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Geometrie mit Spaß lernen
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Trigonometrie 9
Aufgaben aus der Geometrie
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Hallo du! Ich grüße dich und freue mich, dass du durchhältst. Es folgen zunächst eine Webseite mit Aufgaben bevor ich im Lernstoff weitergehe. Versuche so weit wie möglich diese Aufgaben selbstständig zu lösen. Niemand kontrolliert dich. Du hast alle Zeit der Welt. Wenn du nicht mehr weiter weißt, spitz in meine Lösung rein, und versuch' es dann wieder selber.
Mathe lesen ist nicht Mathe lernen! Mathe hirnwerken ist Mathelernen!
Auf "Los !" geht's los! Los!
Aufgabe 1:
Das Dreieck ABC0 mit der Kathetenlänge  =6 cm gehört zu einer Schar rechtwinkliger Dreiecke ABCn mit der Hypotenusenlänge 10 cm. Die Katheten [ACn] und [BC0] schneiden sich im Punkt Dn.
a) Berechne im Dreieck ABC0 die Innenwinkelmaße und die Kathetenlänge  .
b) Das Dreieck ABC1 hat den gleichen Flächeninhalt wie das Dreieck ABC0. Berechne die Entfernung des Punktes D1 vom Eckpunkt B.
c) Die Kathete [AC2] des Dreiecks ABC2 teilt die Strecke [BC0] im Verhältnis  . Berechne das Maß des Winkels  des Winkels BAC2 sowie die Kathetenlängen des Dreiecks ABC2.
Klicke unten auf 1, 2, 3 usw. um meine Lösungen einzublenden. |
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| Nr. 1 |
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a)
Links im Arbeitsblatt kannst du den roten Punkt Cn mit der Maus ziehen. Probiere es aus und du verstehst die Aufgabe besser.
Im Dreieck ABC0 kennst du vom Winkel a die Ankathete und die Hypotenuse.
Es gilt:
Die Länge der 2. Kathete kannst du entweder mit dem Pythagoras oder dem Sinus oder dem Tangens berechnen.
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| Nr. 6 |
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weiter c)
Es bleibt das rechtwinklige Dreieck AD2C0 übrig. Dort kannst du den Winkel  berechnen.
Es gilt: a2 = a0 -
Die Kathete [BC0] wird im Verhältnis 1:4 geteilt.
=> 1 Teil : 4 Teilen
=> 
Es sei = e, dann gilt:
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| Nr. 5 |
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weiter b)
im Dreieck BC1F gilt:
c)
Mit dem Teilverhältnis lassen sich die Teilstrecken [C0D2] und [D2B] berechnen.
Was haben diese Teilstrecken mit dem Winkel a2 zu tun? a2 ist Winkel im Dreieck ABD2. Doch dieses Dreieck ist nicht rechtwinklig. Was bleibt übrig? |
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| Nr. 4 |
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weiter b)
A = 0,5*Kathete*Kathete
A = 0,5 * 6 * 8 = 24 cm²
Versuche den roten Punkt Cn mit der Maus so zu ziehen, dass das blaue Dreieck ABCn den Flächeninhalt von 24 cm² hat. Wie liegen die beiden Dreiecke zueinander?
Die beiden Dreiecke sind flächengleich bei gemeinsamer Hypotenuse. Das geht aber nur, wenn C1 das Spiegelbild von C0 ist, wobei die Mittelsenkrechte von [AB] die Spiegelachse ist, d.h. aber D1 muss auf der Spiegelachse liegen. Damit hast du ein rechtwinkliges Dreieck in dem du die gesuchte Streckenlänge berechnen kannst. Falls du das Dreieck ums Verrecken nicht findest, blende meine Idee ein. |
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| Nr. 3 |
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weiter a)
oder
b)
Wenn hier vom gleichen Flächeninhalt die Rede ist solltest du den Flächeninhalt vielleicht einmal ausrechnen. Du wirst ihn brauchen. |
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| Nr. 2 |
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weiter a)
oder
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| Nr. 7 |
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weiter c)
Die 2. Kathete berechnest du entweder mit dem sin a2 oder dem tan a2 oder dem Pythagoras.
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Aufgabe 2:
Der Eckpunkt B eines Rechtecks ABCD hat von der Diagonalen [AC] den Abstand
 = 2 cm, die Strecke [BE] schließt der Seite [BC] einen Winkel von 33° ein.
a) Berechne die Diagonalenlänge  .
b) Berechne den Abstand des Punktes E von den Rechteckseiten. |
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| Nr. 1 |
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Bei dieser Aufgabe kannst du fast deinen gesamten Werkzeugkasten einsetzen, d.h. es gibt 'ne Menge verschiedener Lösungswege, die du in Teilen auch miteinander kombinieren kannst. So kannst du hier ausschließlich mit Sinus, Kosinus und Tangens arbeiten. Aber auch der Pythagoras lässt sich einbauen. Ja sogar den Vierstreckensatz könntest du verwenden.
