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Geometrie mit Spaß lernen
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Trigonometrie 4
Tangens - Vermischte Übungen
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Heute gilt's! Ich grüße dich. Salve! Eine Seite vollgepackt mit Aufgaben zum Tangens wartet auf dich. Ich will nicht soviel Platz mit Geschmarri verschwenden, drum fangen wir gleich an.
Aufgabe 1:
Die Gerade g verläuft durch A(0/0) und schließt mit der positiven x-Achse den Winkel 31° ein. Die Höhe ha des Dreiecks ABC mit B(3/0) liegt auf der Geraden g, der Eckpunkt C liegt auf der y-Achse. Zeichne das Dreieck. Berechne die Koordinaten des Eckpunktes C.
Mit Klick auf 1, 2 usw. blendest du meine Plaudereien am Rand ein. |
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| Nr. 1 |
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Die Konstruktion kannst du Abspielen. Klicke unten zweimal auf Abspielen.
Schau sie dir an, denn wie oft in der Geometrie zeigt dir die Zeichnung den Lösungsweg auf.
Du fällst von B aus das Lot auf die Gerade g. Warum?
Die Höhe ha des Dreiecks ABC liegt auf der Geraden g. Also muss die Seite [BC] auf g senkrecht stehen.
Das Lot schneidet die y-Achse im Punkt C.
Der Punkt C ist der y-Achsenabschnitt der Lotgeraden, d.h. du musst die Gleichung der Lotgeraden berechnen.
Weißt du noch, wie man Geradengleichungen berechnet? Schrillen bei dir die Alarmglocken, weil hier zwei Geraden aufeinander senkrecht stehen? |
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| Nr. 2 |
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Deine Alarmgocken schrillen nicht? Tja, für eine Geradengleichung benötigst du die Steigung m und den y-Achsenabschnitt.
Erinnerst du dich an
m1 * m2 = -1 ?
Das ist der rechnerische Zusammenhang zwischen den Steigungen zweier Geraden, die aufeinander senkrecht stehen. Dieses Werkzeug gehört einfach in deine Werkzeugtasche.
Von der Geraden g kennst du den Steigungswinkel 31°. Der tan 31° ist die Steigung m der Geraden g.
tan 31° = 0,60 = m1
Damit gilt für die Steigung der Lotgeraden:
0,6 * m2 = -1 | : 0,6
m2 =  = - 1,67 |
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| Nr. 3 |
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Für die Lotgerade gilt:
y = x + t | B eingesetzt
0 = *3 + t
0 = - 5 + t | + 5
t = 5
=> C(0/5)
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Aufgabe 2:
Berechne das Winkelmaß  und die Koordinaten des Schnittpunktes S, unter dem sich die beiden Geraden g und h schneiden. Runde auf zwei Stellen nach dem Komma.
Es gilt:
g: y = 0,5x + 1
h: y = -x + 5 |
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Nr. 5
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GRAPH - F6 - F5 - F5
Oben ist die Dokumentation für deine Lösung mit dem Casio-GTR. |
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Nr. 6
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Du gehst ins Menü GRAPH. Du tippst die Geradengleichungen ein. Ich hab das hier schon so oft erklärt. Mail mir, wenn du Hilfe brauchst. Mit der Funktionstaste F6 lässt du die Geraden zeichnen. Dein Koordinatensystem ist wurscht! Mit F5 wählst du G-Solv. Nochmals mit F5 wählst du dort ISCT (=Intersect = Schneiden).
Du bekommst natürlich keine Brüche heraus. Runde einfach die Ergebnisse auf 2 Nachkommastellen.
Alles klar? Sorry, ich kann nicht immer für jede Wissenslücke das Wissen liefern. Du musst schon auch etwas tun. Ich bin kein Kellner!
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| Nr. 3 |
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Was ich gerade gesagt habe, gilt nur für Bayern, also nur für bayerische Schüler.
Manche Kollegen werden sich aufregen, dass ich hier Schüler aufhetze. Dem ist nicht so. Aber ich rege mich auch auf, und zwar über das ständige Abblocken der Fähigkeiten des GTR. Die Mathematik geht keineswegs unter. Denselben Schmarrn habe ich vor langer Zeit gehört als die Taschenrechner in der Schule zugelassen wurden. Wir sind im Jahr der Mathematik! Liebe Kollegen schaut's euch einmal um, welche Rolle der Computer heute in der aktuellen Hochschulmathematik spielt. Er ist ein Beweisinstrument. Ach, was soll's, machen wir weiter. Nur noch ein's an dich: Wehr dich, wenn es dich betrifft. |
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| Nr. 2 |
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Um den Schnittpunkt S zu berechnen, musst du entweder ein lineares Gleichungssystem lösen oder deinen grafischen Taschenrechner einsetzen und diesen Einsatz korrekt dokumentieren.
