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Geometrie mit Spaß lernen

 
 
 

Raumspaziergang 1
Grundlagen der Raumgeometrie - Geraden und Ebenen

 
     
 

Jetzt kommt das allerletzte Thema in diesem Schuljahr. Nein, nicht was du denkst, es ist zeitlich das allerletzte Thema. Aber Grüß Gott erst einmal. Die Grundlagen der Raumgeometrie bespricht man deshalb am Ende des Schuljahres damit möglichst viel hängen bleibt für das nächste Schuljahr. In der 10. Klasse wird die Raumgeometrie ganz wichtig.

Soll ich dir einmal etwas verraten? Eine der 3 Aufgaben in der Abschlussprüfung wird eine Aufgabe aus der Raumgeometrie sein. Kurz und gut, es ist wichtig. Zunächst muss ich dir erst eimal ein paar grundlegende Dinge zu Bewusstsein bringen. Danach lehre ich dich Schrägbilder (räumliche Bilder von Pyramiden, Quadern, Würfeln usw.) zu zeichnen. Danach werden wir in solchen Schrägbildern Längen und Flächen berechnen. Die Winkel heben wir uns für die 10. Klasse auf.

Wie legt man im Raum eine Gerade fest? Was bedeutet Parallelität im Raum? Wie legt man im Raum eine Ebene fest? Welche Lage können Geraden im Raum zueinander haben? Was ist ein Neigungswinkel? Was ist ein Stützdreieck im Raum?

 
 
 
 
 

Geraden, die in einer Ebene liegen und sich nicht schneiden, sind parallel zueinander, links z.B. EH und AD.

Geraden, die nicht in einer Ebene liegen und sich nicht schneiden, heißen windschief, links z.B. EH und BF.

Eine Ebene wird durch 3 Punkte festgelegt bzw. durch 2 Geraden, die nicht windschief sind.

Bei allen Dreibeinen rechts musst du nie etwas unterlegen, weil sie wackeln. Sie stehen auch auf schiefen Ebenen bombenfest. Es ist eben eine Eigenschaft der Raumgeometrie, dass 3 Punkte eine Ebene festlegen.

Du siehst ein Melkschemel ist angewandte Mathematik.

 

Jetzt wollen wir uns mit der Frage beschäftigen, wann eine Gerade auf einer Ebene senkrecht steht.

 

 
 
 

Eine Gerade steht auf einer Ebene senkrecht, wenn sie mindestens auf zwei sich schneidenden Geraden der Ebene senkrecht steht.

Nimm dein Geodreieck. Stelle es mit einer Kathete auf den Tisch. Die Kathete auf dem Tisch legt eine Gerade auf der Tischplatte fest. Die zweite Kathete, die nach oben ragt, bildet mit dieser festgelegten Geraden immer einen rechten Winkel. Aber du kannst nicht sagen, dass deswegen die 2. Kathete senkrecht auf dem Tisch steht. Kippe das Geodreieck hin und her. Die 2. Kathete muss noch auf einer anderen Geraden der Tischplatte senkrecht stehen. Das erreichst du, wenn du ein zweites Geodreieck einsetzt.

 
 
 
 

Die Bauordnung legt beim Hausbau oft die Dachneigung fest, z.B. 32° bis 45°. Was ist das, die Dachneigung? Es ist der Winkel zwischen Dach und Dachboden oder genauer, es ist der Winkel zwischen einem Dachsparren und dem Dachboden. Im Bild rechts ist der Neigungswinkel mit a bezeichnet.

Was ist der Neigungswinkel zwischen einer Geraden g und einer Ebene E?

 

 

 
 
 

Links siehst du das Schrägbild eines Würfels mit der Kantenlänge 6 cm. Ich habe dir den Neigungswinkel der Raumdiagonalen eingezeichnet.

Keine Sorge, nach der nächsten Webseite dieser Lerneinheit kannst du auch so etwas zeichnen.

Um einen Neigungswinkel zu bestimmen, brauchst du ein rechtwinkliges Dreieck. Du musst also von einem Punkt P der Raumdiagonalen das Lot auf die Ebene fällen. Der Lotfußpunkt, der Punkt P und der Durchstoßpunkt der Raumdiagonalen durch die Ebene unten bilden ein rechtwinkliges Dreieck.

Spielen wir es noch einmal durch.

