?

Also gut, die Länge der Bratwürste hängt davon ab, welchen Zahlenwert du in die Bratwurstabfüllmaschine eingibst, und das wiederum hängt von deiner Bratwurst-Fresssucht ab.

Wovon aber hängt der Flächeninhalt des Dreiecks ABC_n ab? Ich hoffe, du kennst noch die Flächeninhaltsformel für das Dreieck?

a) Da die Grundseite c in unserer Aufgabe festliegt, hängt der Flächeninhalt des Dreiecks nur von der Höhe h_c ab. Aber wie?

Das Arbeitsblatt beantwortet dir diese Frage. Wenn du die Höhe h_c über den Höhenfußpunkt F verlängerst, schneidet die Verlängerung die x-Achse im Punkt E. Die Punkte E, F und C_n liegen übereinander. Demnach gilt:

mit

Durch das Ziehen des Punktes C_n erzeugst du unaufhörlich, d.h. kontinuierlich, neue x-Werte, die in die Geradengleichung eingesetzt werden, sodass der Punkt C_n auf der Geraden g hin und her spaziert.

Dasselbe hätte ich natürlich auch mit einem Schieberegler machen können. Ich hätte auch mit einem Schieberegler den Punkt C_n auf der Geraden g hin und her spazieren lassen können.

Doch der entscheidende Punkt ist, du kannst unendlich viele Zahlenwerte x in eine Funktionsgleichung einsetzen und je nach dem eingesetzten Zahlenwert erhältst du z.B. unterschiedliche Dreiecke oder Vierecke oder Bratwürste. Das letztere aber nur, wenn die Länge der Bratwürste in der Bratwurstmaschine von deinem gewählten x-Wert abhängt.

Das ist nicht möglich? Das glaubst aber nur du. Auch Bratwurstabfüllmaschinen sind computergesteuert. Die Länge der Bratwürste ist funktional abhängig. Auch hier musst du Zahlenwerte eingeben.

Die zugehörigen Punkte C müssten entweder die x-Koordinate von A oder von B haben, also entweder x = -2 oder x = 3.

Weißt du was das Schöne bei diesen Aufgaben ist. Immer (fast immer) ist der Flächeninhalt in Abhängigkeit von x als Lösung angegeben. Damit du auch weiter machen kannst, wenn du die Herleitung nicht geschafft hast.

Du brauchst jetzt nur noch beide x-Werte in die angegebene Lösung einsetzen.

x = - 2 eingesetzt

A = 0,625 * (-2) + 7,5

= 6,25 FE

x = 3 eingesetzt

A = 0,625*3 + 7,5

= 9,375 FE = 9,38 FE

a) Ich hoffe, du kannst die Gerade zeichnen? Schließlich liegen die linearen Funktionen erst 3 Wochen zurück. Wenn du es nicht mehr weißt, sind 2 Ursachen möglich. Erstens du hast es nie gekonnt, weil du stinkfaul bist, oder zweitens dein Gedächtnis ist sehr schlecht, dann solltest du täglich Nüsse essen.

Die Gerade schneidet bei y = 2 die y-Achse (y-Achsnabschnitt). Jetzt brauchst du noch einen 2.Punkt. Entweder setzt du noch irgendeinen x-Wert in die Geradengleichung ein z.B. x=2, oder du benutzt das Steigungsdreieck. Wenn dir das alles nichts sagt, gehe zurück zu den linearen Funktionen und arbeite die Lerneinheit durch.

Tja, manche glauben es nie, dass Lernen Zeit braucht.

Also setzen wir x=2 in die Geradengleichung ein.

y = 1,5*2 + 2 = 5

d.h. der Punkt (2/5) liegt auf der Geraden g. Jetzt kannst du die Gerade zeichnen. Die Punkte A und B zeichnest du auch ein.

f) So eine Aufgabe sollte mittlerweile eine deiner leichtesten Übungen sein.

Falls du Teilaufgabe c) gelöst hast, nimmst du von dort die Höhe in Abhängigkeit von x.

h = 1,5x + 3

Die halbe Grundseite hat 2,5 LE. Das setzt du ein.

2,5 = 1,5x + 3 | - 3

- 0,5 = 1,5x | : 1,5

x = - 0,33

Doch es geht auch ohne das Teilergebnis aus Teilaufgabe c).

Du weißt doch, es gilt:

h = y_C - y_A

2,5 = y_C - (-1)

2,5 = y_C + 1 | -1

y_C = 1,5

Diesen Wert setzt du jetzt in die Geradengleichung ein.

weiter d)

Sind x-Koordinaten von C < -1, haben die Parallelogramme den falschen Umlaufsinn. Also gilt:

- 1 = 1,5x + 2 | - 2

- 3 = 1,5x | : 1,5

x = -2

Es gibt Parallelogramme für x>-2!

e) Und wieder kommt eine typische Aufgabe. Die kannst du immer machen. Selbst dann, wenn du bis hierher nichts zustande gebracht hast.

Es ist ein bestimmter Flächeninhalt gegeben und sollst das zugehörige x ausrechnen. Dazu benutzt die die stets angebene Lösung aus Teilaufgabe c) und setzt den Flächeninhalt ein.

3,75 = 7,5x + 15 | - 15

- 11,25 = 7,5 x | : 7,5

x = - 1,5

c)

So jetzt musst du den Flächeninhalt in Abhängigkeit von x bestimmen, d.h. in Abhängigkeit vom x-Wert des Punktes C. Und es läuft genauso wie bei den beiden Beispielen.