Ich kenne das Problem mit den Kollegen, die dieses nicht zulassen wollen. In der Abschlussprüfung kann dir niemand den Einsatz des grafischen Taschenrechners verbieten. Nur die Programmierfähigkeit darfst du nicht benutzen. Ich denke, auch während des Schuljahres kann dir kein Lehrer den Einsatz des GTR verbieten. Du solltest deinen Lehrer/ deine Lehrerin freundlich im Ton darauf hinweisen, dass du auch vor's Verwaltungsgericht ziehen kannst. |
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Nr. 4
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y = 0,5x + 1
y = -x + 1
Du setzt die Rechtsterme gleich.
0,5x + 1 = -x + 5 | + x
1,5x + 1 = 5 | - 1
1,5 x = 4 | : 1,5
x =  => y = - + 5 = 
=>  |
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Aufgabe 3:
Gegeben ist eine Schar von Dreiecken ABCn. Die Punkte Cn(x/2x+8) liegen auf der Geraden g mit y = 2x + 8.
Es gilt: A(-4/0); B(3,5/2,5)
a) Zeichne das Dreieck ABC1 für x = -1
b) Berechne das Maß  des Winkels BAC1 . [Ergebnis: = 45°]
c) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC1 sowie die Länge  und
die Höhe hc.
d) Das Lot von C1 auf die Strecke [AB] schneidet diese im Punkt D1. Berechne die Koordinaten von D1. [Ergebnis: D1(0,5/1,5)]
e) Berechne die fehlenden Innenwinkelmaße  1 und  1 des Dreiecks ABC1.
f) Für das Dreieck ABC2 gilt: = 90°. Zeichne es ein und berechne die Längen der Seiten. |
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| Nr. 1 |
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a)
Klicke unten am Arbeitsblatt zweimal auf Abspielen und schau dir die Entstehung der Zeichnung an.
b)
berechnest du als Differenz von zwei Steigungswinkeln. Steigungswinkel von g - Steigungungswinkel von AB.
Steigungswinkel 1 von g:
tan 1 = 2 => 1 = 63,43°
Steigungswinkel 1 von AB:
Hier musst du zunächst die Steigung berechnen. Ich mache mittels des Steigungsvektors.
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| Nr. 9 |
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weiter e)
g1=180°-(45°+56,31°)
=78,69°
f)
Das Dreieck ABC2 ist gleichschenklig-rechtwinklig, weil a = 45° ist. Wobei die Seite b die Hypotenuse ist. Es gilt:
a = c = 7.91 LE
Pythagoras:
b² = 2c²
b² =2*7,91² = 125,14
b = 11,19 LE
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| Nr. 8 |
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weiter c)
 Flächeninhalt des Dreiecks ABC1
d)
siehe 2. Lösung in Teilaufgabe c)
e)
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| Nr. 7 |
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weiter c)
D1 ist der Schnittpunkt der beiden Geraden.
Die Höhe hc lässt sich jetzt als Länge des Vektors  berechnen.
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| Nr. 6 |
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weiter c)
C1(-1/6) eingesetzt in :
y = -3x +t
6 = -3*(-1) + t | - 3
t = 3
für die Senkrechte gilt also:
y = -3x + 3
Jetzt brauchst du noch die Geradengleichung von AB. Die Steigung m hast du ja schon.
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| Nr. 5 |
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weiter c)
Du meinst, du könntest doch die angegebene Lösung von Teilaufgabe d) verwenden.
Pustekuchen! Das kannst du nicht. Du sollst ja D1 mit den Ergebnissen von Teilaufgabe c) berechnen. Wenn du die angegebene Lösung von d) nimmst um c) zu lösen und dann die Ergebnisse von c) um d) zu lösen, dann, ja dann beißt sich die Katze in den Schwanz.
Merke: Nimm niemals eine angegebene Lösung aus einer Teilaufgabe, die weiter unten steht, um eine Teilaufgabe oben zu lösen.
Um D1 zu berechnen musst du die Geradengleichung der Senkrechten zur Strecke [AB] durch den Punkt C 1 berechnen.
