Trigonometrie 5 - Sinus und Kosinus eines Winkels

Trigonometrie 5
Sinus und Kosinus eines Winkels

Na du? Wie geht es dir? Gut? Diese Seite wird dir keine Schwierigkeiten machen. Du musst nur ein wenig Zeit und Interesse mitbringen. Lass uns mit einer Aufgabe einsteigen.

Die Abbildung zeigt eine Rollstuhlrampe. "Rollstuhlgängige Anlagen", die Rollstuhlfahrer aus eigener Kraft bewältigen können, dürfen höchstens 5° - 7° Steigungswinkelmaß haben.

Das Steigungswinkelmaß bei dem rollstuhlgängigen Aufgang der Stadt Halle beträgt 6°. Der Eingang liegt 1,20 m über dem Ausgangsniveau.

Wie lang muss der Aufgang sein und wie weit vor dem Eingang muss der Aufgang beginnen? Löse die Aufgabe durch Zeichnung und Rechnung.

Wie du es durch Zeichnung lösen kannst, siehst du oben. Die Genauigkeit kannst du nur mit einem Geometrieprogramm erreichen. Ich habe GeoGebra genutzt. In deinem Heft kannst du höchstens auf Millimeter genau messen.

Rechnerisch gilt:

Die Länge der Rampe lässt sich mit dem Pythagoras berechnen.

Warum ich diese Aufgabe als Einstieg benutzt habe? Man müsste doch die Länge der Rampe direkt berechnen können, wenn man den Steigungswinkel und den Höhenunterschied kennt? Dazu müsstest du wissen, ob es im rechtwinkligen Dreieck Zusammenhänge zwischen Winkelmaß, Katheten- und Hypotenusenlänge gibt.

Natürlich gibt es diese Zusammenhänge. Ich habe sie dir unten auf dem Arbeitsblatt dargestellt. Den grünen Punkt B kannst du mit Maus ziehen. Schaue was passiert.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Wenn du den Punkt B ziehst, erzeugst du ähnliche Dreiecke. Warum? Sie stimmen in den Winkeln überein. Für ähnliche Dreiecke gilt, dass die Seitenverhältnisse in ähnlichen Dreiecken übereinstimmen, d.h. aber du kannst so ein Seitenverhältnis einem Winkel zuordnen.

Um die Hypotenuse direkt berechnen zu können, definierst du jetzt zwei Seitenverhältnisse mit den Namen Sinus und Kosinus.

Warum diese Namen gewählt wurden, kann ich dir erst später erklären.

Es gilt:

Nicht dass du glaubst, ich mogle, sin 36° und cos 36° werden für jeden Punkt B neu berechnet. Aber die Seitenverhältnisse in ähnlichen Dreiecken sind nun einmal gleich, auch in rechtwinkligen Dreiecken.

Überprüfe 3 Fälle mit dem Taschenrechner!

Ich möchte dir diese Definition (= Festlegung) des Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck noch mit einem weiteren Arbeitsblatt vor Augen führen. In ihm ändern sich die Winkel (natürlich nicht der rechte Winkel).

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Mit der Maus kannst du alle 3 Punkte A, B und C bewegen. Die Rechtwinkligkeit bleibt erhalten.

In einem rechtwinkligen Dreieck heißt der Quotient

des Winkels "Sinus von ", kurz sin und der Quotient

"Kosinus von ", kurz cos.

Spiele mit dem Arbeitsblatt und beobachte sin und cos, sowie sin b und cos a, Pilot und Kopilot, Sinus und Kosinus. Welcher Zusammenhang besteht?

Siehst du, dass gilt:

sin = cos (90° - )

bzw.

cos = sin (90° - )

sinus = lateinisch "Busen"
Warum? Das erfährst du später.

Die Berechnung der Rollstuhlrampe oben hat sich jetzt beträchtlich vereinfacht. Jetzt hast du die Qual der Wahl. Nein, besser! Dingdong! Dingdong! Treten sie näher meine Herrschaften! Schon wieder wurde die freie Auswahl gewonnen!

Für die Berechnung der Rollstuhlrampe hast du folgende Möglichkeiten:

Für Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken gilt:

Kathete berechnen? => Tangens nehmen

Hypotenuse berechnen? => Sinus oder Kosinus nehmen

Zum Ende der Stunde müssen wir noch über den Einsatz des Taschenrechners plaudern. Alles läuft genauso wie beim Tangens.

sin 26° = 0,4383711486 = 0,44 (auf 2 Kommastellen runden!)

Tastenfolge: SIN 26 EXE (beim Casio)

cos 34° = 0,8290375726 = 0,83

Tastenfolge: COS 34 EXE (beim Casio)

Wie schaut es aus, wenn du zu einem Sinuswert bzw. Kosinuswert den zugehörigen Winkel bestimmen sollst. Wie beim Tangens ist der Definitionsbereich für unsere Winkel zunächst das Intervall [0°; 90°[. Ich weise aber daraufhin, dass wir genauso wie beim Tangens auch beim Sinus und Kosinus den Definitionsbereich mittels des Einheitskreises den Definitionsbereich auf das Intervall [0°; 360°] erweitern.

sin = 0,6 => = 36,86989765° = 36,87°

Tastenfolge: SHIFT SIN 0,6 EXE (beim Casio)

bei anderen Taschenrechnern sieht es vielleicht so aus:

Tastenfolge: INV (oder 2nd) SIN 0,6 =

cos = 0,2 => = 78,46304097° = 78,46°

Tastenfolge: SHIFT COS 0,2 EXE (beim Casio)

bei anderen Taschenrechnern sieht es vielleicht so aus:

Tastenfolge: INV (oder 2nd) COS 0,2 =

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