Grundlagen der Raumgeometrie - Vermischte Übungen

Raumspaziergang 4
Grundlagen der Raumgeometrie - Vermischte Übungen

Na du? What about with a little bit slow math? Genießen wir zusammen zum Schuljahresausklang ganz langsam ein paar Matheaufgaben, die ich für dich ausgesucht habe. Und wenn ich "slow math" sage, meine ich "slow math". Keine Hast! Keine Hektik! Nur tiefes Sinnen über die Aufgaben. Schlafe ruhig einmal darüber. Denke vor dem Einschlafen noch einmal an das Problem, das du lösen sollst. Du wirst sehen am nächsten Tag, vielleicht schon beim Aufwachen, kommt der Einfall von ganz alleine.

Ich halte es auch so. Mein Problem ist immer, wie gestalte ich das Arbeitsblatt zu einer Aufgabe. Wie bringe ich GeoGebra dazu, das zu tun, was ich will. Wenn ich nicht gleich einen Einfall habe, breche ich nichts übers Knie. Ich lege das Problem zur Seite und überlasse es meinem Hirn. Es arbeitet weiter daran, auch wenn ich etwas anderes mache oder schlafe. Ich mache immer wieder die Erfahrung, dass ich am nächsten Tag eine Idee habe. Manchmal habe ich das Gefühl, sie ist noch nicht das Gelbe vom Ei. Ich halte sie vorsichtshalber einmal fest. Meinem Hirn aber lasse ich Zeit bessere Lösungen reifen zu lassen.

Glaube mir, dass funktioniert auch bei dir. Aber du brauchst Zeit. Wenn du dich 3 Tage vor der Schulaufgabe mit Wissen und Übungsaufgaben vollstopfts, was macht dann dein Hirn? Es versucht verzweifelt den Haufen, den du ihm hingekippt hast, aufzuräumen. Dabei hat es kaum Zeit sich anzuschauen, was es aufräumt. Es ist ihm auch wurscht. Es braucht Platz zum Arbeiten. Am Prüfungstag verlangst du dann von deinem Hirn zu wissen, was es wo hingelegt hat. Es weiß aber nur noch, dass es das Ding in der Hand gehabt hat und in Lagerhalle B in ein Regal gelegt hat. Es marschiert also in die Lagerhalle B und geht die Regalreihen ab. Wenn du großes Glück hast, findet es die Lösungsidee noch vor Ende der Prüfungszeit.

Lernen braucht Zeit! Das Gelernte braucht Zeit zu reifen. So wie Käse Zeit zum Reifen braucht. Du ißt doch auch keinen frisch gepressten Emmentaler. Es würde dir schlecht werden.

Lass' deinem Hirn Zeit! Gib deinem Hirn Zeit! Gönn' deinem Hirn Zeit, das Gelernte reifen zu lassen. Lerne langsam, aber stetig und ständig. Und beginne rechtzeitig mit der Auffrischung!

Auf los geht's los: "Los!"

Aufgabe 1:

Ein Tetraeder ist eine Pyramide, die aus vier gleichseitigen Dreiecken besteht. Der Punkt M ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten in der Grundfläche. Die Spitze S liegt senkrecht über M. Der Punkt F ist Mittelpunkt der der Grundkante [BC]. Die Gerade AF (=Mittelsenkrechte) ist die Schrägbildachse.

a) Zeichne das Schrägbild eines Tetraeders mit der Kantenlänge a = 4 cm.

= 45°; q = 0,5

b) Berechne die Länge der Tetraederhöhe .

c) Gib die Länge der Tetraederhöhe in Abhängigkeit von der Seitenkante a an.

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Nr. 1

Wir betreiben zusammen "slow math". Also wundere nicht, wenn ich hier jeden Pubs drehe und wende, und von vorne und hinten und von der Seite beleuchte.

Du sollst ein Schrägbild zeichnen. Das erste Problem, was du lösen musst, ist die Frage: "Wie liegt die Grundfläche - in wahrer Größe - zur Schrägbildachse?"

Du nimmst ein Schmierblatt, skizzierst ein gleichseitiges Dreieck. Skizzieren heißt: Freihändig, ungefähr, aber richtig beschriftet.

Ich habe diese Skizze wirklich freihändig mit Geogebra erzeugt.

Nr. 6

weiter b)

Aus berechnest du die Strecke .

Mit dem Pythagoras im rechtwinkligen Stützdreieck AMS berechnest du jetzt .

Den Lösungsweg kennst du ja inzwischen.

Nr. 5

Zur Berechnung von musst du tief in deine Grundwissenkiste greifen. Bei der zentrischen Streckung hast du gelernt, welche besondere Eigenschaft der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden im Dreieck hat. Du solltest es wenigstens gelernt haben. Es ist ein kleiner Lehrsatz, ein kleines Werkzeug, das du immer einmal gebrauchen kannst.

Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2 : 1.

Mit diesem Werkzeug lässt sich im Stützdreieck AMS berechnen.