Die Steigung von AB  hast du schon Teilaufgabe b) berechnet. Für Senkrechte gilt.
m1 * m2 = - 1 |
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| Nr. 4 |
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weiter c)
Lösung mit 
Hierzu brauchst die Streckenlängen  und  .
Dazu ist es notwendig zuerst die Koordinaten von D1 zu berechnen.
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| Nr. 3 |
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weiter c)
Lösung mit
Hierzu brauchst du 2 Vektoren, die das Dreieck aufspannen. Sie müssen denselben Fußpunkt haben.
in Teilaufgabe b) berechnet!
Die beiden Vektoren bilden die Spalten der Determinante. Weißt du noch welcher Vektor in die erste Spalte muss?Erster Vektor ist derjenige Vektor der gegen den Uhrzeigersinn gedreht (linksherum) das Dreieck überstreicht. Hier also:
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| Nr. 2 |
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weiter b)
= 1 - 2
= 63,43°-18,43°= 45°
c)
Du sollst den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen. Welche Formeln hast du dafür zur Verfügung?
Sicherlich denkst du zuerst an die Flächenformel A=0,5*g*h. Es gibt einen Lösungsweg sie einzusetzen. Doch einfacher ist die Determinantenformel. Ich werde dir beide Lösungswege vorführen.
Doch für beide Lösungswege brauchst du zu nächst einmal die Koordinaten von C1.
y = 2x + 8 | - 1 eingesetzt
y = 2*(-1) + 8 = 6
=> C1(-1/6) |
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Aufgabe 4:
Die Punkte Bn(x/2x-1) von Rauten ABnCnDn liegen auf der Geraden g
mit y = 2x - 1.
Es gilt: A(-1/2); Cn(-1/yC)
a) Zeichne die Raute AB1C1D1 und AB2C2D2 für x = 2 und x = 3,5.
b) Welche Werte sind für x zulässig, so dass Rauten ABnCnDn existieren .
c) Berechne das Maß des Winkels B1AD1.
d) Zeige, dass für dass Maß 1 des Winkels BnADn gilt: 
e) Berechne die Belegung von x, für die Raute AB3C3D3 gilt: = 112,62° .
f) Die Raute AB4C4D4 ist zugleich ein Quadrat. Berechne die Belegung von x.
g) Stelle den Flächeninhalt der Rauten in Abhängigkeit von x dar.
Schiebe das Arbeitsblatt am roten Balken nach links bis der rechte Rand frei liegt. Dort blendest du dann die Lösungen ein. |
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| Nr. 1 |
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a)
Ich habe hier die 2. Raute konstruiert. Wie habe ich das gemacht. Du zeichnest den Punkt A und die Gerade g. Du legst den Punkt B mit x = 3,5 fest indem du das Geodreieck entsprechend anlegst. Die Streckelänge  nimmst du in den Zirkel und zeichnest einen Kreis um B mit r = . Der Kreis schneidet die Parallele zur Y-Achse mit x = -1 im Punkt C. Mit Kreisen um A und C ebenfalls mit dem Radius r = konstruierst du D.
b)
Den Punkt B kannst du mit der Maus auf g bewegen. Wenn du B auf g nach unten ziehst, wie wirkt sich das auf C aus?
Es gilt: x > 2
Für x = 2 gäbe es kein Parallelogramm mehr, da A, B, C und D auf einer Geraden liegen.
Für x < 2 wäre der Umlaufsinn der Parallelogramme falsch.
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| Nr. 4 |
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weiter e)
f)
g)
Suche dir Flächenformel für die Raute aus der Formelsammlung.
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| Nr. 3 |
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weiter d )
Im Dreieck ABM gilt:
Die Punkte B und M haben die gleiche y-Koordinate. Sie liegen nebeneinander. Du berechnest ihren Abstand mit:
Die Punkte A und M haben die gleiche y-Koordinate. Sie liegen übereinander. Du berechnest ihren Abstand mit:
e)
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| Nr. 2 |
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c)
Im Dreieck ABM gilt:
Die Punkte B und M haben die gleiche y-Koordinate. Sie liegen nebeneinander. Du berechnest ihren Abstand mit:
Die Punkte A und M haben die gleiche y-Koordinate. Sie liegen übereinander. Du berechnest ihren Abstand mit:
d)
Der Lösungsweg für diese Teilaufgabe ist derselbe wie oben.
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| Nr. 5 |
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weiter g)
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Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 15 September, 2009 20:08
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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