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Geometrie mit Spaß lernen
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Flächen, Formeln und andere Plattheiten 9
Abschließende Übungen I
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Hier sollst du, kannst du, darfst du zeigen, was du gelernt hast. Servus erst einmal. Die letzten beiden Webseiten zu dieser Lerneinheit bringen noch einmal ein paar abschließende Aufgaben zu dieser Lernheit. Stürzen wir uns gleicch ins Geschehen. Lege Block, Schreib- und Zeichengeräte bereit.
Aufgabe 1:
Die Punkte A(-3/-1) und B(2/-3) sind Eckpunkte von Parallelogrammen ABCnDn, die Eckpunkte Cn bewegen sich auf einer Geraden g mit der Gleichung y = -0,4x + 3.
a) Zeichne die Gerade g und die Parallelogramme ABC1D1 und ABC2D2 für x=2,5 und x=6 in ein Koordinatensystem ein und berechne ihre Flächeninhalte A1 und A2.
b) Bestimme allgemein den Flächeninhalt der Parallelogramme ABCnDn. Was stelltst du fest? Begründe.
Erst selber arbeiten, wenn du fertig bist oder wenn du wirklich nach langem und tiefem Nachdenken keinen Plan mehr hast, blende meine Plaudereien ein, indem du auf 1, 2, 3 usw. klickst. |
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| Nr. 1 |
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a)
Du siehst das Zeichnen einer Geraden ist absolutes Grundwissen. Um eine Gerade zu zeichnen brauchst du 2 Punkte. Aus der Geradengleichung liest du den y-Achsenabschnitt y=3 ab. Dort schneidet die Gerade die y-Achse. Für den 2. Punkt hast du grundsätzlich 2 Möglichkeiten. Entweder arbeitest du mit dem Steigungsdreieck (bzw. Steigungsvektor) oder du setzt einen beliebigen x-Wert in die Geradengleichung ein und berechnest den zugehörigen y-Wert.
Da wir sowieso die Koordinaten von C1 und C2 berechnen müssen, bietet es sich an, dies gleich hier zu tun.
Du setzt x=2,5 und x=6 in die Geradengleichung ein.
y1 = -0,4*2,5 + 3 = 2
=> C1(2,5/2)
y2 = -0,4*6 + 3 =0,6
=> C2(6/0,6) |
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| Nr. 4 |
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weiter b)
d.h. die Gerade BA bzw. AB hat dieselbe Steigung wie die Gerade g. Beide sind parallel.
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| Nr. 2 |
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weiter a)
Damit lässt sich die Gerade zeichnen. Die Punkte D1 und D2 findest du durch das Zeichnen von Parallelen zu den Seiten [AB] und [BC]. Fällt dir etwas auf?
Flächeninhalte:
1. Schritt:
2. Schritt:
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| Nr. 3 |
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b)
Du berechnest die Vektoren  in Abhängigkeit vom Punkt Cn(x/-0,4x+3).
Du setzt diesen Vektor in die Determinantenformel ein:
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Du siehst der Flächeninhalt ist unabhängig von der Lage von C. Schalte einmal links den Schalter für Lösung ein und schiebe den Punkt C hin und her. Du siehst die Höhe h ändert sich nicht, d.h. die Strecke [AB] und die Gerade g sind parallel. Beweise es rechnerisch.
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Aufgabe 2:
Die Eckpunkte Bn einer Schar von Parallelogrammen ABnCnD bewegen sich auf der Geraden g mit der Gleichung y = 0,5x-2.
Es gilt: A(-4/-1); 
a) Zeichne die Gerade g und zwei Parallelogramme AB1C1D und AB2C2D für x=-1 und x=1,5 in ein Koordinatensystem ein und berechne ihre Flächeninhalte A1 und A2.
b) Gibt es ein Parallelogramm mit dem Flächeninhalt 12 FE?
c) Welche Werte kann der Flächeninhalt der Parallelogramme annehmen? Welche Werte sind für x möglich?
