Figurine12
 
 
 
 
 
 
 
Geometrie mit Spaß lernen

 
 
 

Trigonometrie 6
Beziehungen zwischen Winkelmaßen für Sinus und Kosinus

 
     
 

Schön, dass du wieder da bist. Servus! Auf dieser Seite schauen wir uns Sinus und Kosinus am Einheitskreis an.

Aufgabe 1:

Ich habe mit GeoGebra einen Einheitskreis gezeichnet (r = 1 LE). An die Kreislinie habe ich einen Punkt P gebunden, den du mit der Maus auf der Kreislinie rundherum ziehen kannst. Die x- und die y-Koordinate des Punktes P sowie das Winkelmaß , das die Strecke [OP] mit der Richtung der positiven x-Achse einschließt, wird angezeigt.

Bearbeite bitte selbstständig folgende Aufgaben:

a) Gib das Intervall für die x- bzw. y-Koordinate an.

b) Für welche Maße ist die x-Koordinate, für welche die y-Koordinate negativ?

c) Welche besonderen x- und y-Werte treten auf? Gib jeweils das zugehörige Winkelmaß an.

d) Begründe, dass für gilt: cos = x und sin = y

e) Ist für > 90° die Zuordnung cos = x und sin = y ebenfalls sinnvoll? Verwende das Arbeitsblatt und deinen Taschenrechner.

Die Lösungen kannst du einblenden, wenn du unten auf 1, 2, 3 usw. klickst.

 
 
 
 
1
2
3
4
5
 
 

 

 
 
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)  
 
 

Das nächste Arbeitsblatt beschäftigt sich mit negativ orientierten Winkeln. So wie ich beim Tangens vorgegangen bin, gehe ich auch bei Sinus und Kosinus vor.

 
     
 
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)  

Die Beziehung bei Sinus und Kosinus im Zusammenhang mit negativ orientierten Winkeln ist links im Arbeitsblatt anschaulich dargestellt. Ziehe den Punkt P "rundherum" und beobachte was passiert.

Diesen Zusammenhang musst du nicht auswendig lernen, du findest ihn in deiner Formelsammlung. Du musst nur wissen, dass er existiert.

In der Wahlfachgruppe II/III in Bayern brauchst du diesen Zusammenhang eher selten. Ein Taschenrechner, zumal ein graphischer Taschenrechner macht alle diese Beziehungen ziemlich überflüssig.

Es soll ja aber Schüler geben, die so etwas nicht besitzen oder nicht benutzen dürfen.

Deswegen stelle ich es hier dar und zeige später auch wozu man es benutzen kann.

Dasselbe lässt sich auch über die unten dargestellten Supplementbeziehungen sagen. Der graphische Taschenrechner macht sie zumindest in der Wahlfachgruppe II/III überflüssig. Doch in Wahlfachgruppe I braucht man manchmal solche Mathe-Artistik.

 
  Schauen wir uns noch die Supplementbeziehungen bei Sinus und Kosinus an. Ziehe mit der Maus den Punkt auf dem Einheitskreis und beobachte was passiert. Du wirst nach kurzer Zeit die beiden Supplementbeziehungen verstehen.  
 

 

 
 
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

 

 
 

Ich will dir nur kurz zeigen wie man die Beziehungen oben verwenden kann. Aber wie schon erwähnt, sie spielen im Matheunterricht an den Bayerischen Realschulen keine große Rolle mehr, zumindestens wenn man die Abschlussprüfeungen betrachtet. Man braucht sie dort hin und wieder um sein eigenes Ergebnis auf die in der Aufgabenstellung dargestellte Lösung zu bringen, also zum Umformen. Kann man das nicht, kostet es allenfalls einen halben Punkt.

Aufgabe 1:

Berechne die zugehörigen Winkelmaße zu sin = 0,7 mit .

Lösung:

So eine Gleichung mit Sinus, Kosinus und Tangens hat im in einem Definitionsbereich mit immer 2 Lösungen. Dein Taschenrechner zeigt aber nur eine Lösung an. Wie du dir mit dem Casio-GTR beide Lösungen anzeigen lassen kannst, zeige ich dir später. Es ist zwar babyleicht, du würdest jetzt aber den mathematischen Hintergrund nicht verstehen. Du brauchst also eine Möglichkeit die 2. Lösung aus der ersten Lösung zu berechnen und dazu können u.a. diese Beziehungen oben dienen.

 

SHIFT SIN 0,7 EXE (mit dem Casio)

Anzeige (gerundet) 44,43 => 1 = 44,43°

In welchen Quadranten ist denn der Sinus überhaupt positiv? Richtig im 1. und im 2.Quadranten!

Nun kommt die Supplementbeziehung sin = sin (180° - ) ins Spiel.

2 = 180° - 1 = 180° - 44,43° = 135,57°

Ergebnis IL = {44,43°; 135,57°}

 

Um solche Art Gleichungen zu lösen brauchst du diese Beziehungsgleichungen oben nicht. Es reicht ein einziges graphisches Werkzeug: Eine Einheitskreisskizze, und zwar für alle möglichen Fälle. Das werde ich dir beibringen. Und allen denen die einen Casio-GTR benutzen dürfen, zeige ich wie sie sich beide Lösungen vom GTR anzeigen lassen können.

 
 

 

 
     
     
 
Zurück zu Seite 5 geht es hier...  
 
     
Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 20:09 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

Free counter and web stats