Trigonometrie 3 - Tangens am Einheitskreis

Trigonometrie 3
Tangens am Einheitskreis - Steigung einer Geraden

Du willst wissen, warum ich Trigo so ganz anders anfange als dein(e) LehrerIn ? Zeit ist knapp, Mathe-Artistik nützt uns nichts, wir beide sollten zielorientiert zusammenarbeiten, und das Ziel heißt Abschlussprüfung. Wenn du mir vertraust, wirst du sehen, dass wir nach nach 5 - 7 Webseiten deinen Matheunterricht wieder eingefangen haben. Viele Wege führen nach Rom, und im Augenblick halte ich meinen für den kürzesten und bequemsten.

Ach du meine Güte, zwei Bonbons in einer Tüte. Ich habe vergessen dich zu grüßen. Also ein herzliches Grüß Gott und ich freue mich, dass du da bist.

Worum geht es heute? Heute geht es natürlich um den Tangens und was er mit Geradensteigungen zu tun hat. Und es geht um Einheitskreise.

Ja, den Begriff hast du noch nie gehört, ich weiß es ja. Motz' nicht rum. Es ist ein Kreis im Koordinatensystem mit dem Radius 1 LE und der Mittelpunkt ist der Ursprung. Es ist ein Werkzeug, oder besser ein Schmiermittel für dein Hirn. Er macht alles so schön einfach.

Aber alles weitere erläutere ich dir im rechten Rand unten neben dem interaktiven Arbeitsblatt. Um meine Plaudereien der Reihe nach einzublenden klicke auf 1, 2, 3 usw. oder benutze die Dreiecks-Schalter im Rand unten.

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Nr. 1

Der Kreis hat seinen Mittelpunkt im Ursprung O und sein Radius beträgt 1 LE. Er heißt Einheitskreis, er ist der Einheitskreis. Warum er so heißt, überlasse ich deiner Intelligenz. Aber eines kann ich dir doch verraten: Es hat nichts mit der deutschen Einheit zu tun.

Auf dem Einheitskreis findest du den Punkt R. Ihn kannst du mit der Maus auf dem Einheitskreis bewegen. Damit drehst du auch die Ursprungsgerade g = OP.

Du siehst zwar immer nur eine Ursprungsgerade, doch letztlich erzeugst du mit der Drehung ein Geradenbüschel mit dem Büschelpunkt O.

Dann gibt es da eine Tangente an den Kreis und auf dieser Tangente wandert der Punkt P bei der Drehung von R auf und ab.

Jetzt muss ich einmal tief in deine Grundwissenkiste greifen. Weißt du noch, dass eine Tangente auf dem Berührradius senkrecht steht?

Berührradius ist der Radius zum Berührpunkt, hier also die Strecke [OQ]. Die Tangente ist demnach parallel zur y-Achse.

Nr. 5

Wir halten fest:

Am Einheitskreis lässt sich zeigen, dass der Tangens des Steigungungswinkels gleich der Steigung m einer Geraden ist.

m = tan , wobei das Maß des Winkels ist, den die Gerade mit der positiven x-Achse einschließt. Dabei ist der Drehsinn für Winkel "Linksherum" zu beachten.

Was wir mit dem Einheitskreis erreicht haben, ist eine neue Definition für den Tangens. Du hast den Tangens im rechtwinkligen Dreieck als Kathetenverhältnis kennengelernt. Hier gilt für :

Hier haben wir aber den Tangens als Steigung einer Geraden festgelegt. Für gilt nun:

Man kann sich aber auch völlig von diesen beiden Vorstellungen lösen.

Nr. 4

Was haben wir bis jetzt erarbeitet. In meinem Geschmarri geht das manchmal unter. Wir haben folgendes erarbeitet:

Die y-Koordinate des Punktes P ist gleich der Steigung der Geraden g = OP.

Was hat das jetzt mit dem Tangens zu tun. Du ahnst es schon? Bitte lass mich zu Ende reden.

Der Steigungswinkel der Geraden wird zwischen der positiven x-Achse und der Geraden gemessen.

Für den Steigungswinkel gilt im Dreieck OQP:

Ergebnis:

Der Tangens des Steigungswinkels einer Geraden ist gleich der Steigung m.

Kommt dir jetzt über den Hinterkopf, ausgehend vom Gesäß, eine helmartige Ahnung warum der Tangens "Tangens" heißt?

Nr. 3

So jetzt komme ich zu dir, der mit dem Begriff Steigungsvektor nichts anzufangen weißt. Du berechnest die Steigung aus 2 Punkten A(x₁/y₁) und B(x₂/y₂) mit der Formel:

Jetzt schau dir dies einmal an. Für den Vektor gilt:

Das ist jetzt dein Steigungsvektor und für jeden Steigungsvektor gilt:

Du siehst deine Formel für die Steigung lässt sich letztlich auch auf den Steigungsvektor zurückführen. Und weißt du was? Ich halte die Modellvorstellung von einem Steigungsvektor für leichter.

Nr. 2

Durch die Punkte O und R habe ich eine Gerade gezogen. Sie schneidet die Tangente im Punkt P. Und dieser Punkt P ist jetzt der Schlüssel für alle weiteren Überlegungen.

