Bevor wir anfangen, lass uns zuerst über diese Art Aufgaben reden.

Lass dich nicht nervös machen!

Das könnte schon eine Abschlussprüfungsaufgabe sein, jedenfalls vom Schwierigkeitsgrad her. Doch sie ist um 1 - 2 Teilaufgaben zu lang. Für die beiden großen Aufgaben hast du dort etwa je 70 Minuten für eine Aufgabe. Das schaffst du, wenn du geübt bist. Hier bist du noch nicht sehr geübt. Wenn du diese Aufgabe alleine versuchst, wirst du es kaum unter 2 Schulstunden schaffen. Mit Übung solltest du es in 1 Stunde schaffen. Es wäre also gerade recht für eine Schulaufgabe in der 9. Klasse.

Lass dich nicht nervös machen!

Auch ein Riesenhaufen Erde lässt sich bewegen, wenn du keine Eimer, sondern Bagger benutzt! Für diese Seite wirst du einige Zeit brauchen. Bleibst du dabei, bist du danach Baggerführer! Ich verspreche es dir!

f)

Zunächst musst du den Flächeninhalt des ursprünglichen Dreiecks berechnen:

A = 0,5 * 5 * 8 = 20 cm²

Der Flächeninhalt des Dreiecks A₂B₂C₂ ist um 42,78cm²-20cm²

= 22, 78 cm² größer. Die Prozentrechnung erledigst du mit dem Dreisatz.

20 cm² <=> 100%

0,2 cm² <=> 1%

22,78 : 0,02 = 113,9%

Der Flächeninhalt des Dreiecks A₂B₂C₂ ist um 113,9% größer.

g)

Beantworte bitte folgende Frage: In welchem Verhältnis steht die Höhe zur Basis in einem rechtwinklig-gleichschenkligen Dreieck.

weiter e)

4(8-x) = 1(5+4x)

32 - 4x = 5 + 4x | + 4x

32 = 5 + 8x | -5

27 = 8x | :8

x = 3,375

Diesen Wert kannst du jetzt entweder in die angebene Lösung von Teilaufgabe c) einsetzen oder du rechnest h und g aus.

A=-2*3,375²+3*3,375+27

A = 42,78 cm2

oder

h = 8 - x = 8 - 3,375

h = 4,625

g=5+4x=5+4*3,375

g =18,5

A₂ = 0,5*18,5*4,625

A₂ = 42,78 FE

e)

In dieser Teilaufgabe werden zwei Streckenlängen ins Verhältnis gesetzt:

Höhe : Basis = 1 : 4

Wenn du den Flächeninhalt berechnen willst, brauchst du erst den zugehörigen x-Wert. Die Höhe und die Basis hast du ja schon in Abhängigkeit von x beerchnet.

h = 8 - x

g = 5 + 4x

(8-x) : (5+4x) = 1 : 4

Eine solche Verhältnisgleichung löst du auf, indem du jeweils die Innenglieder und die Außenglieder miteinander multiplizierst.

4(8-x) = 1(5+4x)

Du kannst aber das Divisionszeichen auch durch einen Bruchstrich ersetzen

und über kreuz multiplizieren.

weiter d)

T(x)=

-2[(x-3,375)²-11,39]+20

Jetzt wird die eckige Klammer aufgelöst.

T(x)=-2(x-3,375)²+22,78+20

T(x)=-2(x-3,375)²+42,78

A_max = 42,78 cm²

für x = 3,375 =

Vor dem Quadrat steht eine negative Zahl als Faktor. Was heißt das?

Du ziehst von 42,78 immer etwas ab, außer wenn x = 3,75 ist. Dann wird der Wert der Klammer nämlich = 0. Das bedeutet 42,78 ist der größtmögliche Wert.

Wird das Quadrat (Klammer) mit einem positiven Zahl multipliziert, dann addierst du hinten zu der Zahl immer etwas dazu, außer wenn der Wert der Klammer = 0 ist. Du hättest in so einem Fall einen kleinstmöglichen Wert (Minimum).

weiter d)

Ich weiß, es gibt eine Menge Schüler, die nicht Ausklammern können, vor allem wenn es sich um Brüche handelt. Falls du dazu gehörst, muss ich dich wirklich auf meine Seiten zur 8.Klasse verweisen. Bei den Binomischen Formeln gibt es auch Seiten zur Extremwertbestimmung.

Wir haben inzwischen:

T(x) = -2 [x² - 6,75x] + 20

Innerhalb der eckigen Klammer musst du jetzt quadratisch Ergänzen. Dazu vergleichst du ihn hier mit der 2. binomischen Formel (wegen des Minus). Es gilt:

a² = x² => a = x

2ab<=>6,75x = 2*x*3,375

=> b=3,375 =>T(x)=

-2[x²-6,75x+3,375²-3,375²]+20

T(x)=-2[(x-3,375)²-3,375²]+20

weiter d)

Du arbeitest bitte mit der angegebenen Lösung von Teilaufgabe c)

T(x) = -2x²+13,5x+20

Bitte halte dich in Zukunft an mein Kochrezept. Wenn du es einübst, kann nichts schief gehen. Bist du ein Meisterkoch, darfst du selbstverständlich das Rezept variieren.

