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Geometrie mit Spaß lernen
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Pythagoras 7
Streckenlängen im Koordinatensystem
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Ich freue mich, dass du mir weiter dein Vertrauen schenkst. Ich grüße dich. Auf dieser Seite will ich dir zeigen, dass du den Pythagoras auch dazu benutzen kannst die Länge eines Vektors zu berechnen. Mit der Determinantenmethode kannst du ja inzwischen aus den Eckpunkt-Koordinaten eines Vielecks seine Fläche berechnen. Heute und hier lernst du auch aus den Eckpunkt-Koordinaten Seitenlängen zu berechnen. Wenn man auch den Eckpunkt-Koordinaten auch noch die Winkel berechnen könnte, wäre es perfekt. Und glaube mir, es geht. Aber das lernst du erst in der 10. Klasse. Was ich von dir jetzt brauche sind 15 Minuten Aufmerksamkeit, dann ist der Käs gegessen.
Aufgabe 1:
Berechne die Länge der Strecke  . Runde auf 2 Stellen nach dem Komma.
Es gilt: A(-4/-2); B(4/5)
Ziehe unten das Arbeitsblatt am roten Balken nach links, damit der rechte Rand frei für meine Plaudereien wird. Klicke dann auf 1, 2, 3 usw. |
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| Nr. 1 |
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Wenn du die Länge der Strecke berechnen willst, dann machst du die Strecke [AB] zu einem Vektor  .
Ich hoffe, du weißt noch wie das geht. Du berechnest die Vektorkoordinaten aus den Punktkoordinaten mit der Regel
"Spitze - Fuß"
Zu jedem Vektor kannst du sein Steigungsdreieck zeichnen (siehe links). Auf dieses Steigungsdreieck kannst du den Pythagoras anwenden. Da beim Pythagoras quadiert wird, brauchst du dir über die Vorzeichen der Vektorkoordinaten keine Gedanken zu machen.
Eine Vektorkoordinate - 5 wir im Steigungsdreieck durch einen Pfeil nach links parallel zur x-Achse dargestellt. Dieser Pfeil ist 5 LE lang. Ob du nun 5 quadrierst oder -5 spielt keine Rolle. Das Quadrat ist jedesmal 25.
Also du quadrierst die Vektorkoordinaten und addierst die Quadrate, und ziehst aus der Summe die Wurzel. |
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| Nr. 2 |
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Der Betrag eines Vektors ist gleich seiner Länge!
Weitere Beispiele:
Du kannst übrigens links die Punkte A und B mit der Maus ziehen und damit die Ergebnisse kontrollieren.
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| Nr. 3 |
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Aufgabe 2:
Prüfe durch Rechnung, ob das Dreieck ABC gleichschenklig ist.
Es gilt: A(4/-1); B(9/4); C(3/6)
Du musst bis zu 3 Streckenlängen berechnen. Eine Zeichnung ist nicht erforderlich.
=> Das Dreieck ABC ist gleichschenklig.
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Aufgabe 3:
Prüfe, ob das Dreieck ABC rechtwinklig ist.
Es gilt: A(-1/2); B(7/1); C(1/5)
Lösung einblenden hier... |
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| 1. Lösungsmöglichkeit mit Pythagoras |
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2. Lösungsmöglichkeit mit Steigungsfaktoren |
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Wende für die Maßzahlen den Pythagoras an. Die längste Seite muss Hypotenuse sein.
=> Das Dreieck ABC ist rechtwinklig. |
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Du erinnerst dich? Wenn 2 Geraden aufeinander senkrecht stehen, gilt für ihre Steigungen:
=> Das Dreieck ABC ist rechtwinklig. |
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Aufgabe 4:
Die Punkte Qn(x/0,5x+1) liegen auf der Geraden g. Sie bilden mit dem Punkt
P(3,5/-1) die Strecken [PQn] .
a) Zeichne die Gerade g, den Punkt P und eine Strecke [PQ1] für x=4 in ein Koordinatensystem ein. Berechne die Streckenlänge  .
b) Zeige, dass folgender Term die Streckenlänge  in Abhängigkeit von x darstellt:
c) Berechne die Koordinaten des Punktes Q0 so, dass die Streckenlänge  minimal ist.
