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Geometrie mit Spaß lernen
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Pythagoras 6
Aufgaben aus der Geometrie II
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Wir wollen uns gar nicht lange aufhalten. Ich grüße dich. Auf dieser Seite folgt noch eine Aufgabe zur funktionalen Abhängigkeit, wo du selbstverständlich den Pythagoras brauchst und dann folgen ein paar Einbeschreibungsaufgaben. Hoffentlich bist du gut drauf? Ach ja, was ich noch sagen wollte, in meinem Unterricht kann ich nicht, und auch kein(e) andere(r) LehrerIn alle die Aufgaben hier im Unterricht besprechen. Wenn du alle Aufgaben machen wolltest, kommst du ganz schön in Zeitnot. Du musst also auswählen.
Gehe einmal auf meine zusätzlichen Navigationsseiten für die 9. Klasse. Dort findest du im Rand den Lehrplan. Dort steht auch wie viele Stunden Unterricht für ein Thema vorgesehen sind. Auf "Los!" geht's los! Los!
Aufgabe 1:
Ein rechtwinkliges Dreieck ABC hat die Kathetenlängen  und  . Es entstehen neue Dreiecke ABnCnn, wenn man die längere Kathete um x cm verkürzt und gleichzeitig die kürzere Kathete um x cm verlängert.
a) Zeige, dass sich die Länge der Hypotenuse folgendermaßen in Abhängigkeit von x darstellen lässt:
b) Für welche Belegung von x wird die Hypotenusenlänge  minimal? Berechne .
Meine Lösungen kannst du einblenden, wenn du unten auf 1, 2 , 3 usw. klickst. Doch nur das Schnitzel selber ißt, wird auch satt. Schiebe dazu das Arbeitsblatt zur Seite (Klicke den roten Balken an und ziehe!). |
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| Nr. 1 |
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a)
b)
Für den quadratischen Term unter der Wurzel führst du eine Extrembestimmung mittels quadratischer Ergänzung durch.
T(x) = 2x² - 4x + 52
Du klammerst die Zahl bei x² aus:
= 2 [x² -2x] +52
Du vergleichst den Klammerterm mit der 2. Binomischen Formel.
=> b = 1
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| Nr. 2 |
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weiter b)
In der eckigen Klammer ergänzt du quadratisch:
= 2 [x² -2x +1² -1²] +52
Die ersten drei Termglieder in der eckigen Klammer sind ein vollständiges Binom. Du fasst sie zusammen.
= 2 [(x - 1)² - 1] + 52
Jetzt musst du nur noch die eckige Klammer auflösen.
= 2 (x - 1)² - 2 +52
= 2 (x - 1)² + 50
=> Tmin = 50 für x = 1
Da der Term unter der Wurzel stand, musst du als Letztes noch die Wurzel aus 50 ziehen.
für x = 1 |
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Aufgabe 2:
Dem Halbkreis k mit dem Durchmesser [AB] werden Rechtecke PnQnRnSn einbeschrieben.
Es gilt: A(0/0); B(8/0); 
Konstruiere jeweils das geforderte Rechteck und berechne die Koordinaten der Eckpunkte. Runde auf zwei Stellen nach dem Komma.
a) Das Rechteck P1Q1R1S1 ist ein Quadrat.
b) Im Rechteck P2Q2R2S2 gilt: 
Dies ist eine sehr anspruchsvolle Aufgabe und du wirst sie nur meistern, wenn du all dein Grundwissen von diesem Jahr parat hast. Bitte gib nicht zu schnell auf und gehe nicht zu schnell zu meinem Lösungsvorschlag. Schlaf lieber einmal darüber und lass dein Hirn im Schlaf arbeiten. Du wirst dich wundern, was du alles im Schlaf lösen kannst.
Wie immer blendest du meine Plaudereien durch Mausklick auf 1, 2, 3 usw. ein. |
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| Nr. 1 |
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Im Arbeitsblatt links siehst du schon das Ergebnis der Konstruktion. Dort kannst du 3 Dinge tun, wovon 2 zunächst verboten sind, nämlich die Lösungsideen einzublenden. Du würdest dich um den ganzen Spaß bringen.
Was du machen kannst, ist den roten Punkt P mit der Maus zu ziehen, und dir ein paar Rechtecke anzuschauen. Du gewinnst dadurch mehr Verständnis für die Aufgabe.
Denke nach, wo du schon einmal solche Einbeschreibungsaufgaben gelöst hast. Richtig, das war bei der zentrischen Streckung.
a)
Du zeichnest ein verkleinertes Modell deines Quadrats. Dabei müssen die Punkte P und Q auf [AB] liegen. Dann streckst du die Punkte R und S soweit, dass sie auf der Kreislinie zu liegen kommen. Überlege, wo ist das Streckungszentrum? Wie findest du die Bilder von P und Q?
In der nächsten Plauderei kannst du dir die Konstruktion einblenden. |
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| Nr. 6 |
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weiter b)
Ich hoffe, du hast die Konstruktion wieder ausgeblendet.
Schalte die Lösungsidee zu a) ab. Nur so kannst du die Lösungsidee zu b) einblenden.
=> 2x = 8 - 6,66 = 1,34
=> x = 0,67 LE |
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| Nr. 5 |
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weiter a)
Nennen wir die x-Koordinate von P einfach x. Dann gilt:
x = (8 - 3,58) : 2
x = 2,21 LE
=> P1(2,21/0)
=>Q1(2,21+3,58/0)
=> Q1(5,79/0)
=> R1(5,79/3,58)
=> S1(2,21/3,58)
b)
Hier läuft im Prinzip alles wie bei Teilaufgabe a). Ich werde mich also kurzfassen.
Konstruktion einblenden hier...
