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Geometrie mit Spaß lernen
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Raumspaziergang 2
Grundlagen der Raumgeometrie - Schrägbilder
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Grüß dich Gott! Heute geht es um Schrägbilder. Was sind Schrägbilder? Wozu dienen Schrägbilder? Schrägbilder sind räumliche Darstellungen, Modelle von Körpern. Ohne Schrägbilder könnten wir keine Raumgeometrie betreiben. Verwechsle sie aber nicht mit der perspektivischen Darstellung von Körpern im Fach Kunst. Wer es kennt, weiß, dass dort mit 2 Fluchtpunkten gearbeitet wird. Nein, unsere Schrägbilder sind viel schlichtere Modelle. Schauen wir uns so ein Schrägbild einmal an.
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Im Schrägbild erscheinen alle zur Zeichenebene parallel verlaufenden Strecken, Flächen und Winkel in wahrer Größe.
Strecken, die senkrecht zur Zeichenebene verlaufen, werden verzerrt und verkürzt dargestellt, z.B. Verzerrungswinkel  = 45° und Verkürzungsfaktor q=0,5.
Dieses merkwürdige ist der griechische Buchstabe Omega.
Links siehst du das Schrägbild eines Würfels. Mit den Schiebereglern kannst du den Verzerrungswinkel und den Verkürzungsfaktor q verändern. Probiere es aus und studiere, was wie und wo passiert.
Welche Winkel, Strecken und Flächen werden in wahrer Größe dargestellt ? Wie liegen sie zur Zeichenebene?
Welche Strecken werden verzerrt und verkürzt dargestellt? Wie wird der Verzerrungswinkel angetragen?
Verwendest du = 45° ist die letzte Frage überflüssig, sonst aber nicht. |
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Aufgabe 1:
Beschreibe in Worten die einzelnen Schritte bei der Entstehung des folgenden Schrägbildes. Es handelt sich um das Schrägbild eines Quaders.
Es gilt: l = 5 cm; b = 4 cm; h = 3 cm; q = 0,5; = 45°, CD ist Schrägbildachse.
Klicke unten auf 1, 2 und 3 usw. um meine Plaudereien im rechten Rand einzublenden. |
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| Nr. 1 |
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Das Arbeitsblatt kannst du abspielen. Mit dem ersten Mausklick aktivierst du den Schalter "Abspielen", mit dem zweiten startest du das Schauspiel.
Die Einzelbildschaltung macht wenig Sinn, weil hinter den Kulissen noch Einiges läuft, damit die Konstruktion so ausschaut als wäre sie auf Papier gemacht. Dadurch dauert es manchmal mehr als 2 Sekunden ehe es weitergeht.
Schau dir die Abspielung vielleicht zwei- oder dreimal an und versuche sie gedanklich in einzelne Schritte zu zerlegen.
Du kannst die Abspielung unterbrechen, wenn du auf Pause klickst.
Dann nimmst du Papier und Bleistift und formulierst die Schritte schriftlich.
Das ist dir zu viel Arbeit? Ich dachte, du wolltest lernen wie man ein Schrägbild zeichnet. Formuliere wenigstens die Schritte laut in einer Art Selbstgespräch. Dein Hirn lernt so leichter!
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| Nr. 3 |
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3. Schritt
Da [AD] und [BC] senkrecht zur Zeichenebene verlaufen, werden sie verkürzt und die rechten Winkel verzerrt. Du trägst in D0 = D und in C0 = C den Verzerrungswinkel
=45° an die Schrägbildachse an.
Von D und C aus mißt du jeweils 2 cm mit dem Geodreieck ab, da für den Verkürzungsfaktor q = 0,5 gilt und die wahre Streckenlänge 4cm beträgt.
Den Zirkel solltest du nur benutzen, wenn es unbedingt notwendig ist. Auch hier gilt zu viele Linien in der Zeichnung sind verwirrend.
Gegen solche Verwirrung des Durchblicks hilft der Einsatz von Farben.
Das Schrägbild des Rechtecks erscheint als Parallelogramm ABCD.
Merke: Parallel bleibt parallel, Mitte bleibt Mitte!
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| Nr. 2 |
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1. Schritt
Du zeichnest die Grundfläche ABCD in wahrer Größe und bezeichnest die Ecken mit A0B0C0D0.
Ich empfehle meinen Schülern zunächst nur die Punkte auf der Schrägbildachse, hier C und D, zu bezeichnen. Es sind Fixpunkte. In manche Schrägbilder wird ja noch eine Menge hineingezeichnet und beschriftet. Zu viele Beschriftungen sind eher verwirrend. In diesem Fall ist die Beschriftung der Grundfläche in wahrer Größe mit A0B0C0D0 eher überflüssiger Luxus.
2. Schritt
Zeichne die Schrägbildachse durch die Punkte C0 und D0 bzw. C und D.
Welche Rolle spielt die Schrägbildachse überhaupt?
Merke: An die Schrägbildachse wird in den entsprechenden Punkten der Verzerrungswinkel angetragen! |
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| Nr. 4 |
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4. Schritt
Die Seitenkanten verlaufen parallel zur Zeichenebene und werden in wahrer Länge gezeichnet.
5. Schritt
Die Deckfläche ist zur Grundfläche kongruent und wird ergänzt.
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Aufgabe 2:
Die Raute ABCD mit dem Diagonalenschnittpunkt M ist die Grundfläche einer Pyramide ABCDS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Punkt C.
Es gilt:  = 6 cm,  = 5 cm;  = 7 cm
a) Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCDS, wobei [AC] auf der Schrägbildachse liegen soll. Für die zeichnung gilt: q = 0,5 und = 45°
b) Berechne alle Kantenlängen der Pyramide. Runde auf eine Kommastelle. |
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| Nr. 1 |
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a)
Klicke zweimal auf "Abspielen" und schau dir die Entstehung des Schrägbildes an.