Weißt du was ich für eine gute Idee halte? Du bestimmst erst einmal alle Winkel, die du in der Zeichnung siehst. Sie lassen sich alle berechnen. Dann kannst du entscheiden, welche Werkzeuge du wofür einsetzt. |
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| Nr. 5 |
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weiter b)
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| Nr. 6 |
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weiter b)
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| Nr. 3 |
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weiter a)
Im Dreieck BCE gilt:
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| Nr. 2 |
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a) Ich habe mich entschlossen, zunächst die Rechteckseiten zu berechnen und dann mit dem Pythagoras die Diagonalenlänge.
Mit  gilt im Dreieck ABE:
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| Nr. 4 |
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weiter a)
b) im Dreieck BCE gilt:
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Aufgabe 3:
Die Gerade AC mit der Gleichung y =0,75x + 2,5 ist die Symmetrieachse von Drachenvierecken ABnCDn.
Es gilt: A(-2/yA); C(6/yC); Bn(x/1); En ist Diagonalenschnittpunkt
a) Zeichne ein Drachenviereck AB1CD1 für x = 2 in ein Koordinatensystem ein und begründe, dass für alle Drachenvierecke gilt:  = 73,74°
b) Konstruiere die Raute AB2CD2 unter den Drachenvierecken und berechne ihren Umfang.
c) Im Drachenviereck AB3CD3 teilt der Diagonalenschnittpunkt E3 die Diagonale [AC] im Verhältnis 2 : 1. Zeichne das Drachenviereck in die Zeichnung zu b) ein. Berechne die Maße der Innenwinkel, den Flächeninhalt und den Umfang dieses Drachenvierecks.
d) Zeige, dass für die Drachenvierecke ABnCDn in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte Bn gilt:
 und 
e) Gib den Flächeninhalt der Drachenvierecke ABnCDn in Abhängigkeit von x an. |
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| Nr. 1 |
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a)
Von den Punkten A und C kennst du jeweils die x-Koordinate. Diese x-Koordinaten setzt du in die Geradengleichung ein und berechnest die zugehörigen y-Werte. Damit hast du A und C.
yA = 0,75*(-2) + 2,5
yA = 1 => A(-2/1)
yC = 0,75*6 + 2.5
yC = 7 => C(6/7)
Die Punkte Bn liegen auf der Parallelen zur x-Achse mit der Gleichung y=1. Der x-Wert ist frei wählbar. Die Drachen hängen also vom x-Wert der Punkte B ab.
Im Arbeitsblatt kannst du den Punkt B auf der Parallelen mit der Maus hin und her ziehen. Ziehe ihn auf den Wert x = 2. Damit hast du B1.
Den Punkt D1 findest du durch Achsenspiegelung des Punktes B1 an AC. |
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| Nr. 8 |
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weiter c)
Für den Umfang musst du noch  berechnen.
Dies war ein ziemlicher Rechenaufwand, nicht wahr? Hier heißt es durchhalten und sauber arbeiten.
d)
Es gilt:
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| Nr. 7 |
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weiter c)
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| Nr. 6 |
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weiter c)
Für die Steigung m der Diagoalen f = BE3 gilt:
m1 * m2 = -1
0,75 * m = -1 | : 0,75
m = 
y = x + t | E3 eingesetzt
Damit kannst du  berechnen.
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| Nr. 5 |
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weiter c)
Fast immer wenn du die Koordinaten eines Punktes berechnen sollst, musst du den Ortsvektor vom Ursprung zu diesem Punkt berechnen. Das geeignete Werkzeug heißt "Vektorkette". Schalte jetzt den Schieberegler ein, wenn noch nicht geschehen, und ziehe B so weit nach rechts, dass E auf dem Teilpunkt liegt.
Es gilt:
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| Nr. 4 |
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weiter c)
Du sollst die Strecke [AC] im Verhältnis 2:1 teilen. Dazu zeichnest du durch A eine Parallele zur x-Achse. Ist hier aber schon gezeichnet. Auf dieser Hilfsgeraden legst du eine Strecke [AG] fest, die du bequem durch 3 teilen kannst. Ich habe hier für [AG] 9 LE gewählt. Der Hilfspunkt H teilt die Strecke [AG] im Verhältnis 2:1. Du verbindest den Punkt G mit C und zeichnest eine Parallele zu GC durch H. Der Schnittpunkt dieser Parallelen mit der Diagonalen [AC] teilt [AC] im Verhältnis 2:1. Du erinnerst dich doch noch an die zentrische Streckung?
