Grundlagen der Raumgeometrie

Raumspaziergang 3
Grundlagen der Raumgeometrie - Stützdreiecke

Du denkst an die Sommerferien und hast überhaupt keinen Bock mehr? Kann ich verstehen, geht mir ebenso. Ich grüße dich herzlich. Doch der Raumspaziergang muss weitergehen. Alles hier brauchst du dringend in der 10. Klasse. Und da die 10. Klasse vollgestopft genug ist, solltest du es nicht ins neue Schuljahr verschieben. Gehe es locker und leicht an, keiner wird dich dieses Schuljahr mehr darüber prüfen. Ich jedenfalls nicht. Aber nächstes Jahr möchte ich bitte auf diesem Grundwissen aufbauen können. Keine Angst wir werden es wiederholen. Doch schon einmal gelernt, geht die Erneuerung des Wissens viel schneller, als wenn du es neu lernen musst. Ich hab in der 10. Klasse wirklich keinen Bock auf Lahm-Ärsche Rücksicht zu nehmen. Alle Anderen haben nämlich Anspruch darauf, dass ich sie möglichst gut durch die Abschlussprüfung führe und bei etwa 30 Schülern ist dies eine harte Aufgabe.

Worum geht es auf dieser Seite? Es geht um Raumdiagonalen in Würfel und Quader. Und es geht um Streckenlängen in Pyramiden. Und das Werkzeug und Hilfsmittel für diese Berechnungen ist das Stützdreieck.

Wat is ein Stützdreieck?

Ein Stützdreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck, das auf der Grundfläche senkrecht steht, und in dem du entweder die Katheten oder die Hypotenuse mit dem Pythagoras berechnen kannst. Ich formuliere einmal eine Aufgabe.

Aufgabe 1:

Stelle die Länge der Raumdiagonale in einem Würfel in Abhängigkeit von der Kantenlänge a des Würfels dar, d.h. du sollst eine Formel herleiten mit der du die Raumdiagonale eines Würfels berechnen kannst, wenn du die Kantenlänge a kennst.

Dein Aufstöhnen habe ich gehört. Völlig unnötig. Wir machen es gemeinsam. Und hinterher sagst du: "Pipifax". Außerdem lernst du dabei die höhere Schrägbildkunst kennen . Die brauchst du zwar in Bayern nicht mehr, was ich sehr bedauere. Weil nur der die Entstehung der Schrägbilder richtig durchschaut, wer die höhere Schrägbildkunst versteht. Schau es dir einfach einmal an. Lernen sollst, musst du, verstehen musst du nur, was ein Stützdreieck ist. Alles Andere überlasse ich deiner Entscheidung. Habe Spaß mit meinen Arbeitsblättern.

Klicke unten auf 1, 2, 3 usw. um meine Plaudereien im rechten Heftrand einzublenden.

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Nr. 1

Das Einzige, was du im Arbeitsblatt bewegen können solltest, ist der rote Punkt A₀ auf dem Kreis. Alles Andere sollte fix sein. Wenn nicht, dann schick mir eine Email. Dann habe ich etwas übersehen.

OK, drehe den roten Punkt auf dem Kreis und du verstehst sofort, was ein Stützdreieck ist. Es ist das rote Dreieck.

Ein Stützdreieck ist immer rechtwinklig und steht auf der Grundfläche senkrecht.

Doch schauen wir uns einmal zunächst dieses merkwürdige Schrägbild an. Klicke bitte auf die zwei ineinander verdrehten blauen Pfeile oben rechts im Arbeitsblatt, Du stellst damit die Anfangssituation wieder her.

Du kannst die Grundfläche ABCD in wahrer Größe auch unter die Schrägbildachse legen, und selbstverständlich auch über die Schrägbildachse.

Doch wie entsteht dann das Schrägbild? Von jedem Eckpunkt fällst du das Lot auf die Schrägbildachse.

Nr. 3

Kommen wir zur Raumdiagonalen! Ach so, da sind wir ja schon. Gefordert ist die Länge in Abhängigkeit von der Kantenlänge a des Würfels.

Berechnet wird die Raumdiagonale d mittels des rechtwinkligen Stützdreiecks. Die Raumdiagonale ist die Hypotenuse. Eine Kathete ist die Seitenkante [CG], die andere Kathete ist die Flächendiagonale [AC]. Diese musst du zuerst berechnen.