1. Schritt

Du klammerst die Zahl bei x² aus, aber nur aus den Teiltermen mit x.

Wenn du eine negative Zahl ausklammerst, musst du alle Vorzeichen in der Klammer umdrehen. Du machst alles automatisch richtig, wenn du die Zahl bei x, hier +13,5, durch die ausgeklammerte Zahl dividierst: 13,5 : (-2) = - 6,75.

Mit den Fähigkeiten deines Taschenrechners sollte dir das Ausklammern keine Schwierigkeiten machen.

weiter c)

h(x) = 8 - x

g(x) = 5 + 2*2x = 5 +4x

=> A = 0,5*(8-x)(5+4x)

A = 0,5(40+32x-5x-4x²)

A = 0,5(-4x²+27x+40)

A = (-2x²+13,5x+20) cm²

Ich würde auf Teilaufgabe b) einen Punkt geben und hier 4 Punkte.

d)

Jetzt kommt unvermeidlich, wie immer die Extremwertbestimmung. Ich schwöre dir, in jeder Abschlussprüfung ist eine Extremwertbestimmung dabei. Du entgehst ihr also nicht. Auch in jeder Schulaufgabe von nun an wirst du, jedenfalls bei mir, eine Extremwertbestimmung finden. Wenn du sie wiederholen willst, gehe zurück auf meine Seiten 8. Klasse.

c)

Merkst du was? Jetzt musst du die Teilaufgabe a) in Abhängigkeit von x wiederholen. Die Aufgaben sind immer nach demselben Muster aufgebaut, das musst du doch merken?

Hör mal bitte kurz weg. Ich muss mich mal an meine jungen Kollegen wenden. Liebe Kollegen ihr solltet euch bei euren Aufgabenstellungen in Exen und Schulaufgaben auch an diesen Aufbau der Aufgaben halten. Ihr gewöhnt eure Schüler für die Abschlussprüfung daran. Lasst jede Artistik weg. Ab und zu gibt es in Wahlfachgruppe I noch einzelne Schüler oder fast ganze Klassen, die Matheartistik verkraften. Dann messe ich mich auch gerne mit dem Verstand meiner Schüler. Und verflixt noch mal, was bin ich dann glücklich, wenn sie wider Erwarten alles lösen. Das Armdrücken habe ich sein gelassen, weil ich inzwischen gegen die jungen Bullen verliere und mich das ärgert.

Du darfst wieder zuhören. Wir brauchen die Höhe und die Grundseite in Abhängigkeit von x.

b)

Auch diese Frage, was für Werte für x eigentlich möglich sind, kommt meistens. Und weißt du warum? Zu deinem Schutz, nur zu deinem Schutz. Nächstes Jahr in Wahlfachgruppe II/III und noch dieses Jahr in Wahlfachgruppe I führt der quadratische Term für den Flächeninhalt regelmäßig zu quadratischen Gleichungen. Wenn du dann diese quadratische Gleichung gelöst hast, musst du dich jedesmal fragen ist diese algebraisch richtige Lösung auch geometrisch sinnvoll.

Gibt es geometrisch solche x-Werte überhaupt?

Diese Frage ist die Frage nach dem Definitionsbereich für x, d.h. welche x-Werte sind überhaupt möglich. Verlängern kannst du beliebig, aber nicht verkürzen. Deswegen gilt:

x ]0;8[ oder 0 < x < 8

Ob du die Intervallgrenzen dazu nimmst oder nicht, ist eine Geschmacksfrage deines Lehrers.

a)

Erkennst du den Aufbau der Aufgabe wieder? Zunächst musst du ein Beispiel aus der unendlichen Zahl der möglichen Dreiecke zeichnen, und du musst den Flächeninhalt berechnen.

Ich denke, die Zeichnung ist ziemlich klar. Du musst h = 8 cm von C aus um 2 cm verkürzen. Damit ist h₁ = 6 cm. Die Strecke [AB] wird über beide Endpunkte hinaus um das Doppelte, also 4 cm verlängert. Damit gilt für Grundseite g:

g=5 cm + 2*(2*2 cm)=13 cm

Jetzt brauchst du die Flächenformel. Wenn du sie nicht auswendig weißt, musst du sie in der Formelsammlung nachschlagen.

A = 0,5 * 13 * 6 = 39 cm²

War das schwer? Damit hast du dir schon 4 Punkte erbaggert.

g)

Nimm dein Geo-Dreieck und messe es aus.

In einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck zerlegt die Höhe das Dreieck in ebenfalls zwei gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke, d.h. die Höhe ist halb so groß wie die Basis.

Höhe : Basis = 1 : 2

(8-x) : (5+4x) = 1 : 2

2(8-x) = 1(5+4x)

16 - 2x = 5 + 4x | + 2x

16 = 5 + 6x | -5

11 = 6x | : 6

x = 1,83

Das war's mit dieser Aufgabe. Unten geht es weiter.