Schön, dass du wieder da bist. Servus! Auf dieser Seite schauen wir uns Sinus und Kosinus am Einheitskreis an.

Aufgabe 1:

Ich habe mit GeoGebra einen Einheitskreis gezeichnet (r = 1 LE). An die Kreislinie habe ich einen Punkt P gebunden, den du mit der Maus auf der Kreislinie rundherum ziehen kannst. Die x- und die y-Koordinate des Punktes P sowie das Winkelmaß , das die Strecke [OP] mit der Richtung der positiven x-Achse einschließt, wird angezeigt.

Bearbeite bitte selbstständig folgende Aufgaben:

a) Gib das Intervall für die x- bzw. y-Koordinate an.

b) Für welche Maße ist die x-Koordinate, für welche die y-Koordinate negativ?

c) Welche besonderen x- und y-Werte treten auf? Gib jeweils das zugehörige Winkelmaß an.

d) Begründe, dass für gilt: cos = x und sin = y

e) Ist für > 90° die Zuordnung cos = x und sin = y ebenfalls sinnvoll? Verwende das Arbeitsblatt und deinen Taschenrechner.

Die Lösungen kannst du einblenden, wenn du unten auf 1, 2, 3 usw. klickst.

Das nächste Arbeitsblatt beschäftigt sich mit negativ orientierten Winkeln. So wie ich beim Tangens vorgegangen bin, gehe ich auch bei Sinus und Kosinus vor.

Ich will dir nur kurz zeigen wie man die Beziehungen oben verwenden kann. Aber wie schon erwähnt, sie spielen im Matheunterricht an den Bayerischen Realschulen keine große Rolle mehr, zumindestens wenn man die Abschlussprüfeungen betrachtet. Man braucht sie dort hin und wieder um sein eigenes Ergebnis auf die in der Aufgabenstellung dargestellte Lösung zu bringen, also zum Umformen. Kann man das nicht, kostet es allenfalls einen halben Punkt.

Aufgabe 1:

Berechne die zugehörigen Winkelmaße zu sin = 0,7 mit .

Lösung:

So eine Gleichung mit Sinus, Kosinus und Tangens hat im in einem Definitionsbereich mit immer 2 Lösungen. Dein Taschenrechner zeigt aber nur eine Lösung an. Wie du dir mit dem Casio-GTR beide Lösungen anzeigen lassen kannst, zeige ich dir später. Es ist zwar babyleicht, du würdest jetzt aber den mathematischen Hintergrund nicht verstehen. Du brauchst also eine Möglichkeit die 2. Lösung aus der ersten Lösung zu berechnen und dazu können u.a. diese Beziehungen oben dienen.

SHIFT SIN 0,7 EXE (mit dem Casio)

Anzeige (gerundet) 44,43 => ₁ = 44,43°

In welchen Quadranten ist denn der Sinus überhaupt positiv? Richtig im 1. und im 2.Quadranten!

Nun kommt die Supplementbeziehung sin = sin (180° - ) ins Spiel.

₂ = 180° - ₁ = 180° - 44,43° = 135,57°

Ergebnis IL = {44,43°; 135,57°}

Um solche Art Gleichungen zu lösen brauchst du diese Beziehungsgleichungen oben nicht. Es reicht ein einziges graphisches Werkzeug: Eine Einheitskreisskizze, und zwar für alle möglichen Fälle. Das werde ich dir beibringen. Und allen denen die einen Casio-GTR benutzen dürfen, zeige ich wie sie sich beide Lösungen vom GTR anzeigen lassen können.