Doch zu nächst musst du die Länge der Strecke berechnen.

Nr. 4

weiter a)

Alle Transversalen fallen im gleichseitigen Dreieck zusammen. Ja, schon gut. Transversalen nennt man im Dreieck die Mittelsenkrechten, Höhen, Winkelhalbierenden und Seitenhalbierenden.

Viel einfacher ist es nur im Schrägbild zu arbeiten. Die Mittelsenkrechte AF ist im Schrägbild ja schon vorhanden. Mit dem Geodreieck mittelst du den Mittelpunkt G der Kante [AB] im Schrägbild aus. Du verbindest G mit C. Die Strecke [GC] ist auf alle Fälle die Seitenhalbierende. Da jedoch das Dreieck ABC gleichseitig ist, ist [GC] auch die Mittelsenkrechte.

Die Mittelsenkrechten [AF] und [GC] schneiden sich im Punkt M.

In M errichtest du das Lot auf der Strecke [AF]. Die Ebene AFS ist parallel zur Zeichenebene, d.h. aber die Strecke [AS] wird im Schrägbild in wahrer Größe dargestellt. Du zeichnest um A einen Kreis mit dem Radius 4 cm. Er schneidet das errichtete Lot im Punkt S. Damit kannst du das Tetraeder zeichnen.

Klicke zweimal auf Abspielen (unten im Arbeitsblatt) und schaue dir die Konstruktion an.

Nr. 3

weiter a)

Wie du die Grundfläche verschrägen musst, brauche ich dir hoffentlich nicht mehr zu erklären. Auch bei "slow math" kann ich auf Grundwissen nicht verzichten.

Jetzt gilt es den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zu bestimmen. Hier hast du 2 Möglichkeiten.

1. Möglichkeit

Du bestimmst den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten in der Grundfläche in "wahrer Größe" (mit dem Geodreieck). Du fällst das Lot von diesem Schnittpunkt auf die Schrägbildachse. Im Fußpunkt des Lotes trägst du den Verzerrungswinkel 45° an. Um den Fußpunkt des Lotes schlägst du einen Kreis mit der halben Lotlänge, den der Verkürzungsfaktor q ist 0,5.

Da ich diesen Weg nicht eingeschlagen habe, kannst du dir denken, dass dieser Weg ungeheuer umständlich ist.

2. Möglichkeit

Im gleichseitigen Dreieck gilt:

Mittelsenkrechte = Höhe = Winkelhalbierende = Seitenhalbierende

Nr. 2

weiter a)

Die Gerade AF ist die Schrägbildachse. So wie in der Skizze, kannst du die Grundfläche in "wahrer Größe" nicht zeichnen. Denke die ganze Skizze gedreht, so dass AF horizontal ist. [BC] ist senkrecht zur Schrägbildachse. Du fängst mit einer Strecke [BC] an, die parallel zu deiner rechten Heftkante ist. Du zeichnest die Mittelsenkrechte von [BC] und hast damit deine Schrägbildachse. Du sollst zwar zeitsparend mit dem Geodreieck arbeiten, doch jetzt brauchst du den Zirkel. Mit dem Radius 4 cm schlägst du einen Kreisbogen um B₀. Der Kreisbogen schneidet die Schrägbildachse in A₀. Damit hast du die Grundfläche in "wahrer Größe".

Nr. 7

weiter c)

Du berechnest zunächst und .

Aufgabe 2:

Eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche ist zu dreiviertel der Höhe mit der Spitze in Wasser eingetaucht.

Es gilt: = 4 cm; = 4 cm.

a) Zeichne das Schrägbild der Pyramide (q = 0,5; =45°; CD ist Schrägbildachse)

b) Berechne die Kantenlänge s und den Seitenflächeninhalt.

c) Markiere die eingetauchten Flächen.

d) Wie viel Prozent der Seitenflächen sind eingetaucht?

Schau dir die Konstruktion des Schrägbildes an, indem du unten im Arbeitsblatt zweimal auf Abspielen klickst.

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Nr. 1

Um die Kantenlänge s berechnen zu können brauchst du ein geeignetes Stützdreieck. Suche erst einmal selber eines, ehe du meinen Schalter betätigst. es gibt mehrere Möglichkeiten.

Ich habe mir das rechtwinklige Stützdreieck AMS ausgesucht. Um den Pythagoras ansetzen zu können, brauchst du zunächst die Streckenlänge .

Es gilt:

Die Formel für die Diagonale eines Quadrats hast du auf meinen Seiten schon öfters gebraucht. Allmählich solltest du sie auswendig wissen.

Es gilt:

Jetzt den Pythagoras im Stützdreieck anzusetzen ist doch ein Kinderspiel für dich. Oderrrrr?

Nr. 6

weiter d)

Was ist nun mein Werkzeug "Mhmhmh"?