Du berechnest  im rechtwinkligen Dreieck BCE3. Dazu brauchst 2 Seitenlängen. Für [E3C] gilt:
Um eine weitere Seitenlänge berechnen zu können benötigst du die Koordinaten des Punktes E3. Damit lässt sich die Geradengleichung von BE3 bestimmen => B |
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| Nr. 3 |
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weiter b)
c)
Da hier eine Konstruktion nicht verlangt ist, kannst du die Diagonale [AC] mit dem Geodreieck teilen, d.h. du misst [AC] und teilst die Streckenlänge durch 3.
Schön wäre es, wenn du die Konstruktion noch beherrschen würdest. Du hast sie bei der zentrischen Streckung gelernt. Mit dem Schieberegler kannst du die Konstruktion einschalten. |
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| Nr. 9 |
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weiter d)
e)
mit e = 10 LE und
f = 2 * (0,6x+1,2) LE gilt:
A = 0,5*10*2*(0,6x+1.2)
A = (6x + 12) FE
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| Nr. 2 |
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weiter a)
Der Steigungswinkel der Geraden AC ist  . Damit ist festgelegt. Es gilt:
tan = 0,75
=> = 36,86989765°
=> = 73,74°
b)
In der Raute halbieren sich die Diagonalen. Du bestimmst deshalb den Mittelpunkt E2 der Diagonalen [AC]. Im Punkt E2 zeichnest du die Senkrechte zu AC. Die Senkrechte schneidet die Parallele x = 1 im Punkt B2. Den Punkt D2 findest du wieder durch Achsenspiegelung.
Du berechnest die Seitenlänge der Raute im Dreieck AB2E2. Dazu musst du aber zunächst die Diagonalenlänge  berechnen.
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Aufgabe 4:
Das Dreieck ABC ist gleichschenklig mit der Basis [AC].
Es gilt: A(-3/-2); B(2/-1);  = 6 LE
a) Zeichne das Dreieck ABC und berechne dessen Innenwinkelmaße.
[Teilergebnis: = 53,97°]
b) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.
c) Der Punkt M ist der Mittelpunkt des Umkreises k des Dreiecks ABC. Zeichne M und k ein.
d) Zeige durch Rechnung, dass für die Mittelsenkrechte m[AB] gilt: y = -5x - 4
e) Zeichne die Gerade g = AM und zeige durch Rechnung, dass sie folgende Gleichung besitzt: y = 1,09x + 1,27
f) Berechne die Koordinaten des Umkreismittelpunktes M.
[Ergebnis: M(-0,87/0,35)]
g) Berechne den prozentualen Anteil des Flächeninhalts des Dreiecks ABC am Flächeninhalt des Kreises. |
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| Nr. 1 |
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a)
Die Konstruktion in Kurzform:
[BF] ist Höhe, Mittelsenkrechte, Winkel- und Seitenhalbierende im Dreieck ABC. Du berechnest den Basiswinkel im Dreieck ABF.
b)
Um den Flächeninhalt berechnenzu können, berechne die Höhe  .
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| Nr. 5 |
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weiter e)
y = 1,09x + t | A eingesetzt
-2 =1,09*(-3) + t
-2 = -3,27 + t | + 3,27
t = 1,27
AM: y = 1,09x + 1,27
f)
Du musst folgendes lineares Gleichungssystem lösen:
1,09x+1,27 = -5x-4 | +5x
6,09x+1,27 = -4 | -1,27
6,09x = -5,27 |
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| Nr. 6 |
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weiter f)
6,09x = -5,27 | : 6,09
x = -0,87
eingesetzt in y = -5x - 4
y = -5* (-0,87) - 4
y = 0,35
=> M(-0,87/0,35)
g)
Den Radius r = berechnest du im Dreieck AGM:
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| Nr. 4 |
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e)
Von der Geraden AM kennst du nur den Punkt A. Ihn kannst du später benutzen um den y-Achsenabschnitt zu berechnen. Die Steigung der Geraden AM bekommst du nur über den Steigungswinkel. Blende letzt meinen Tipp zur Teilaufgabe ein.
Für den Steigungswinkel gilt:
 (phi=epsilon+delta)
Wegen der Winkelsumme im rechtwinkligen Dreieck ABF gilt für den Winkel  :
= 90° -
=90°- 53,97° = 36,03°
Die Steigung von AB war  .
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| Nr. 3 |
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weiter d)
Nennen wir den Mittelpunkt von [AB] G, dann gilt mit der Mittelpunktsformel:
y = -5x + t | G eingesetzt
-1,5 = -5*(-0.5) + t | -2.5
t = 4
m[AB]: y = -5x + 4 |
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| Nr. 2 |
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weiter b )
Du kannst natürlich auch über den sin oder den
tan berechnen.
c)
Die Mittelsenkrechten schneiden sich im Umkreismittelpunkt M. Schalte jetzt im Arbeitsblatt die vollständige Zeichnung ein.
d)
Hierzu brauchst du den Mittelpunkt der Seite [AB].
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| Nr. 7 |
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weiter g)
Bravo! Gut durchgekämpft!
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Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 15 September, 2009 20:10
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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