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Geometrie mit Spaß lernen
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Pythagoras 5
Aufgaben aus der Geometrie I
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Grüß dich Gott! Es folgen 2 Seiten mit Aufgaben in denen du das Erlernte festigen und anwenden sollst. Natürlich gibt es immer eine Lösung dazu, die du einblenden kannst. Aber das kennst du ja schon zu genüge.
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Aufgabe 1:
Das Dreieck ABC ist bei B rechtwinklig.
Es gilt:  = 2,7 cm;  = 4,5 cm.
Überlege zunächst, welche Seite Hypotenuse ist und berechne dann die fehlenden Seitenlängen, sowie den Flächeninhalt des Dreiecks.
Lösung einblenden hier...
Ein kleiner Tipp: Ohne Höhensatz wirst du es kaum schaffen! |
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Du berechnest mittels des Höhensatzes die Seite b.
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Du setzt den Pythagoras im Dreieck ABD an.
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Und jetzt den Pythagoras in Dreieck ABC.
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Aufgabe 2:
Ein auf Folie gezeichnetes rechtwinkliges Dreieck ABC wird mit dem Tageslichtprojektor an die Wand geworfen. Der Flächeninhalt des Bilddreiecks A'B'C' an der Wand beträgt das 100fache des Dreiecks ABC.
a) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
b) Berechne die Seitenlängen des Dreiecks ABC.
Lösung einblenden hier... |
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a)
Du berechnest mit dem Höhensatz die Höhe hc' im Bilddreieck A'B'C'.
Mit c' = 25 cm + 49 cm = 74 cm gilt:
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b)
Eine Tageslichtprojektion ist weiter nichts als eine zentrische Streckung. Vielleicht erinnerst du dich an den rechnerischen Zusammenhang zwischen Bildfläche und Urfläche bei der zentrischen Streckung:
=> k² = 100 => k = 10
weiter gilt bei der zentrischen Streckung:
Bildstrecke = k * Urstrecke (Längen)
=> c' = 10 * c => c = c' : 10
c = 74 cm : 10 = 7,4 cm
Du musst mindestens noch eine Bildstrecke z.B. im linken Teildreieck berechnen. |
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Die Seitenlänge kannst du z.B. mit dem Pythagoras im Dreieck ABC berechnen.
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Aufgabe 3:
Von einem Punkt P aus werden Tangenten an einen Kreis mit r = 2,5 cm gelegt.
Es gilt:  =4,7 cm.
a) Berechne die Länge der Tangentenabschnitte.
b) Berechne die Länge der Sehne [BB'].
c) Führe die Aufgaben a) und b) mit r = 3,5 cm und = 6 cm durch.
Klicke unten auf 1, 2, 3 usw. um meine Lösungen einzublenden. |
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| Nr. 1 |
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a)
Bevor wir uns mitten in den Teich stürzen, lass mich doch ein wenig dein Grundwissen auffrischen.
Kannst du noch von einem Punkt außerhalb eines Kreises das Tangentenpaar an den Kreis konstruieren? Weißt du noch, was ein Berührradius ist?
Ohne über den Berührradius Bescheid zu wissen kannst du diese Aufgabe nicht lösen. Grins' nicht so! Was fällt dir nur zu Berührradius in deiner pubertären Phantasie ein?
Der Berührradius ist der Radius zum Berührpunkt einer Tangente an den Kreis.
Der Berührradius steht im Berührpunkt auf der Tangente senkrecht.
Du erinnerst dich vage an diesen Lehrsatz? Mathe ist halt ein Fach, wo du nicht immer wieder alles vergessen darfst.
OK, wie konstruierst du die Tangenten an den Kreis? Ein Mann aus Milet (heute Türkei) könnte hilfreich sein. |
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| Nr. 2 |
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weiter a)
Die Strecke [MP] ist also Hypotenuse von 2 rechtwinkligen Dreiecken. Es gibt da eine geometrische Ortslinie von der aus eine Strecke immer unter einem rechten Winkel erscheint. Wenn du irgendeinen Punkt dieser Ortslinie mit den Endpunkten der Strecke verbindest, entsteht ein rechtwinkliges Dreieck. Jetzt hat's bei dir geschnackelt. Richtig, es ist der Thaleskreis.