Du zeichnest die Grundfläche der Raute ABCD in wahrer Größe. Dazu solltest du wissen, dass die Diagonalen einer Raute aufeinander senkrecht stehen.
Du zeichnest die Schrägbildachse durch die Punkte A0 = A und C0 = C. Da die Diagonale [BD] senkrecht zur Zeichenebene liegt, wird sie verkürzt und der rechte Winkel verzerrt. Das Schrägbild der Raute erscheint als Parallelogramm.
Die Spitze der Pyramide liegt senkrecht über dem Punkt C. Damit liegt [CS] parallel zur Zeichenebene und wird in wahrer Länge gezeichnet.
Jetzt brauchst du nur die Seitenkanten ergänzen.
b)
Bis auf die gegebene Seitenkante [CS] sind alle anderen Seitenkanten Hypotenusen von rechtwinkligen Dreiecken. |
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| Nr. 2 |
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weiter b)
In einer Raute sind alle Seiten gleich lang. Ich schlage vor wir berechnen die Seitenlänge im rechtwinkligen Dreieck AMB:
Die Seite [AB] ist Hypotenuse.
Die Seitenkante [BS] berechnen wir im rechtwinkligen Dreieck BCS.
Du fragst, wie man im Schrägbild erkennt, dass das Dreieck BCS rechtwinklig ist? Nein, mit den Augen geht das nicht. Das geht nur mit dem Hirn. Du brauchst das Wissen von der ersten Seite dieser Lerneinheit. Die Strecke [CS] steht senkrecht auf der Ebene ABC. Damit steht sie senkrecht auf dem Geradenbüschel mit dem Büschelpunkt C der Ebene ABC.
=> Winkel SCB = 90°
Manchmal hilft die Vorstellung, dass du als Menschlein um die Pyramide herumwanderst . |
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| Nr. 3 |
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weiter b)
Das Dreieck BCS ist kongruent zum Dreieck DCS. Warum? Sie stimmen in zwei Seiten und dem Zwischenwinkel überein (SWS).
=> 
Es bleibt noch die Seitenkante [AS]. Das Dreieck ACS ist parallel zur Zeichenebene, d.h. es zeigt sich in wahrer Größe, in wahrer Gestalt und es ist rechtwinklig.
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Aufgabe 3:
Das Drachenviereck ABCD mit dem Diagonalenschnittpunkt M ist Grundfläche einer Pyramide ABCDS. S liegt senkrecht über dem Eckpunkt A.
Es gilt: = 7 cm; = 6 cm;  = 2 cm;  = 7 cm
a) Zeichne ein Schrägbild mit [AC] auf der Schrägbildachse (q = 0,5; = 60°]
b) Berechne die Längen aller Seitenkanten. Runde auf eine Kommastelle. |
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| Nr. 1 |
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Mit Doppelklick auf "Abspielen" wird dir die Entstehung des Schrägbildes vorgeführt.
Zeichne die Grundfläche ABCD in wahrer Größe und bezeichne die Ecken mit A0B0C0D0. Dazu musst du natürlich aus deinem Grundwissen die Eigenschaften eines Drachen herauskramen. Nein, von mir bekommst du diesmal das notwendige Grundwissen nicht mehr zur Verfügung gestellt. In der Abschlussprüfung ist außer dir auch niemand da, der dir helfen kann.
Die Diagonale [BD] wird gemäß der Aufgabenstellung verschrägt und verkürzt.
Die Strecke [AS] ist parallel zur Zeichenebene und wird demgemäß in wahrer Größe dargestellt.
Du brauchst nur noch die Seitenkanten einzeichnen.
b)
Wie in der vorherigen Aufgabe, sind alle Seitenkanten, mit Ausnahme der gegebenen Seitenkante [AS], Hypotenusen von rechtwinkligen Dreiecken.
Es gilt: Hinschauen, nachdenken und siegen. |
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| Nr. 3 |
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weiter b)
Du berechnest die Längen der Seitenkanten [BC] und [CD] im rechtwinkligen Dreieck BMC:
Die Höhe [AS] steht senkrecht auf der Grundfläche. Damit steht [AS] auch senkrecht auf [AB] und [AD], d.h. die Dreiecke ABS und ADS sind rechtwinklig. Die beiden Dreiecke sind kongruent (SWS), d.h. es gilt:
Du berechnest im z.B. im rechtwinkligen Dreieck ABS:
Die Höhe [AS] steht auch senkrecht auf der Strecke [AC] senkrecht. |
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| Nr. 2 |
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weiter b)
Und wen du ein Franke bist, dann greife zu bevorzugten Waffe der Franken, der Franziska. Und weißt du wer deine Franziska ist? Deine Franziska ist der Pythagoras.
Du verstehst mein Geschmarri nicht? Tja, dann hast du viel zu wenig Geschichtskenntnisse. Noch ein Geheimnis möchte ich dir anvertrauen. Geschichte ist mindestens ebenso wichtig wie Mathe. Wenn du verstehen willst, wie die Welt funktioniert, dann brauchst du Mathe. Wenn du wissen willst, wer du bist, dann brauchst du Geschichte.
Und was machst du, wenn du kein Franke bist? Du greifst zur Kombizange Pythagoras.
Da die Strecke [AC] Symmetrieachse des Drachen ist, sind die Seiten der Grundfläche paarweise gleich lang.
Du berechnest die Längen der Seitenkanten [AB] und [AD] im rechtwinkligen Dreieck AMB:
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| Nr. 4 |
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weiter b)
Du berechnest die Längen der Seitenkanten [CS] im rechtwinkligen Dreieck ACS :
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Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 15 September, 2009 20:07
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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