Konstruktion ausblenden hier... |
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| Nr. 4 |
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weiter a)
So jetzt darfst du den Lösungshinweis zu Teilaufgabe a) einschalten.
Nennen wir die Quadratseite a, dann kannst du a im rechtwinkligen Dreieck MQR mit dem Pythagoras berechnen.
Damit kannst du zuerst die Koordinaten der Punkte P und Q berechnen. |
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| Nr. 3 |
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weiter a)
Mit dem Werkzeug Quadratische Gleichung wäre es ein Kinderspiel die Aufgabe zu lösen. Doch quadratische Gleichungen gibt es in der Wahlfachgruppe II erst in der 10. Klasse. Daher sollten auch diejenigen, die schon quadratische Gleichungen lösen können, darauf verzichten. Es geht auch anders und der Aufgabensteller hat genügend Hinweise gegeben. Du musst sie nur sehen.
Diese Aufgabe ist im Rahmen der Flächensätze in rechtwinkligen Dreiecken gestellt. Die einzige Länge, die kennst, ist der Radius r=4 cm des Halbkreisen. D.h. aber diese Länge muss eine Rolle als Streckenlänge in einem rechtwinkligen Dreieck spielen. Den zugehörige rechten Winkel liefert das Quadrat. Kann die Quadratseite 4 cm lang sein? Nein! Also lässt sich die Streckenlänge 4 cm nur der Hypotenuse zuordnen.
Jetzt müsstest du eigentlich sehen, wie du einen Radius zur Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks machen kannst. |
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| Nr. 2 |
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weiter a)
Bevor ich mir hier den Mund fusslig rede, blende dir die zentrische Streckung unten ein. Klicke im Player am unteren Rand des Arbeitsblattes auf Abspielen und schau dir die Konstruktion an.
Die Anzahl der angegeben Konstruktionsschritte stimmt für die Konstruktion auf Papier nicht. Hinter den Kulissen des Arbeitsblattes läuft sonst noch Einiges, damit es so ausschaut, als wäre es auf Papier konstruiert. Deswegen ist die Einzelbildungschaltung wenig sinnvoll. Klicke einfach auf Abspielen.
Konstruktion einblenden hier...
Konstruktion ausblenden hier...
Hast du die Konstruktion verstanden? Falls nicht, musst du zur Lerneinheit Strecken ohne Schrecken 12 und 13 zurück. Dort erkläre ich dir solche Einbeschreibungsaufgaben.
Blende die Konstruktion oben wieder aus. |
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| Nr. 7 |
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weiter b)
=> x = 0,67 LE
=> P2(0,67/0)
=> Q2(0,67+6,66/0)
= Q2(7,33/0)
=> R2(7,33/2,22)
=> R2(0,67/2,22)
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Aufgabe 3: |
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Ein Tunnel mit halbkreisförmigen Querschnitt ist 12 m breit. Es gibt zwei Fahrspuren. Zwischen den Fahrspuren ist ein 1 m breiter Trennstreifen vorhanden. An den Seiten links und rechts gibt es jeweils einen 1,50 m breiten Randstreifen, der nicht befahrbar ist.
a) Zeichne einen Querschnitt des Tunnels im Maßstab 1 : 100 und ermittle daraus wie hoch ein LKW |
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maximal sein darf, wenn er an der äußersten Spurkante fährt.
b) Berechne diese maximale Höhe.
Lösung einblenden hier... |
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a) Maßstab 1 : 100 heißt 1 m <=> 1 cm.
In meiner Zeichnung habe ich einen Maßstab 1 : 200 gewählt. Sie wäre sonst zu groß geworden. Erzeugt habe ich sie mit GeoGebra.
b)  |
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Über die zulässige Gesamthöhe lässt sich streiten. Man wird sicherlich nicht 3,97 m zulassen. Das wäre viel zu gefährlich. Ich halte 3,80 m für angemessen. |
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Aufgabe 4: |
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a) Eine Zahnradbahn mit einer Länge von 1,7 km verbindet die Bergstation B mit der Talstation A. Auf der Karte mit einem Maßstab von 1 : 100000 liest man eine horizontale Entfernung zwischen Berg- und Talstation von 1,5 cm ab. In welcher Höhe befindet sich die Talstation A, wenn die Bergstation B in 1400 m Höhe liegt?
b) Wie viel Prozent beträgt die Steigung der Zahnradbahn?
Lösung einblenden hier... |
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a) Maßstab 1 : 100000 => 1,5 cm <=> 150000 cm = 1500 m
Die Talstation befindet sich auf einer Meereshöhe von 800 m. |
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b) Zunächst muss ich dir erklären, was man unter Steigung versteht z.B. auch bei Straßen. Was bedeutet es, wenn eine Straße eine Steigung von 15% hat?
Steigungen werden in Prozent angegeben, also brauchen wir für die Prozentrechnung einen Grundwert. Der Grundwert bei der Berechnung der Steigung ist die horizontale Entfernung. Es ist die horizontale Kathete im "Steigungsdreieck". Die horizontale Kathete entspricht 100 %. Mit ihr wird die Höhe h verglichen, die senkrechte Kathete. Die senkrechte Kathete ist der Prozentwert. Aus den beiden Werten berechnest du bekanntlich den Prozentsatz mit folgender Formel.
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Eine Straße mit 15 % Steigung steigt also auf 1 m horizontale Entfernung 15 cm in die Höhe, oder auf 100 m horizontale Entfernung um 15 m.
In welchem Winkel steigt z.B. eine Bergwiese an, wenn die Steigung 100% beträgt? Nein, 100% heißt nicht senkrecht! Es bedeutet die Höhe ist so lang wie die horizontale Entfernung, also hat der Winkel 45°.
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Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 15 September, 2009 20:07
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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