Für die Grundseite g gilt:

g = 5 LE

Für die Höhe h gilt:

h = y_C - y_A

h = (1,5x + 2) - (-1)

h = 1,5x + 3

A(x) = 5 * (1,5x + 3) FE

A(x) = (7,5x + 15) FE

d) Du kannst den Punkt C_n ja beliebig rauf und runter schieben, aber gibt es immer Parallelogramme ABCD?

Wenn die x-Koordinate von C -1 ist, gibt es überhaupt kein Parallelogramm.

weiter b)

Um die Höhen h₁ und h₂ zu berechnen brauchst du also die y-Koordinaten von C₁ und C₂. Dazu setzt du die x-Werte in die Geradengleichung ein.

x=1 eingesetzt:

y = 1,5*1 + 2 = 3,5

C₁(1/3,5)

x=4,5 eingesetzt:

y = 1,5*4,5 + 2 = 8,75

C₂ (4,5/8,75)

Der Höhenfußpunkt hat die gleiche y-Koordinate wie der Punkt A. Für die Höhe h gilt demnach:

h = y_C - y_A

h₁ = 3,5 - (-1) = 4,5

h₂ = 8,75 - (-1) = 9,75

A₁ = 5 * 4,5 = 22,5 FE

A₂ = 5 * 9,75 = 48,75 FE

weiter b)

Natürlich habe ich eine aufgabe ausgesucht bei der alles typisch ist. Typisch ist eben auch, dass du Streckenlängen von Strecken berechnen musst, die parallel zu den Achsen sind.

Wenn eine Strecke parallel zu x-Achse ist, dann subtrahierst du vom x-Wert des Punktes, der am weitesten rechts liegt, den x-Wert des links davon liegenden Punktes.

Das funktioniert immer, ganz gleich wo die Punkte liegen, sie müssen nur dieselbe y-Koordinate haben. Probiere es ruhig einmal mit verschiedenen Strecken auf Papier aus.

Ebenso machst du es mit Streckenlängen von Strecken, die parallel zur y-Achse sind.

Wenn eine Strecke parallel zur y-Achse ist, dann subtrahierst du vom y-Wert des oberen Punktes den y-Wert des unteren Punktes.

Auch das funktioniert immer, ganz gleich wo die Punkte liegen, hauptsache sie liegen übereinander, d.h. sie haben die gleiche x-Koordinate.

b)

Natürlich zeichnest du das 2. Beispiel genauso. Bei mir im Arbeitsblatt ziehst du nur den roten Punkt C_n auf der Geraden g hin und her. Du kannst dir ja schon einmal die Lösungen anschauen, die du auch erreichen musst.

Auch diese Teilaufgabe ist typisch für fast alle Aufgaben zur funktionalen Abhängigkeit. Bevor der Aufgabensteller dich den Flächeninhalt der Parallelogramme in Abhängigkeit von x berechnen lässt, musst du erst einmal den Flächeninhalt der beiden Beispielparallelogramme berechnen.

Vorausgesetzt du kennst die Flächenformel, musst du die Grundseite und die Höhen berechnen. Der Aufgabebbastler hofft, dass, wenn du es in den Beispielen herusbekommst, es dann auch in Abhängigkeit von x kannst.

Da die Punkte A und B dieselbe y-Koordinate haben, lässt sich die Länge der Grundseite 5 LE aus den x-Koordinaten berechnen: x_B - x_A

weiter a)

So und jetzt kommt etwas Typisches für alle Aufgaben zur funktionalen Abhängigkeit. In deinem Heft hast du kein dynamisches Arbeitsblatt wie hier. Dennoch musst du in deiner Phantasie eine Vorstellung der Veränderbarkeit, der funktionalen Abhängigkeit von verschiedenen x-Werten entwickeln. Dazu lässt dich der Aufgabensteller meistens für 2 verschiedene x-Werte Beispiele zeichnen. Vergiss aber dabei nicht, es sind nur 2 Beispiele von unendlich viel möglichen. Im Heft kannst du halt nur in deiner Phantasie Punkte verschieben.

Wie zeichnest du nun dein 1.Parallelogramm für x=1?

Du markierst schlicht und einfach den Punkt auf der Geraden g mit der x-Koordinate 1. Benutze dein Geodreieck. Lege es mit der Mittelsenkrechten so auf die x-Achse, dass die Grundlinie durch x=1 geht.

Damit hast du den Punkt C₁. Du zeichnest die Strecken [AB] und [BC₁]. D₁ findest du durch das Zeichnen von Parallelen.

weiter f)

y_C = 1,5

Diesen Wert setzt du jetzt in die Geradengleichung ein.

1,5 = 1,5x + 2 | -2

-0,5 = 1,5 x | : 1,5

x = - 0,33

g) Hier hilft dir mein Arbeitsblatt nicht. Es ist zu klein bzw. das gesuchte Rechteck zu groß. Probiere es aus.

Zumindest siehst du durch das Probieren, dass der Punkt C genau über dem Punkt B liegen muss, d.h. beide haben die gleiche x-Koordinate x = 8. Diesen wert setzt du in die angebene Lösung von Teilaufgabe c) ein:

A = 7,5*8 + 15 = 75 FE

Alles klar? Die nächste Aufgabe bespreche ich nicht so ausführlich.