Du kannst die Punkte A, B und D mit der Maus bewegen. Beobachte dabei das Arbeitsblatt. Was will ich dir damit sagen? Was sollst du lernen?

Du kannst den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnen, wenn du um das Parallelogramm ein Rechteck bastelst. Von der Rechteckfläche subtrahierst du die 2 grünen Dreiecksflächen (= ein grünes Rechteck), die 2 lila Dreiecke (= ein lila Rechteck) und die 2 orangen Rechtecke.

Im Arbeitsblatt kannst du es mit Beispielen machen oder allgemein. Mit dem Schieberegler schaltest du hin und her.

Wie du die Punktkoordinaten zu verrechnen hast, siehst du links.

Das Parallelogramm wird von den beiden Vektoren und aufgespannt. Aus diesen beiden Vektoren bildest du eine Determinante, d.h. du schreibst sie spaltenweise zwischen 2 senkrechte Striche. Diese Schreibfigur ist ein Zahlenwert, berechnet aus den Vektorkoordinaten.

3. Schritt:

Du löst die Determinante auf, indem du über kreuz multiplizierst und die Teilpropukte subtrahierst.

Du siehst, mit ein wenig Übung geht das schneller als das Bratwurstmachen.

Schauen wir uns einmal an, was passiert, wenn du die Vektoren verkehrt herum in die Determinante einsetzt.

Der Wert der Determinanten wird negativ. Hast du schon einmal eine negative Fläche gesehen? Doch mit ein wenig Mathe, kannst du es reparieren, ohne alles neu schreiben zu müssen.

Aufgabe 1:

Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD mit A(0/-2), B(1,5/2),
C(-1/4,5) und D(-2,5/0,5).

2. Schritt:

Du setzt die beiden Vektoren in das Schreibschema Determinante ein.

A = FE

Die 1. Spalte der Determinante wird durch den Vektor gebildet, den du gegen den Uhrzeigersinn drehen musst, damit er das Parallelogramm überstreicht.

Was passiert, wenn du die beiden Vektoren verkehrt herum in die Determinante einsetzt, zeige ich dir später. Jetzt rechne erst einmal die Determinante oben aus. Weißt du noch wie das geht?

Was sollst du hier lernen? Du sollst lernen, wie du mit der Determinantenmethode den Flächeninhalt eines Parallellogramms im Koordinatensystem aus den Punktkoordinaten berechnest.

Die Herleitung der Formel links solltest du dir solange ansehen und damit spielen, bis du die Herleitung durchschaust.

Auswendig lernen musst du allerdings die Schreibfigur der Determinanten und ihre Auflösung. Spielen wir doch einmal eine Aufgabe durch.

Aufgabe 1:

Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD mit A(0/-2), B(1,5/2),
C(-1/4,5) und D(-2,5/0,5).

1. Schritt:

Du musst 2 Vektoren berechnen, die das Parallelogramm aufspannen. Welche Seiten du zu Vektoren machst, ist eigentlich wurscht. Sie müssen nur eine Bedingung erfüllen:

Die beiden Vektoren müssen denselben Fußpunkt haben.

Also was machst du, wenn du plötzlich eine negative Fläche herausbekommst?

Falls der Fehler daran liegt, dass du die Vektoren verkehrt herum eingesetzt hast, setzt du alles nachträglich in Betragstriche.

A = || =

| (-2.5*4 - 2.5*1.5) | =

| -13.75 | = 13,75 FE

Mit Betragstrichen ist es wurscht, wie herum du die Vektoren in die Determinate einsetzt. In manchen Formelsammlungen steht die Formel auch mit Betragstrichen.

Du willst auch immer Betragstriche machen? Du hast recht solange in der Determinante nur Zahlen stehen ist das sehr bequem. Doch was machst du, wenn einer deiner Punkte in Abhängigkeit von x gegeben ist? Dann taucht in der Determinante eine Variable auf und wenn du die Determinante auflöst, steht die Variable zwischen Betragzeichen. Das dann richtig aufzulösen, ist für dich kaum beherrschbar. Also verwende das Betragzeichen nur im Notfall.