Selbstverständlich auch hier erst selber arbeiten. Wenn du fertig bist oder wenn du wirklich nach langem und tiefem Nachdenken keinen Plan mehr hast, blende meine Plaudereien ein, indem du auf 1, 2, 3 usw. klickst. Ziehe vorher das Arbeitsblatt am roten Balken nach links. |
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| Nr. 1 |
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a)
Bei dieser Teilaufgabe musst du alleine zurechtkommen. Wenn nicht, arbeite Aufgabe 1 noch einmal durch. Wenn dir das zuviel Arbeit ist, Tschüß.
Du kannst deine Ergebnisse links mit dem Arbeitsblatt kontrollieren. Du brauchst nur den Punkt B in die geforderte Position zu ziehen.
Wenn du glaubst, weil du die Teilaufgabe a) kannst, brauchst du sie nicht zu machen, dann Tschüß.
Warum wohl trainiert ein Biathlet nahezu täglich das Schießen, obwohl er es ja kann? Mit Bequemlichkeit und Faulheit kommst du nicht weiter.
b)
Durch Ziehen des Punktes B findest du sehr schnell heraus, dass es ein Parallelogrammm mit dem Flächeninhalt 12 FE gibt. Aber wie lässt sich der zugehörige Punkt B berechnen?
Du musst den Flächeninhalt in Abhängikeit vom x-Wert des Punktes B darstellen und dann 12 FE einsetzen. Versuche es erst selber. |
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| Nr. 3 |
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c)
Um diese Frage zu beantworten, brauchst du Phantasie. Du musst in deiner Phantasie den Punkt B zunächst nach oben schieben und dich fragen: Gibt es dort immer Parallelogramme?
Hier hilft dir ein wenig das Arbeitsblatt. In der Schule hast du kein dynamisches Arbeitsplatz.
Also du kannst den Punkt B auf der Geraden g nach oben schieben, es existieren immer Parallelogramme und ihr Flächeninhalt wird immer größer. Auch für die zugehörigen x-Werte gibt es keine Schranken.
Kannst du den Punkt B aber auch beliebig weit nach unten schieben? Wenn du B nach unten schiebst wird anscheinend der Flächeninhalt und auch die Höhe h immer kleiner.
Wo wird der Flächeninhalt und die Höhe h gleich 0?
Die Gerade g und die Gerade AD sind nicht parallel. Sie schneiden sich. Wenn du den Punkt B in deiner Phantasie so weit nach unten schiebst bis er auch auf der Geraden AD liegt, Dann liegen alle 4 Punkte A, B, C, D auf einer Geraden. |
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| Nr. 2 |
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weiter b)
Diesen Vektor setzt du jetzt zusammen mit dem Vektor  richtig herum in die Determinantenformel ein.
Vektor 1 ist der Vektor, der gegen den Uhrzeiger gedreht, das Parallelogramm überstreicht!
12 FE eingesetzt
12 = x + 16 | -16
x = -4 => y=0,5*(-4)-2= - 4
Für B(-4/-4) hat das Parallelogramm den Flächeninhalt 12 FE. |
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| Nr. 4 |
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weiter c)
Wenn alle 4 Punkte auf einer Geraden liegen, dann ist der Flächeninhalt 0.
Es gilt.
A = x + 16 | 0 eingesetzt
0 = x + 16 | - 16
x = -16
Für alle x > -16 existieren Parallelogramme und der Flächeninhalt kann alle Werte annehmen. Für alle x<-16 ist der Umlaufsinn der Parallelogramme falsch.
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Aufgabe 3:
Gegeben ist eine Schar von Dreiecken ABCn mit A(-2/0); B(4/-3) und Cn(3/y).
a) Zeichne ein Dreieck ABC1 für y1 = 3 in ein Koordinatensystem ein und berechne seinen Flächeninhalt A1.
b) Bestimme den Flächeninhalt der Dreiecke ABCn in Abhängigkeit von der y-Koordinate der Punkte Cn.