Du berechnest die Länge der Flächendiagonale [AC] z.B. im rechtwinkligen Dreieck ABC:

Für die Raumdiagonale d gilt:

Nr. 2

Du fällst von der Grundfläche in wahrer Größe, ganz gleich wie sie zur Schrägbildachse liegt, die Lote zur Schrägbildachse. Im Fußpunkt der Lote trägst du den Verzerrungswinkel an die Schrägbildachse an.

Alle senkrechten Strecken zur Schrägbildachsen werden mit dem Verkürzungsfaktor q verkürzt. Senkrechte Strecken sind hier keine Seiten, sondern die Lotstrecken. In diesem Fall musst du also die Lotstrecken abmessen. Ist der Verkürzungsfaktor q = 0,5 wie hier, dann trägst du auf dem freien Schenkel des Verzerrungswinkel die halbe Lotstrecke ab.

Damit erhältst du die Punkte der Grundfläche im Schrägbild. Die Seitenkanten, die auf der Grundfläche senkrecht stehen, sind parallel zur Zeichenebene und werden in wahrer Größe gezeichnet.

Die Deckfläche ist zur Grundfläche kongruent.

Die Grundfläche in wahrer Größe hängt am roten Punkt A₀. Ihn kannst du mit Maus auf dem Kreis bewegen.

Aufgabe 2:

Berechne die Länge der Raumdiagonalen d eines Quaders in Abhängigkeit von den Längen der Seitenkanten a, b, c.

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Nr. 1

Auch hier kannst du rotieren! Mit dem roten Punkt! Ich bin auch rotiert! Allerdings habe ich hier nur einen Kreissektor zugelassen. Ich wollte halt mal was ausprobieren. Es reicht aber völlig aus um eine Vorstellung vom Stützfreick zu gewinnen.

Auch hier habe ich die Grundfläche in wahrer Größe unter die Schrägbildachse gelegt. Von den Eckpunkten werden die Lote auf die Schrägbildachse gefällt. Im Fußpunkt der Lote wird der Verzerrungswinkel 45° angetragen. Die Lotstrecken werden mit q=0,5 verkürzt.

Die senkrechten Seitenkanten sind parallel zur Zeichenebene und werden demnach in wahrer Größe dargestellt. Grundfläche und Deckfläche sind kongruent.

Wie immer ist die gesuchte Raumdiagonale die Hypotenuse im rechtwinkligen Stützdreieck.

Ähnlich dem Würfel musst du hier zunächst die Diagonale in der Grundfläche berechnen:

Nr. 2

Damit kannst du im rechtwinkligen Stützdreieck ACG die Raumdiagonale d berechnen:

Hast du verstanden. was ein Stützdreieck im Schrägbild ist? Wenn nicht, musst du die Seite noch einmal von vorne durcharbeiten. Sonst läufst du Gefahr später im Leben dein Leben von Stütze zu fristen.

Mit Stütze meine ich Hartz IV, das sind etwa 350 Euro im Monat.

Rechtwinklige Stützdreiecke, die auf der Grundfläche senkrecht stehen, gibt es auch in Pyramiden. Dort sind sie sogar lebenswichtig für dich. Pyramiden sind nämlich schräge Vögel. Da die Grundfläche einer Pyramide jedes beliebige Vieleck sein kann, macht es keinen Sinn hier eine Formel für irgendeinen Speziallfall herzuleiten. Der typische Fall für Stützdreiecke ist die Berechnung von Seitenkanten und von Höhen in Seitenflächen. Also ich formuliere einmal einfach folgende Beispiel-Aufgabe für dich.

Aufgabe 3:

Die quadratische Grundfläche einer Pyramide hat die Seitenlänge a = 4 cm. Die Spitze S der Pyramide liegt über dem Diagonalenschnittpunkt M der Grundfläche. Die Höhe beträgt 7 cm.

a) Berechne die Länge s einer Seitenkante.

b) Berechne die Höhe einer Seitenflächhöhe h_s.

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Nr. 1

Die Länge der Seitenkante s berechnest du im rechtwinkligen Stützdreieck AMS:

ist die halbe Flächendiagonale im Quadrat. Die Formel für die Flächendiagonale im Quadrat solltest du inzwischen auswendig wissen. Zumindest solltest du sie in der Formelsammlung finden:

Damit gilt:

Die Seitenflächenhöhe h_s berechnest du im rechtwinkligen Stützdreieck FMS:

Nr. 2

weiter b)

ist die halbe Seitenlänge des Quadrats. Mit = 2cm gilt:

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