Was das mit der Türkei zu tun hat? Nur wenig! Der Herr Thales war Naturphilosoph, Staatsmann, Mathematiker, Astronom und Ingenieur, eben ein gebildeter Grieche in der griechischen Handelsstadt Milet und die lag in der heutigen Türkei. Sie war Endpunkt vieler Karawanenwege, dort traf sich Gott und die Welt, heute würde man sagen, es war eine weltläufige Stadt. Ach ja er lebte so um 600 v. Chr.
Der Thaleskreis über der Strecke [MP] schneidet unseren Kreis in den Berührpunkten B und B'.
Alles klar? Ja, jetzt packen wir die Aufgabe an. Das heißt, du packst sie an. |
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| Nr. 3 |
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weiter a)
In meinem dynamischen Arbeitsblatt links kannst du 3 Dinge ändern. Mit dem Schieberegler änderst du den Radius r des Kreises. Probiere aus in welchem Bereich das möglich ist.
Die Punkte M und P kannst du mit der Maus ziehen. Die zu berechnenden Streckenlängen werden angezeigt. Stelle das Arbeitsblatt auf die geforderten Werte der Aufgabenstellung und du hast deine Lösungen.
Nein, nein, nur zur Kontrolle! Ich will sehen, wie du das berechnest. Solange du in der Schule bist, ist der Lösungsweg das Ziel und nicht das Ergebnis. Später im Beruf ist es umgekehrt.
Du glaubst doch nicht wirklich, dass ich dir hier etwas vorrechne?
Ich gib dir nur einen Tipp für die Länge der Sehne [BB']. Das Viereck MB'PB ist ein Drachen mit den Diagonalen [MP] (Symmetrieachse) und [BB'] . Über den Flächeninhalt des Drachen und seiner Flächeninhaltsformel kannst du die Länge der Sehne [BB'] berechnen. |
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Wie wäre es einmal mit einer Aufgabe zur Funktionalen Abhängigkeit kombiniert mit den Flächensätzen im Dreieck? Ja, ich weiß, diese Aufgaben waren im ersten Halbjahr. Glaubst du wirklich, wenn du einen Beruf erlernst, du darfst im 3. Lehrjahr all das vergessen, was du in den ersten beiden Lehrjahren gelernt hast. Du musst dein Gedächtnis immer wieder auffrischen. Und das machen wir jetzt.
Aufgabe 4:
Dem Rechteck ABCD sind, wie unten im Arbeitsblatt dargestellt, Dreiecke AEnFn einbeschrieben.
a) Zeichne das Rechteck und das Dreieck AE1F1 für x = 2. berechne die Länge der Strecke [E1F1].
b) Zeige, dass sich die Längen  wie folgt in Abhängigkeit von x darstellen lassen:  .
c) Berechne die Belegung von x, für die die Strecke  minimale Länge hat. Gib die minimale Streckenlänge an.
d) Stelle den Flächeninhalt der Dreiecke AEnFn in der Abhängigkeit von x dar.
[Ergebnis: A(x) = (x² - 5x + 30) cm²]
e) Berechne die Belegung von x, für die der Flächeninhalt eines Dreiecks minimal ist. Berechne Amin.
Klicke unten auf 1, 2, 3 usw. um meine Lösungen einzublenden. Doch vorher schiebe das Arbeitsblatt am roten Balken mit der Maus soweit nach links bis der rechte Rand frei ist. |
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| Nr. 1 |
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a)
Damit du dir die Abhängigkeit des Dreiecks AEF vor Augen führen kannst, ziehe bitte den roten Punkt mit der Maus. Beobachte dabei, für welche x-Werte überhaupt Dreiecke AEF existieren. Begründe es.
Die Strecke [EF] ist Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck FEC. Mit diesem Hinweis solltest du die Teilaufgabe lösen können. Überprüfe deine Lösung mit meinem Arbeitsblatt.
b)
Wir befinden uns immer noch im rechtwinkligen Teildreieck FEC. Es gilt:
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| Nr. 5 |
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weiter c)
= 5 (x - 1,2)² + 28,8
Tmin = 28,8 für x = 1,2
Nein, du bist noch nicht fertig. Vergiss nicht, der Term stand unter der Wurzel. Du musst aus dem Extremwert noch die Wurzel ziehen.
für x = 1,2
d)
Der Flächeninhalt des Dreiecks AEnFnlässt sich nur indirekt berechnen. Du musst vom Flächeninhalt des Rechtecks den Flächeninhalt von 3 rechtwinkligen Dreiecken subtrahieren.