A' = k² * A

Bildfläche = k² * Urfläche
(Inhalt)

Erinnerst du Dich? Den Inhalt der Seitenflächen der Pyramide hast du ja schon ausgerechnet. Den Streckungsfaktor k kennst du auch.

Es gilt:

Jetzt fehlt nur noch die stets vorkommende Prozentrechnung. In jeder Abschlussprüfung gibt es mindestens eine Prozentrechnung. Wenn du sie immer noch nicht beherrscht, wird es langsam Zeit. Du erledigst das Problem, so wie du es gelernt hast. Lehrer lehren verschiedene Methoden. Ich bevorzuge das Unversalwerkzeug "Dreisatz".

Die zu vergleichende Größe sind die 20,13cm² (Prozentwert). Die Vergleichsgröße sind die 35,78 cm² (Grundwert <=> 100%)

Nr. 5

Wenn du Dreiecke berechnen sollst in den eine Parallele zu einer Seite existiert, dann ist das Werkzeug "Vierstreckensatz" bzw. "Mhmhmh", ich verrate es noch nicht, ein heißer Tipp.

Siehst du die vielen Vierstreckensatzfiguren? In den Pyramiden der Abschlussprüfungen brauchst du sehr oft den "Vierstreckensatz" und das "Mhmhmh".

Falls du keine Ahnung mehr vom Vierstreckensatz hast, dann hilft alles nichts, du musst meine Lerneinheit zur "Zentrischen Streckung" noch einmal durchmachen.

Schau dir z.B. einmal das Dreieck ABS an. Es wird zentrisch gestreckt. Wo ist das Streckungszentrum und was ist der Streckungsfaktor.

Streckungszentrum ist die Spitze S und Streckungsfaktor ist k = .

Der Weg über den Vierstreckensatz wäre ein riesiger Umweg. Das Werkzeug "Mhmhmh", welches den rechnerischen Zusammenhang zwischen Bildflächeninhalt und Urflächeninhalt bei der zentrischen Streckung darstellt, ist kurz und schmerzlos.

Nr. 4

weiter c)

So jetzt mache den eingetauchten Teil sichtbar indem du den grünen Schieberegler/Schalter betätigst.

Die Höhe der Pyramide ist parallel zur Zeichenebene und wird deshalb in wahrer Größe dargestellt. Du misst die Höhe und trägst dreiviertel von deinem Messergebnis von der Spitze S aus auf der Strecke [MS] ab. So bekommst du den Punkt Q.

Du kannst natürlich auch die Strecke [MS) mit dem Geodreieck ausmitteln. Du markierst den Mittelpunkt der Strecke [MS]. Den unteren Teil halbierst du noch einmal und wieder hast du Q.

Durch Q legst du eine Ebene, die parallel zur Grundfläche ist. Wie kommst du von Q zur Schnittebene?

Du zeichnest zu den Diagonalen in der Grundfläche Parallelen durch den Punkt Q. Die Schnittpunkte mit den Seitenkanten markieren die Schnittebene. Sie teilen die Seitenkanten ebenfalls im Verhältnis 3:4. Wenn du die Schnittpunkte verbindest, erhältst du die Wasserlinie. Der grüne Teil der Pyramide ist eingetaucht.

Diese Aufgabe habe ich aus einem ganz bestimmten Grund ausgewählt: Dreiecke mit Parallelen!

Nr. 3

weiter b)

Über diese Teilaufgabe solltest du wirklich mal mindestens eine Nacht drüber schlafen, voher aber intensiv drüber nachdenken. Also lass' meinen Schieberegler in Ruhe. Du bringst dich um ein tiefes Gefühl der Zufriedenheit, wenn du es selbst herausfindest. Wie kannst du den eingetauchten Teil korrekt konstruieren?

Einen Hinweis gebe ich dir. Die Pyramide ist ja zu dreiviertel der Höhe ins Wasser getaucht. Das ist der Schlüssel.

Du weißt doch noch, dass Parallelen zur Zeichenebene in wahrer Größe gezeichnet werden.

Jetzt muss es aber gehen!

Nr. 2

weiter b)

Die 4 Seitendreiecke sind kongruent, du musst also nur eines berechnen und mit 4 multiplizieren um den Seitenflächeninhalt zu erhalten.

Allerdings hat vor den Erfolg der Herrgott den Schweiß gesetzt. Um so ein Seitendreieck berechnen zu können, fehlt dir die Dreieckshöhe. Inzwischen hast du sicherlich die Stützdreiecke eingeblendet und weißt in welchem Dreieck du die Dreieckshöhe berechnen kannst.

Im rechtwinkligen Stützdreieck MFS gilt:

weiter mit Pythagoras!

Nr. 7

weiter d)

Es gilt:

35,78 cm² <=> 100%

0,3578 cm² <=> 1 %

20,13 cm² <=> 56,26 %

NR mit GTR: 20,13 : 0,3578 = 56,26

In deine Werkzeugkiste für die Raumgeometrie gehören:

Pythagoras
Vierstreckensatz
"Mhmhmh" A' = k²*A

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