Welche Koordinaten hat P?

Für P gilt: P(1/m)

Wobei m die Steigung der Geraden g ist.

Nanu, wie das denn? Grundwissenkiste! Wie wird eine Geradensteigung berechnet?

Bitte habe Geduld! Ich erinnere meine Schüler an den Steigungsvektor, dann zeige ich dir, dass deine Steigungsformel genau dasselbe ist.

Um die Steigung einer Geraden zu berechnen, brauchst du einen Steigungsvektor, einen Vektor der auf der Geraden liegt. Ein Steigungsvektor ist hier. Aus den Koordinaten des Steigungsvektors kannst du die Steigung berechnen. Es gilt:

Nr. 6

Wir könnten natürlich sagen der Tangens entspricht der Maßzahl der Länge des Tangentenabschnittes [PQ]. Jedem Winkel wird eine Länge zugeordnet. Die kannst du messen und der Maßzahl dann das entsprechende Vorzeichen zuordnen.

Maßzahlen von Tangentenabschnitten unterhalb der x-Achse bekommen ein Minuszeichen.

Mit dieser Definition des Tangens kannst du jedem beliebigen Winkel einen Tangenswert zuordnen. Es gilt also:

Schalte bitte diesen Definitionsbereich im Arbeitsblatt links ein und bewege den roten Punkt R einmal auf dem Kreis herum. beobachte was passiert.

Siehst du, dass sich die Tangenswerte nach 180° wiederholen? Für welche Winkelwerte ist der Tangens positiv und für welche negativ?

Aufgabe 1:

Berechne die Gleichung der Geraden g, die durch den Punkt P verläuft und mit der Richtung der positiven x-Achse einen Winkel mit dem Maß a einschließt.

a) = 21,80°; P(0/0)	b) = 45°; P(0/5)

c) =135°; P(1/2)	d) = 150°; P(4/0)

Lösung einblenden hier...

a) m = tan 21,80° = 0,4

g: y = 0,4x (Ursprungsgerade)

b) m = tan 45° = 1

P(0/5) => t = 5 => g : y = x +5

c) m = tan 135° = -1

y = - x + t | P eingesetzt

2 = - 1 + t | +1

t = 3

g: y = -x + 2

d) m = tan 150° = -0,58

y = -0,58x + t | P eingesetzt

0 = -0,58*4 + t

0 = - 2,32 + t | +2,32 => t = 2,32

g: y = -058x + 2,32

Bevor wir mit weiteren Übungsaufgaben fortfahren, möchte ich dir doch noch zwei Beziehungen zwischen Tangenswerten zeigen. Du brauchst sie gelegentlich. Du solltest wissen wo sie in der Formelsammlung stehen. So richtig wichtig sind sie im Zeitalter des graphischen Taschenrechners nicht. In der Wahlfachgruppe II/III kannst du oftmals deine Lösung nicht auf die in der Aufgabe dargestellte Lösung bringen, wenn du diese Beziehungen nicht einsetzt. Das macht dich unsicher und kostet einen halben Punkt.

Also spiele ein wenig mit meinem Arbeitsblatt unten. Du kannst den grünen Punkt auf einem Viertel des Einheitskreises bewegen. Bewege ihn und studiere das Arbeitsblatt. Versuche die Aussage des Arbeitsblattes zu verstehen. Wenn du damit spielst und es studierst, erklärt es sich selber.

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So, es folgen ein paar Übungen mit dem Taschenrechner. Und damit du nicht von der Anzeige deines Taschenrechners überrascht wirst und glaubst, dass du einen Reset durchführen musst, machen wir noch ein Beispiel gemeinsam.

Aufgabe 2:

Berechne mit dem Taschenrechner

a) tan (-120°); tan 60°; tan 240°; tan 420°

b) tan 20°; tan 200°; tan 380°; tan 560°

c) tan (-35°); tan 145°; tan 325°

a) tan (-120°) = 1,73 = tan 60° = tan 240° = tan 420°

b) tan 20° = 0,36 =tan 200° = tan 380°; tan 560°

c) tan (- 35°) = - 0,70 = tan 145° = tan 325°

Der Tangenswert wiederholt sich alle 180°!

Aufgabe 3:

Berechne mit dem Taschenrechner das Winkelmaß, dass zu tan a = - 0,8 gehört, wobei gilt:

Tastenfolge mit dem Casio-GTR: SHIFT tan - 0,8 EXE

Der GTR zeigt mit a = -38,66° ein negatives Winkelmaß an. Du musst diese Ergebnis noch in ein positives Winkelmaß umrechnen. Das kannst du mit den Beziehungen machen, die ich oben im Arbeitsblatt hergeleitet habe. Ich halte das aber für viel zu kompliziert. Der Tangens wiederholt sich alle 180°. Du addierst einfach zu deinem Ergebnis 180°.

a₁ = -38,66° + 180° = 141,34°

Es gibt noch eine 2. Lösung im Definitionsbereich

a₂ = 141,34° + 180° = 321,34°

Aufgabe 4:

Berechne die zugehörigen Winkelmaße im Definitionsbereich .