Dazu brauchst du folgende Flächenformel für das rechtwinklige Dreieck:
A = 0,5 *Kathete*Kathete |
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| Nr. 7 |
Hier gilt was ich Teilaufgabe
c) zur Extremwertbestimmung gesagt habe.
x² -5x +30
Du vergleichst den Term mit der 2. Binomischen Formel.
=> b = 2,5
= [x² - 5x +2,5²-2,5²] +30
=(x²-5x+2,5²) - 6,25+30
=(x - 2,5)² + 23,75
=> Amin = 23,75 cm²
für x = 2,5
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| Nr. 4 |
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weiter c)
=5[x²-2,4x+1,2²-1,2²]+36
Du fasst die ersten 3 Glieder in der eckigen Klammer zu einem Binom zusammen.
= 5 [(x - 1,2)² -1,44] + 36
Du löst die eckige Klammer auf.
= 5 (x - 1,2)² - 7,2 + 36
= 5 (x - 1,2)² + 28,8
Jetzt ist der Term so umgeformt, dass du den Extremwert und den zugehörigen x-Wert ablesen kannst.
Woran erkennst du, ob es sich um ein Maximum oder ein Minimum handelt?
Hinten steht 28. Zu dieser Zahl wird immer etwas addiert, weil ein Quadrat immer positiv ist. Nur für x = 1,2 ist der Wert der Klammer 0. Es wird 0 addiert, d.h. aber 28, hinten die Zahl, ist der kleinstmögliche Wert. Es handelt sich um ein Minimum. Bei einem Maximum müsste vor dem Quadrat ein Minuszeichen stehen. |
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| Nr. 3 |
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weiter c)
Der quadratische Term steht unter einer Wurzel. Das kennst du bisher nicht. Aber die Extremwertbestimmung funktioniert genauso wie du es bisher ausgeführt hast.
Du nimmst den quadratischen Term unter Wurzel und bestimmst den Extremwert und den zugehörigen x-Wert. Aus dem berechneten Extremwert musst du dann nur noch die Wurzel ziehen. OK, ich zeige es dir.
5x² - 12x + 36
Du klammerst die Zahl bei x² aus.
= 5 [x² - 2,4x] + 36
Der Term in der eckigen Klammer wird quadratisch ergänzt. Dazu vergleichst du ihn mit der 2. Binomischen Formel.
a² = x² => a = x
2ab = 2,4x= 2*1,2*x
=> b = 1,2
=5[x²-12x+1,2²-1,2²]+36 |
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| Nr. 2 |
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c)
In 8. Klasse hast du gelernt, wie du Maxima und Minima quadratischer Terme bestimmen kannst. Mit der quadratischen Ergänzung kannst du einen quadratischen Term so in Form bringen, dass du den Extremwert ablesen kannst.
Falls du das schon wieder vergessen hast, dann hilft alles nichts. Du musst zurück zu den Binomischen Formeln (8.Klasse), zum Thema Extremwertbestimmung.
Du glaubst doch nicht wirklich, dass irgendein(e) Lehrer(in) deine Wissenslücken im Grundwissen immer wieder aufs Neue versucht zu füllen. Ich ginge dabei kaputt und alle Anderen würde es furchtbar langweilen. Nur du selber kannst dir auf Dauer das notwendige Grundwissen vergangener Lektionen und Jahre zur Verfügung stellen.
Meine Lösung ist ausführlch, doch wenn du sie nicht verstehst, solltest du wirklich oben dem Link folgen. |
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| Nr. 6 |
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weiter d)
Dazu brauchst du folgende Flächenformel für das rechtwinklige Dreieck:
A = 0,5 *Kathete*Kathete
Dreieck ABE:
A1 = 0,5 * 10 * x = 5x
Dreieck FEC:
A2 = 0,5 * (6-x) * 2x
A2 = 6x - x²
Dreieck AFD:
A3 =0,5 * 6 * (10-2x)
A3 = 30 - 6x
Mit AR = 10 * 6 = 60 gilt:
A(x)=60-5x-(6x-x²)-(30-6x)
A(x)=60-5x-6x+x²-30+6x
A(x) = (x² -5x +30) cm² |
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Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 15 September, 2009 20:07
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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