(Hinweis: Ein Wurzelterm ist minimal, wenn der Term unter der Wurzel - der Radikand - minimal ist.)
d) Welche Lage hat die Strecke [PQ0] bezüglich der Geraden g? Begründe.
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| Nr. 1 |
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a)
Ziehe den roten Punkt Q mit der Maus auf x = 4. Lösungsweg und Lösung sind links im Arbeitsblatt dargestellt.
b)
Du wendest die Regel "Spitze - Fuß" auf P(3,5/-1) und Q(x/0,5x+1) an.
Du musst deine Lösung auf die angegebene Form bringen!
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| Nr. 3 |
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Ab jetzt schreibe ich den Bruch dezimal.
In der eckigen Klammer wird jetzt quadratisch ergänzt. Du vergleichst den Term in der Klammer mit der 2. Binomischen Formel.
a² = x² => a=x
2ab= 4x= 2*2*x => b=2
=1,25[x²-4x+2²-2²]+16,25
=1,25[(x-2)²-4]+16,25
Jetzt löst du die eckige Klammer auf.
=1,25(x-2)²-5+16,25
=1,25(x-2)² + 11,25
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| Nr. 2 |
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Den Extremwert eines Wurzelterms bestimmst du, indem von dem Term unter der Wurzel den Extremwert bestimmst. Du musst dann nur noch am Ende aus diesem Extremwert die Wurzel ziehen.
Wenn es dir nicht gelungen ist, deine Lösung auf die angegebene Form zu bringen, dann arbeite bitte mit der angegebenen Lösung weiter.
Du klammerst die Zahl bei x² aus. Nun ist das hier ein Bruch und viele haben mit dem Ausklammern von Brüchen ihre Probleme. Darum ganz langsam zum Mitdenken.
Teile die Beizahl bei x "-5" durch  . Der Taschenrechner richtet's.
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| Nr. 4 |
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Da hier nur nach den Koordinaten von Q0 gefragt ist, brauchst du eigentlich aus 11,25 die Wurzel nicht zu ziehen. Nur die zugehörige x-Koordinate von Q0: x=2 ist von Interesse.
Du setzt x=2 in die Geradengleichung ein und berechnest den zugehörigen y-Wert:
y = 0,5*2+1=2
=> Q0(2/2)
d)
Die Strecke [PQ0] steht auf der Geraden g senkrecht. Die kleinstmögliche Strecke zwischen P und g ist das Lot von P auf g. Die Länge diese Lotes nennt man Abstande des Punktes P von der Geraden g.
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Aufgabe 5:
Zeige durch Rechnung , dass das Viereck ABCD ein Quadrat ist und berechne seinen Flächeninhalt.
Es gilt: A(-1,5/-0,5); B(0/5,5); C(-6/7); D(-7,5/1)
Klicke unten auf 1 bzw. um meine Plaudereien zur Lösung einzublenden. |
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| Nr. 1 |
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In dieser Aufgabe sollst du zeigen, dass ein Viereck, das durch seine Koordinaten gegeben ist, ein Quadrat ist. Wie machst du so etwas? Du musst zeigen, dass das Viereck Eigenschaften hat, die in dieser Kombination nur das Quadrat hat. Was macht eine Viereck zu einem Quadrat?
Alle 4 Seiten sind gleich lang. Das gilt aber auch für die Raute. Was unterscheidet also das Quadrat von der Raute? Richtig, es sind die rechten Winkel.
Du zeigst also, dass die 4 Seiten gleich lang sind und du zeigst z.B. das das Dreick ABC rechtwinklig ist. Die Rechtwinkligkeit kannst du entweder mit dem Pythagoras oder mittels der Steigungen nachweisen.
Es gibt aber noch einen völlig anderen Lösungsweg. Welche Eigenschaften haben die Diagonalen im Quadrat? Sie sind gleich lang und stehen aufeinander senkrecht. Da dieser 2. Lösungsweg wesentlich schneller zu bewerkstelligen ist, habe ich mich für ihn entschieden.
Den Flächeninhalt kannst du dann mit der Flächenformel der Raute berechnen.
A = 0,5*e*f |
| Nr. 2 |
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=> Die Diagonalen sind gleich lang und stehen aufeinander senkrecht.
A = 0,5*8,75*8,75 = 38,28 FE |
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Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 15 September, 2009 20:07
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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