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Geometrie mit Spaß lernen

 
 
 

Trigonometrie 7
Die Einheitskreis-Skizze als Werkzeug

 
     
 

Ich habe dir doch versprochen, dir ein Werkzeug an die Hand zu geben, so dass du die verwirrenden Supplementbeziehungen und andere Beziehungen nicht verwenden musst. Doch: Grüß Gott, erst einmal.

Nehmen wir zunächst unser Beispiel von der letzten Webseite:

sin = 0,7 => 1 = 44,43°

Um die 2. Lösung zu bestimmen machst du eine Einheitskreisskizze, wirklich nur eine Skizze, so wie unten. Du darfst sie sogar freihändig auf ein Schmiernblatt machen. Und wenn dein Einheitskreis zu einem Ei wird macht es auch nichts. Was an der Skizze wesentlich ist, erkläre ich dir neben der Skizze.

 
 
 
 
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Du kannst die Entstehung der Skizze schrittweise mit dem Player unten am Rand anschauen. Beachte dabei, das nicht jede der aufgeführten 24 Aktionen dargestellt wird. Wenn sich scheinbar nichts tut, mache einfach den nächsten Klick.

Du zeichnest ein Achsenkreuz ohne Beschriftung mit einem Kreis. Im 1. Quadranten stellst du irgendeinen positiven Sinuswert dar. Durch den Schnittpunkt der zugehörigen roten Strecke zeichnest du eine Parallele zur x-Achse. Die Parallele schneidet den Kreis in einem 2. Schnittpunkt. von dort fällst du das Lot auf die x-Achse.

Zu den beiden Schnittpunkten auf dem Einheitskreis zeichnest du die Radien. Von der positiven x-Achse aus kennzeichnest du die zugehörigen Winkel.

Es ist eine symmetrische Figur entstanden aus der du ablesen kannst, wie du die 2. Lösung berechnen musst:

2 = 180° - 1 = 180° - 44,43° = 135,57°

Die Skizze hat den einzigen Zweck mit Hilfe von Symmetriebetrachtungen den Rechenweg zu finden, wie du aus der 1. Lösung die 2. Lösung berechnen musst. Zu jedem Sinus- und Kosinuswert gibt es im Einheitskreis 2 Strecken. Die 2. Strecke findest du durch das Zeichnen von Parallelen zu den Achsen.

 
 

Schau dir die schrittweise Entstehung der nächsten Skizze an. Sie gilt für negative Sinuswerte. Doch der Ablauf der Entstehung ist letztlich derselbe wie oben.

 
 
 
 
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sin = -0,7 => SHIFT SIN -0,7 EXE (mit Casio)

=> *1 = -44,43°

In diesem Fall spuckt der Taschenrechner einen negativen Winkel aus. Du musst ihn in einen positiven Winkel umrechnen. Wie diese Umrechnung geschehen muss, erkennst du an der Skizze.

1 + |*1| = 360° => 1 = 360° - |*1|

= 360° - 44,43° = 315,57°

Das sieht komplizierter aus, als es wirklich ist. In deinem Display steht ja -44,43. Du tippst ein + 360 und hast den positiven Winkel.

Wenn du die symmetrische Figur genau anschaust, siehst du, dass gilt:

2 = 180° + |*1| = 180° + 44,43° = 224,43°

 
  Jetzt schauen wir uns an, wie das beim Kosinus ausschaut, zunächst bei positiven Kosinuswerten.  
     
 
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Ein Kosinuswert ist ja ein x-Wert. Du zeichnest einen beliebige Wert als Strecke auf der x-Achse ein, etwa 0,5. Durch den Endpunkt der Strecke zeichnest du eine Parallele zur y-Achse. Die beiden Schnittpunkte mit dem Einheitskreis verbindest du mit dem Mittelpunkt. Jetzt kannst du ausgehend von der positiven x-Achse die beiden Winkel 1 und 2 einzeichnen, die zu diesem Kosinuswert gehören.

cos = 0,6 => 1 = 53,13°

Wieder mittels einer Symmetriebetrachtung erkennst du, dass gilt:

2= 360° - 1 = 360° - 53,13° = 306,87°

 
 

Und zum letzten Mal spielen wir das Ganze durch und zwar für einen negativen Kosinuswert.

 
     
 
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cos = - 0,6 => 1 = 126,87°

Wieder mittels Symmetriebetrachtungen findest du den Rechenweg um 2 zu berechnen.

2 = 360° - 1 = 360° - 126,87° = 233,13°

 

Falls du keinen graphischen Taschenrechner hast, oder ihn bei Prüfungen nicht benutzen darfst, dann sind diese 4 Skizzen überlebenswichtig für dich. Auch wenn du in Bayern von der Realschule auf die FOS willst, musst du sie beherrschen. An der FOS ist der graphische Taschenrechner nicht zugelassen. Das ist zwar Schwachsinn, aber es ist so.

Ich hoffe, du hast erkannt, dass diese 4 Skizzen immer nach demselben Verfahren entstehen.

 

 
 

Die nachfolgenden Aufgaben sollst du zuerst auf Papier lösen. Mache dir dazu eigenen Skizzen, sonst lernst du es nicht. Du darfst höchstens nachschauen, wie es geht, wenn du es nicht mehr weißt.

Aufgabe 1:

Bestimme das Winkelmaß mit .

 

 
 
a) cos = 0,75 b) cos = -0,75 c) sin = 0,891 d) sin =0,49
       
e) cos = 0,866 f) sin = -0,866 g) cos = - 0,61 h) sin = - 0,264
 
     
  Lösungen einblenden hier...  
     
   
 

Die Aufgabe 2 unten löst du nach folgendem Muster:

sin (1 +15°) = 0,6

1 + 15° = 36,87° | -15° => 1 = 21,87° oder

2 + 15° = 180° - 36,87° | -15° => 2 = 128,13°

 

Falls dich die Klammer stört, dann setze die Klammer gleich b.

mit (1 + 15°) = gilt:

sin= 0,6

1 = 36,87° oder2 = 180° - 36,87° = 143,13°

Jetzt machst du die Substitution (= Ersetzung) wieder rückgängig.

1 + 15° = 36,87° | - 15° => 1 = 21,87° oder

2 + 15° = 143,13° | - 15° => 2 = 128,13°

 
     
 

Aufgabe 2:

Berechne die Lösungen der Gleichungen mit .

 
     
 
a) sin (-25°) = 0,8 b) sin (-25°) = -0,3 c) cos (-25°) = 0,65
     
d) cos (-25°) = -0,8 e) tan (-25°) = 0,6 f) tan (-25°) = -0,48
     
g) sin (2+12°) = 0,5 h) sin (2+12°) = -0,1 i) cos (0,5+10°) = 0,5

Um die Lösungen einzublenden klicke unten auf a,b, c, usw.

 
     
 
a
b
c
d
e
f
g
h
i
 
     
   
     
 
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Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 20:09 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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