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Geometrie mit Spaß lernen

 
 
 

Flächen, Formeln und andere Plattheiten 6
Funktionale Abhängigkeiten - Verlängern, Verkürzen

 
     
 

Na du? Wie geht es dir? Ich hoffe, du bist gut drauf! Jetzt geht es erst richtig los mit den Funktionalen Abhängigkeiten. Wir kommen heute zu einem zweiten Aufgabentyp. In diesen Aufgaben hier werden Strecken in Dreiecken und Vierecken verlängert und verkürzt. Eine Strecke wird verlängert und eine wird verkürzt und selbstverständlich in Abhängigkeit von x. Dies führt bei den Flächeninhalten meistens zu quadratischen Termen. Du erinnerst dich an den Anfang der 8.Klasse? Zentrum all dieser Aufgaben ist die Extremwertbestimmung.

Stöhne nicht, ich verlange von dir nichts, was nicht im Lehrplan steht. Und vor allem verlange ich von dir nichts, was du nicht in der Abschlussprüfung gebrauchen kannst. Ich lasse alle überflüssige Artistik weg. Wir starten mit einem Prototyp dieser Art Aufgaben.

Aufgabe 1:

Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit der Grundseitenlänge
= 5 cm und der Höhe h = = 8 cm. Es entstehen neue Dreiecke AnBnCn, wenn man die Seite [AB] über A und B hinaus je um 2x cm verlängert und gleichzeitig die Höhe h von C aus um x cm verkürzt.

a) Zeichne das Dreieck ABC und ein neues Dreieck A1B1C1 für x = 2 und berechne seinen Flächeninhalt.

b) Welche Werte kann x annehmen?

c) Bestimme den Flächeninhalt A der Dreiecke AnBnCn in Abhängigkeit von x.
[Ergebnis: A = (-2x² + 13,5x + 20) cm²]

d) Für welchen Wert von x wird der Flächeninhalt der neuen Dreiecke maximal? Berechne Amax.

e) Berechne den Flächeninhalt A2 für das Dreieck A2B2C2, dessen Höhe sich zur Basis wie 1 : 4 verhält.

f) Um wie viel Prozent ist der Flächeninhalt des Dreiecks A2B2C2 größer als der des ursprünglichen Dreiecks. Berechne.

g) Für welchen Wert von x ergibt sich ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck? Berechne seinen Flächeninhalt.

Es läuft wie immer. Du schiebst das Arbeitsblatt am roten Balken nach links, damit der rechte Rand für meine Plaudereien frei wird. Dann klickst du unten auf 1, 2, 3 usw.

 
 
 
 
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Es folgen noch zwei Aufgaben. Du wirst den Aufbau dieser Aufgaben sofort wieder erkennen. Du solltest es diesmal wirklich zuerst alleine auf Papier versuchen. Es wird dir Sicherheit geben, wenn du erlebst, dass diese Art Aufgaben beherrschbar sind.

Aufgabe 2:

Eine Raute ABCD hat die Diagonalenlängen = 9 cm und = 6 cm. Es entstehen neue Rauten AnBnCnDn, wenn man die Strecke [AC] von A und C aus um je x cm verkürzt und die Strecke [BD] über B und D hinaus um je x cm verlängert.

a) Zeichne die Raute ABCD und eine neue Raute A1B1C1D1 für x = 2. Berechne die Flächeninhalte der beiden Rauten.

b) Für welche Werte von x gibt es Rauten AnBnCnDn?

c) Bestimme den Flächeninhalt der Rauten AnBnCnDn in Abhängigkeit von x.
[Ergebnis: A(x) = (-2x² + 3x + 27) cm²]

d) Für welche Belegung von x wird der Flächeninhalt einer Raute A0B0C0D0maximal?
berechne diese maximale Fläche.

e) Für welche Belegung von x entsteht ein Quadrat? Berechne.

 
     
 
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Aufgabe 3:

Ein rechtwinkliges Dreieck ABC hat die Kathetenlängen = 6 cm und
= 5 cm. Verkürzt man die Kathete [AB] um x cm und verlängert man gleichzeitig die Kathete [BC] um x cm, entstehen neue Dreiecke AnBCn.

a) Zeichne das Dreieck ABC und ein neues Dreieck A1BC1 für x = 3. Um wie viel Prozent ist der Flächeninhalt A1 größer als der Flächeninhalt A des ursprünglichen Dreiecks?

b) Welche Werte kann x annehmen?

c) Zeige, dass sich der Flächeninhalt der neuen Dreiecke AnBCn wie folgt in Abhängigkeit von x darstellen lässt:

A(x) = (-0,25x² + 1,75x + 15) cm²

d) Für welche Belegung von x wird der Flächeninhalt eines Dreiecks A0BC0 maximal?
Berechne diesen maximalen Flächeninhalt.

e) Berechne den Flächeninhalt des gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecks A2BC2n.

 
     
 
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© 2002 Wolfgang Appell

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