a)

Du sollst dir zunächst Gedanken machen, in welche Dreiecke das Sechseck zerlegt werden kann. Warum? Weil du es ohne dieses Nachdenken nicht konstruieren kannst.

Ein regelmäßiges Sechseck ist ein Sechseck mit 6 gleich langen Seiten. Mehr Information hast du aus der Aufgabenstellung nicht. Du musst nachdenken.

Du kannst das Sechseck in 6 Dreiecke zerlegen. Das mit den 6 gleich langen Seiten funktioniert nur, wenn es 6 kongruente (=deckungsgleiche) gleichschenklige Dreiecke sind, bei der die Sechseck-Seite die Basis ist.

Der Winkel an der Spitze bei diesen gleichschenkligen Dreiecken beträgt 60°, weil der Vollwinkel von 360° in 6 gleiche Teile zerlegt wird. Also bleiben für jeden Basiswinkel auch nur 60° übrig, d.h. aber alle 6 Teildreiecke sind gleichseitig.

Die Konstruktion links kannst du abspielen (benutze unten die Leiste). Bedenke aber die Anzahl der Schritte auf Papier ist wesentlich niedriger als hier angegeben. Ich habe eine Menge unsichtbarer Schritte einfügen müssen, damit GeoGebra es so darstellt als wäre es auf Papier konstruiert. Also habe Geduld.

weiter b)

c)

Hier sollst du eine Formel ableiten, die gegeben ist. Dies ist doch eine prächtige Gelegenheit zu überprüfen, ob unser Ergebnis oben stimmt.

weiter c)

Damit kannst du die Fläche des gleichseitigen Dreiecks in Abhängigkeit von der Seitenlänge a berechnen:

Diese Flächenformel für das gleichseitige Dreieck findest du übrigens auch in deiner Formelsammlung. Vielleicht brauchst du sie ja irgendwann einmal.

Jetzt brauchst du die Dreiecksfläche nur noch mit 6 multiplizieren.

weiter a)

Ein regelmäßiges Sechseck hat einen Umkreis. Mit diesem Umkreis mit dem Radius 3 cm beginnst du. Irgendwo auf der Kreislinie legst du deinen 1. Sechseckpunkt fest. Von dort aus zeichnest du eine Halbgerade (Strahl) durch den Mittelpunkt M. Der Schnittpunkt mit der Kreislinie ist dein 2. Sechseckpunkt.

Um diese beiden ersten Sechseckpunkte schlägst du jetzt Kreisbögen mit dem Radius 3 cm. So erhältst du die 4 restlichen Sechseckpunkte. Alles klar?

b)

Um den Flächeninhalt des Sechsecks berechnen zu können, musst du zuerst den Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge 3 cm berechnen.

Die Grundseite ist gegeben, aber dir fehlt die Höhe h. Die Höhe h zerlegt das gleichseitige Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Pack den Pythagoras aus!

c)

Soeben haben wir in der Formel für a die maßzahl der Seitenlänge 3 eingesetzt. Wenn du die Formel herleiten willst, musst du genau das umgekehrte machen. In deiner Rechnung in Teilaufgabe b), musst du für die Maßzahl 3 der Seitenlänge die Variable a einsetzen.