 
 
 

So kannst du den Neigungungswinkel zwischen einer Geraden g und einer Ebene E darstellen:

1. Fälle das Lot von einem Punkt P der Geraden g auf die Ebene E.

2. Der Lotfußpunkt F, der Punkt P und der Punkt Q bilden ein rechtwinkliges Dreieck.

3. Der Winkel FQP = a ist der gesuchte Neigungswinkel.

Du hast noch keinen Plan wie das später in den Schrägbildern geschehen soll? Keine Sorge dieses Lotfällen findet meistens nur in deinem Hirn statt. Im Schrägbild gibt es meist nämlich nur eine Ebene, in der alles in Originalgröße dargestellt wird. Nur dort kannst du wirklich Lote fällen. Sonst geschieht dies nur in deiner Vorstellung. Hoffe ich wenigstens.

 
 

Testen wir einmal dein räumliches Vorstellungsvermögen. Ich könnte auch sagen, trainieren wir es ein wenig.

 
     
 

Aufgabe 1:

Gegeben ist eine Pyramide ABCDS mit quadratischer Grundfläche ABCD.

a) Benenne die Neigungswinkel der Strecken [AS]; [BS] und [FS] gegen die Grundfläche.

b) Welche Eigenschaften haben die Winkel CAS, BDS, SCA und SBD?

Lösung einblenden hier...

 

 
 
 
 
 

Wir sind für heute gleich fertig. Halte durch! Was ist nun der Neigungswinkel zweier Ebenen im Raum? Schau dir dazu noch einmal das Bild mit dem Dach an.

 
     
 
 

Der Neigungswinkel zwischen den Dachflächen und dem Dachboden ist immer noch a. Mathematisch formuliert:

Der Neigungswinkel zweier Ebenen ist der Winkel zwischen zwei Geraden dieser Ebenen, die auf der Schnittkante senkrecht stehen.

Du siehst es nicht? Ich mache noch eine Zeichnung für dich.

 
 

 

 
 
 

 

Der Neigungswinkel zweier Ebenen ist der Winkel zwischen zwei Geraden dieser Ebenen, die auf der Schnittkante senkrecht stehen.

Die Gerade g liegt in der Ebene E1 und steht auf der Schnittkante senkrecht.

Die Gerade h liegt in der Ebenen E2 und steht ebenfalls auf der Schnittkante senkrecht.

Der Winkel a zwischen den Geraden g und h ist der Neigungswinkel zwischen den Ebenen E1 und E2.

 
     
 

Wenn du die folgenden Fragen locker und leicht und schnell beantworten kannst, dann hast du auf dieser Seite erfolgreich gelernt. Du kannst dann zur nächsten Seite weitergehen. Fall s das nicht der Fall ist, solltest du die Seite noch einmal genau studieren.

  • Wann sind im Raum 2 Geraden parallel?

  • Wann sind im Raum 2 Geraden windschief zueinander?

  • Wodurch wird im Raum eine Ebene festgelegt?

  • Wann steht eine Gerade im Raum auf einer Ebene senkrecht?

  • Was ist der Neigungswinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene?

  • Was ist der Neigungswinkel zwischen zwei Ebenen im Raum?

 

So jetzt gibt es im rechten Rand noch 2 Aufgaben.

 
     
     
 
   
 
     
Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 20:07 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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Was das mit Raumgeometrie zu tun hat? Alles!!!

 
Aufgabe 2:
 
 

Maria und Martin sollen den Öffnungswinkel eines Tafelflügels bestimmen. Wie würdest du die Aufgabe lösen?

Und wenn dir das Hirn zerschmilzt, von mir bekommst du keine Lösung. Denke selber nach!

 
So, in der nächsten Aufgabe ist dein räumliches Vorstellungsvermögen äußerst stark gefordert.
 

Aufgabe 3:

Gegeben ist ein Würfel (siehe Bild)

 
 

Die Ebene ACD bildet mit der Ebene AGD den Winkel CDG.

Bezeichne ebenso:

a) den Winkel, den die Ebene ADH mit der Ebene BHD bildet. Gib sein Maß an.

b) Den Winkel, den die Ebene ACF mit der Ebene ABC bildet.

c) Den Winkel, den die Ebene ACG mit der Ebene ACD. Welches Maß hat er?

d) Den Winkel, den die Ebene AFD mit der Ebene ABD bildet.

Lösung einblenden hier...