Figurine12
 
 
 
 
 
 
 
Geometrie mit Spaß lernen

 
 
 

Pythagoras 4
Katheten- und Höhensatz

 
     
 

Manche sagen, ich brauche weder den Kathetensatz noch den Höhensatz, mir reicht der Pythagoras. So ganz völlig Unrecht haben sie nicht und doch liegen sie völlig schief. Aber "Grüß Gott" erst einmal. Der Pythagoras ist das Kombiwerkzeug unter den Flächensätzen, sozusagen eine Kombizange, falls du dich mit Werkzeugen auskennst.

Der Pythagoras ist eine Allzweckwaffe, eine eierlegende Wollmilchsau. Bei manchen Aufgaben aber musst du ihn schon sehr trickreich anwenden, um zu einer Lösung zu kommen. Der Kathetensatz und der Höhensatz sind Spezialzangen für spezielle Zwecke.

In jedem Werkzeugkasten findest du eben nicht nur eine Kombizange, sondern z.B. auch eine Wasserpumpenzange und einen Seitenschneider. Frage einmal deinen Papa, was das für Zangen sind. Kombiwerkzeuge sind bei vielen Aufgaben in der Mathematik und im Handwerk erste Wahl, aber eben nicht immer. Manche Aufgabe, die du mit dem Kombiwerkzeug erledigen willst, oder erledigen musst, weil du kein anderes Werkzeug zur Verfügung hast, führt letztlich nur zu Gemurkse.

Manchmal ist die rechtzeitige Erinnerung an die Existenz des Kathetensatzes bzw. des Höhensatzes in der Abschlussprüfung eine Stunde Zeitgewinn wert, oder in Noten ausgedrückt, ein bis zwei Notenstufen.

Ich werde sie dir also beide vorstellen und wir werden mit diesen Werkzeugen einige Aufgaben zusammen lösen. Ich hoffe damit in deiner Erinnerung einen Anker zu setzen. Du sollst fähig sein bei ähnlichen Aufgaben dich zu erinnern, dass du so eine Aufgabe schon einmal mit Spezialwerkzeugen aus deiner Formelsammlung gelöst hast.

Der Kathetensatz

 
 
 
  Unten im Arbeitsblatt ist der Kathetensatz dargestellt. Mit der Maus lassen sich alle drei Punkte des Dreiecks ABC ziehen. Oben im Arbeitsblatt sind die zugehörigen Zahlenwerte angezeigt. Spiele ein wenig damit und versuche zu verstehen, was der Kathetensatz aussagt.  
     
 
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)  

Kathetensatz

Im rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt des Quadrats über einer Kathete gleich dem Flächeninhalt des Rechtecks, dessen Seiten von der Hypotenuse und dem der Kathete anliegenden Hypotenusenabschnitt gebildet werden.

Im rechtwinkligen Dreieck teilt der Höhenfußpunkt der Höhe hc die Hypotenuse in zwei Abschnitte. Diese beiden Abschnitte nennt man Hypotenusenabschnitte. Der linke Hypotenusenabschnitt heißt q und der rechte p.

Verwechsle das nicht, denn im Alphabet kommt p vor q.

 
 

Der Höhensatz

 
 

 

 
  Im Arbeitsblatt unten ist der Höhensatz dargestellt. Auch hier lassen sich mit der Maus alle drei Punkte des Dreiecks ABC ziehen. Spiele ein wenig damit, und beobachte dabei oben die Zahlenwerte. Versuche die Aussage des Höhensatzes zu verstehen. Falls du alleine bist, dann formuliere deine Erkenntnis laut. Rede mit dir selber. Glaube mir, du kannst es dir wesentlich besser merken, wenn du laut mit dir selber redest. Wenn du im Computerraum deiner Schule bist, könntest du deinem Nachbarn deine Erkenntnis erzählen und er dir seine. Du glaubst gar nicht, wie einfach das Lernen dadurch wird.  
     
 
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)  

Höhensatz

Im rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt des Quadrats über der Höhe gleich dem Flächeninhalt des Rechtecks, dessen Seiten die beiden Hypotenusenabschnitte bilden.

 
 

Aufgabe 1:

 
 

 

 
 

Berechne im Dreieck ABC (g = 90°) die fehlenden Größen. Runde auf zwei Stellen nach dem Komma. Es handelt sich hier um die Größen a, b, c, p, q, h und dem Flächeninhalt A.

Die Skizze rechts kannst du mit der Maus hinziehen, wohin du willst. Also schleppe sie mit nach unten. Ich erspare mir dadurch, dass ich zu jeder Teilaufgabe eine eigene Skizze machen muss. Wenn du eine bemaßte Skizze brauchst, dann mache dir selber eine.

Denn nur wer das Schnitzel selber ißt, der wird auch satt. Vom Zuschauen lernst du höchstens, wie man ein Schnitzel mit Messer und Gabel ißt, aber satt, satt wirst du nicht.

Hier gibt es eine so große Menge von Lösungsmöglichkeiten, dass ich sie nicht alle darstellen kann.

 
 
     
 

a) a = 10 cm; c = 26 cm

Lösung einblenden hier...

 
     
 

 

 
 

b) c = 7,5 m; p = 4,8 m

Lösung einblenden hier...

 
     
   
 

c) a = 16 cm; b = 3 dm

Lösung einblenden hier...

 
 

 

 
   
 

d) a = 32 m; A = 384 m²

Lösung einblenden hier...

 
 

 

 
   
 

e) p = 4 dm; h = 8 dm

Lösung einblenden hier...

 
     
   
 

f) c = 8 cm; p = 5,12 cm

Lösung einblenden hier...

 
     
   
     
 
Zurück zu Seite 3 geht es hier...  
 
     
Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 20:06 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

Free counter and web stats