Du kannst im Arbeitsblatt links alle Eckpunkte des Dreiecks ABC mit der Maus ziehen. Das reicht aus um den Flächeninhalt einer Menge Dreiecke aus deinem Buch zu berechnen. Doch auch von mir bekommst du ein paar Aufgaben. Lösungen bekommst du von mir nicht. Du sollst das Arbeitsblatt benutzen um deine Ergebnisse zu kontrollieren.

Weißt du, was das heißt? Du rechnest erst selber auf Papier und dann ziehst du die Punkte auf die angegebenen Koordinaten und kontrollierst dich.

Aufgabe 2:

Zeichne das Dreieck ABC und berechne seinen Flächeninhalt.

a)

A(-5/2); B(-1/-2,5);
C(1/4)

b)

A(-1,5/-3); B(3/-,5);
C(0/5)

c)

A(3/-2); B(3/6);
C(-1/4)

d)

A(5/6,5); B(-2/3);
C(0,5/-2)

Aufgabe 4:

Der Eckpunkt B des Dreiecks ABC liegt auf der x-Achse.

Es gilt: A(-4/-4); C(-1/2). Berechne die Koordinaten von B, wenn der Flächeninhalt des Dreiecks 19,5 FE beträgt.

Diese aufgabe lässt sich sehr schnell mit dem Arbeitsblatt lösen. Probier es aus! Mit dem nötigen Feingefühl für die Maus kommst du sehr schnell auf die Lösung B(4,5/0).

Aber wie berechnest du das? Hier wandert der Punkt B auf einer Geraden, auf der x-Achse. Der Punkt B(x/0) ist von x abhängig. Und weißt du was, es läuft alles wie gehabt. Es bleibt alles beim alten. Du stellst einfach deine Vektoren auf, die das Dreieck aufspannen.

Deine Vektoren setzt du brav in die Determinantenformel ein. Weißt du noch was Vektor 1 und was Vektor 2 ist?

Der Vektor, der gegen den Uhrzeigersinn um den Fußpunkt gedreht, das Dreieck überstreicht, ist Vektor 1.

Wenn du den Flächeninhalt beliebiger Vielecke im Koordinatensystem berechnest, zerlege diese in Teildreiecke. Alle Vektoren, die die Teildreiecke aufspannen, müssen denselben Fußpunkt haben. Ich schlage dir den Punkt A als Fußpunkt aller Vektoren vor.

Aufgabe 3:

Zeichne die folgenden Vielecke und berechne ihren Flächeninhalt.

a) Fünfeck ABCDE

A(-3,5/1); B(-2/-2,5);
C(2/-3); D(5/1);
E(2,5/3,5)

b) Viereck ABCD

A(-4/-1,5); B(-1/-4);
c(5/-1); D(1,5/3)

c) Fünfeck ABCDE

A(-3,5/2); B(-3,5/-3);
C(0/-5); D(2/-3); E(3/0)

d) Sechseck ABCDEF

A(-4,5/2); B(-2,5/-1,5);
C(2/-4); D(5,5/-1,5);
E(5,5/4); F(-1/5)

Um deine Ergebnisse zu kontrollieren, überprüfe deine Teilergebnisse für die Dreiecke mit dem Arbeitsblatt links. Bei der Addition der Teilergebnisse wirst du mit dem GTR hoffentlich keine Fehler mehr machen? Oderrr?

Damit hast du den Flächeninhalt in Abhängigkeit von der x-Koordinate von B bestimmt. Jetzt setzt du den gegebenen Flächeninhalt ein und rechnest das den zugehörigen x-Wert aus.

A = 3x + 6 | A = 19,5

19,5 = 3x + 6 | - 6

13,5 = 3x | : 3

x = 4,5

=> B(4,5/0)

Das war es! Nein, natürlich noch nicht ganz. Ein paar Übungen müssen schon noch sein. Unter dem Arbeitsblatt geht es weiter. Und es gibt noch eine Seite mit weiteren Übungen.