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Geometrie mit Spaß lernen

 
 
 

Flächen, Formeln und andere Plattheiten 7
Funktionale Abhängigkeiten - Einbeschreibungsaufgaben

 
     
 

Servus du! Machen wir weiter mit den funktionalen Abhängikeiten. Heute geht es weiter mit den Einbeschreibungsaufgaben. Es ist ein dritter Aufgabentyp. Aber beobachte mal den Aufbau der Aufgaben. Er ist wie immer.

  1. Es ist ein Beispiel für eine veränderliche Fläche zu zeichen.

  2. Der Flächeninhalt für dieses Beispiel ist zu berechnen. Damit hast du grundsätzlich den Rechenweg.

  3. Du musst dir Gedanken machen, welche Werte x überhaupt annehmen kann. Du musst den Definitionsbereich für x bestimmen, damit du einschätzen kannst, ob deine späteren algebraischen Lösungen überhaupt geometrisch sinnvoll sind.

  4. Der Flächeninhalt muss in Abhängigkeit von x berechnet werden. Den Rechenweg kennst du vom Beispiel.

  5. Danach ist der Extremwert zu bestimmen. Diese Teilaufgabe lässt sich immer mit der angegeben Lösung von 4. bestimmen. Hier kannst du absolut sicher punkten, falls du die Extremwertbestimmung beherrscht.

  6. Es folgt meistens noch die Berechnung eines Spezialfalles. Auch hier ist es wieder derselbe Rechenweg wie im Beispiel.

Wenn du das einmal durchschaut hast, brauchst du vor diesen Aufgaben nie wieder Angst haben, und schon gar nicht, weil sie meistens aus viel Text bestehen. Alles klar? Fangen wir an!

Aufgabe 1:

Dem Rechteck ABCD mit = 12 cm und = 7 cm werden Parallelogramme PnQnRnSn einbeschrieben, indem man gegen den Uhrzeigersinn auf den Rechteckseiten von den Eckpunkten aus je x cm anträgt (siehe Arbeitsblatt unten).

a) Zeichne das Rechteck ABCD mit einem einbeschrieben Parallelogramm P1Q1R1S1 für x = 3.

b) Berechne den Flächen des Parallelogramms P1Q1R1S1.

c) Welche Werte kann x nehmen?

d) Bestimme den Flächeninhalt der Parallelogramme in Abhängigkeit von x.
[Ergebnis: A(x) = (2x² - 19x + 84) cm²]

e) Für welchen Wert von x nimmt der Flächeninhalt der Parallelogramme PnQnRnSn einen Extremwert an? Gib Art und Größe des Extremwertes an.

f) Für welchen Wert von x ist der Flächeninhalt halb so groß wie der des Rechtecks?

Schiebe das Arbeitsblatt am roten Balken nach links, damit der rechte Rand frei wird. Mit Mausklick 1, 2, 3 usw. blendest du meine Plaudereien ein.

 
 
 
 
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Aufgabe 2:

Dem Rechteck ABCD mit = 7 cm und = 5 cm werden Parallelogramme PnQnRnSn einbeschrieben, indem von den Eckpunkten A und C aus auf den Rechteckseiten nach beiden Seiten je x cm angetragen werden.

a) Zeichne das Rechteck ABCD mit einem einbeschrieben Parallelogramm P1Q1R1S1 für x = 1,5 cm und berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms P1Q1R1S1.

b) Welche Werte kann x annehmen?

c) Für welche Belegung von x nimmt der Flächeninhalt eines der Parallelogramme PnQnRnSn einen Extremwert an? Berechne.
[Teilergebnis: A(x) = (-2x² + 12x) cm²]

 
     
 
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Aufgabe 3:

Dem Rechteck ABCD mit = 8 cm und = 6 cm werden Dreiecke APnQn einbeschrieben, wobei gilt: Pn[BC]; Qn[DC], .

a) Zeichne das Rechteck ABCD mit einem einbeschriebenen Dreieck AP1Q1 für x = 1,5 und berechne den Flächeninhalt A1 des Dreiecks AP1Q1.

b) Welche Werte kann x annehmen?

c) Für welche Belegung von x nimmt der Flächeninhalt eines der Dreiecke APnQn einen Extremwert an ? Berechne.

[Teilergebnis: A(x) = (0,5x² - 4x + 24) cm²]

Versuche erst einmal selber die Zeichnung hinzubringen. Es wird höchste Zeit, dass du mit diesen Aufgaben selbstständig wirst.

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© 2002 Wolfgang Appell

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