[Ergebnis: A(y) = (3y + 7,5) FE]
c) Welche Werte kann y annehmen? Begründe.
d) Für welchen Wert von y wird der Flächeninhalt der Dreiecke 30 FE? Berechne. |
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| Nr. 1 |
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a)
Zu dieser Teilaufgabe hast du nur mein Arbeitsblatt als Hilfe. Das reicht völlig aus.
b)
Hier brauchst du 2 Vektoren die das Dreieck aufspannen. Du kannst, wie ich, die Seiten [AB] und [AC] zu Vektoren machen. Oder du wählst die Seiten [BC] und [BA] aus. Einmal ist A der Fußpunkt für die Vektoren und einmal ist B der Fußpunkt.
Den Punkt C als Fußpunkt für die aufspannenden Vektoren zu wählen, also die Seiten [CA] und [CB] zu Vektoren zu machen wäre ziemlich ungeschickt. Du hättest in beiden Vektoren die Variable y drin. Dies führt unter Umständen zu einem quadratischen Term, den du in der 9.Klasse nur mit viel Know How beherrschen kannst.
Merke: Wähle niemals den verschiebbaren Punkt als Fußpunkt für die aufspannenden Vektoren.
Das ist nur ein guter Rat. Aber vielleicht bist du ja ein Matheartist. |
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| Nr. 3 |
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weiter c)
Der Vektor  ist Steigungsvektor. Aus ihm kannst du die Steigung m der Geraden AB berechnen.
Es gilt:
Damit gilt für die Gerade AB:
y = - 0,5x + t | <= A(-2/0)
0 = - 0,5*(-2) + t
0 = 1 + t | -1
t = -1 =>
AB: y = -0,5x - 1
x = 3 eingesetzt
y = -0,5*3 -1 = -2,5
Für alle Punkte C muss gelten:
y > -2,5 |
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| Nr. 2 |
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weiter b)
Ansonsten läuft die Teilaufgabe wie ich es dir beigebracht habe. Du stellst die beiden aufspannenden Vektoren auf. Einer davon ist abhängig von y. Du setzt sie in die Determinantenformel ein und zwar richtig herum, löst die Determinante auf und fasst zusammen. Du solltest dann auf die angegebene Lösung kommen.
c)
Diese Aufgabe ist hier längst nicht so schwer, wie sie in Wirklichkeit ohne dynamisches Arbeitsblatt ist. Auf Papier musst du nämlich deine Phantasie bemühen. Hast du Phantasie? Du musst den Punkt C auf der Parallelen zur y-Achse x=3 rauf und runter wandern lassen und dir überlegen, wann existieren korrekte Dreiecke.
Wenn der Punkt C auf der Seite [AB] liegt, existieren keine Dreiecke mehr, und wandert C weiter nach unten, ist der Umlaufsinn verkehrt. Es gilt also einen Punkt C zu bestimmen, dessen x-Koordinate = 3 ist und auf der Geraden AB liegt. Selber!!!!!! |
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| Nr. 4 |
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d)
Du erinnerst dich? Diese Aufgabe ist ein Rettungsanker. Du setzt in die angegebene Lösung 30 FE ein. Wenn Du aber nur diese Aufgabe in der Schulaufgabe löst, hast du trotzdem dei Note 6. Ein paar Pünktchen musst du schon noch sammeln.
Es gilt:
30 = 3y + 7,5 | - 7,5
22,5 = 3y | :3
y = 7,5
Mehr als 2 Punkte ist das nicht wert. Aber wenn du die Beispiele gezeichnet hast und auch berechnet hast, solltest du den Bereich der Note 6 schon verlassen haben. Das gilt nur für mich, wie es bei deinem Lehrer ist, weiß ich nicht. |
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Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 15 September, 2009 20:06
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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