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Geometrie mit Spaß lernen

 
 
 

Trigonometrie 10
Die trigonometrischen Funktionen

 
     
 

Heute will ich dir endlich zeigen, wie du mit deinem Casio GTR beide Lösungen z.B. der Gleichung sin= -0,72 bestimmst. Nebenbei erkläre ich dir warum man bei Sinus, Kosinus und Tangens von den Winkelfunktionen spricht. Aber erst einmal ein herzliches 'Servus'.

Den Graph von den Winkelfunktionen wirst du nicht zeichnen müssen. Es wird auch keine Aufgaben dazu geben. Doch "verstehen" musst du einen solchen Graphen. Das "Verstehen" ist die Voraussetzung, dass du deinen Casio-GTR verstehst.

Am Einheitskreis (r = 1 LE) lässt sich jedem Winkelmaß die y-Koordinate des zugehörigen Bildpunktes P auf dem Einheitskreis zuordnen. Es gilt: y = sin

Was du da siehst ist eine Funktionsgleichung. Du weißt noch, was eine Funktion ist? Wenn es zu jedem x-Wert, hier -Wert, nur einen y-Wert gibt, dann spricht man von einer Funktion. Im Graphen erkennst du eine Funktion daran, dass es keine übereinander liegenden Punkte gibt.

Wenn du nun die -Werte auf der x-Achse abträgst und die zugehörigen Sinus-Werte auf der y-Achse, erhältst du den Graphen der Sinusfunktion. Doch wenn du auf beiden Achsen dieselbe Längeneinheit 1 LE = 1 cm = 1° verwendest, wirst du nicht viel sehen. Außerdem müsste dein Heft mindestens 3,60 m breit sein. Du musst also Achsen mit unterschiedlichen Längeneinheiten verwenden. Eine praktikable Möglichkeit wäre, du setzt 1 LE = 2 cm = 60° d.h. . Deine y-Achse bräuchte nach oben und unten etwa 3 cm und deine x-Achse nach rechts etwa 13 cm. Das würde ins Heft passen. Willst du es nicht einmal versuchen? Nein, muss nicht sein. Nur falls du nicht weißt, was du gerade tun könntest, dann kannst du dir ja mal damit die Langeweile vertreiben und schauen ob du es hinbringst.

Ich habe es bei meinem Koordinatensystem unten nicht so gemacht. Ich habe für die Winkel das "Bogenmaß" verwendet.

Was das ist, erkläre ich dir im Rand neben dem Arbeitsblatt. Um meine Plaudereien einblenden zu können, schiebe das Arbeitsblatt am roten Balken mit der Maus nach so weit nach links bis der rechte Rand frei liegt. Mit Klick auf 1, 2, 3 usw. unten blendest du meine Plaudereien ein.

 
 
 
 
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Du willst wissen warum die Graphen der Winkelfunktionen für dich wichtig sind, wenn sie nicht abschlussprüfungswichtig sind? Sie sind wichtig um deinen graphischen Taschenrechner richtig benutzen zu können. Das zeige ich dir unten. Sie sind aber auch wichtig, wenn du irgendeinen technischen oder medizinischen Beruf anstrebst.

Elektriker, Elektroniker, MTA's und andere arbeiten mit Oszilloskopen (= Messintrumenten). Oszillokope zeigen Graphen von Winkelfunktionen in allen Variationen, in allen Abänderungen. Google ruhig einmal nach Oszilloskopen. Wenn du so einen Beruf anstrebst, kommst du um ein grundsätzliches Verständnis nicht herum. Ich weiß wovon ich rede. Ich bin in meinem Notberuf Strippenzieher = Elektroinstallateur. Wie das?

Ich musste wegen Faulheit die 11. Klasse des Gymnasiums verlassen. Zweimal das Klassenziel nicht erreicht, Englisch und Latein. Was nun? Damals blieb nur der 2.Bildungsweg. Doch dazu brauchte ich eine Berufsausbildung. Mein Großvater war Elektroingenieur, mein Vater Elektromechanikermeister, also lernte ich Elektroinstallateur. Und weißt du was, ich habe fast alle Freunde und Freundinnen aus dem Gymnasium verloren. Als Handwerker war ich ihnen zu popelig. Ich war stocksauer und habe gedacht "scheißdrauf!" jetzt lerne ich. Warum ich dir das erzähle? Der 2. Weg ist verdammt mühsam, ich will ihn dir ersparen. Und weißt du was? Ich kann heute Englisch und Latein.

 
 

 

 
     
 

Kommen wir zum graphischen Taschenrechner. Zuerst will ich dir zeigen, wie du dir die Graphen der Winkelfunktionen anzeigen lassen kannst. Danach zeige ich dir, wie du diese Graphen benutzen kannst Gleichungen der Form sin= - 0,72 zu lösen und zwar so, dass du beide Lösungen im Definitionsbereich [0°; 360°] bekommst.

Spielen wir es mit der Sinusfuktion durch. Für Kosinus und Tangens gilt alles entsprechend. Obwohl für den Tangens brauchst du es eigentlich gar nicht. Der Tangens wiederholt sich nach 180°. Das vereinfacht Gleichungen mit dem Tangens.

OK! Alles was ich hier sage, gilt für den graphischen Taschenrechner Casio GTR. Er wird an meiner Schule benutzt. Andere graphische Taschenrechner funktionieren ähnlich. Ich habe alle Firmen angeschrieben, mir einen GTR kostenlos zur Verfügung zu stellen, damit ich z.B. hier nicht nur den Casio darstellen kann. Sie haben mich nicht einmal einer Antwort für würdig befunden. Deswegen beschränke ich mich hier auf den graphischen Taschenrechner, der an meiner Schule benutzt wird.

Wenn alle, die meine Mathesite zum Lernen benutzen, wirklich pro Jahr ihre 5 Euro entrichten würden, dann könnte ich mir 'ne Menge GTR's kaufen. Bei 130 000 Besuchern pro Monat und durchschnittlich 3 Bezahlungen ist das für die Besucher beschämend. Ich brauche noch etwa 2 Jahre bis ich alle Lehrplaninhalte der bayerischen Realschule online habe. Doch wenn ich fertig bin und sich nichts an der Zahlungsmoral meiner Besucher geändert hat, wird meine Seite nur noch nach Login zugänglich sein. Schade! Aber warum sollte ich 5 Jahre intensive Arbeit mit tausenden von Arbeitsstunden kostenlos zur Verfügung stellen? Bin ich ein nützlicher Idiot?

Ok, vergessen wir meinen Frust. Nimm deinen Casio-GTR und wähle im Hauptmenü GRAPH .

Im Display sollte oben stehen y =. Wenn nicht, wählst du unten im Untermenü Type und wählst dort mit der Funktionstaste F1 = TYPE. Du stellst den schwarzen Balken in die erste Zeile und gibst ein sin x, d.h. Taste sin und Taste x (unter der roten Alpha-Taste).

 
     
 
  Mit F6 wählst du im Untermenü unten am Rand DRAW aus. Was siehst du? Nichts siehst du! Ein leeres Koordinatensystem siehst du. Warum? Dein Rechenknecht ist halt doch nur ein Rechenknecht. Er hat dieselben Probleme mit dem Koordinatensystem wie wir oben. Damit du was siehst müsste das Display so groß sein wie ein Fernsehbildschirm. Du musst also ein anderes Koordinatensystem auswählen.
 
 

 

 
 
 

Das Koordinatensystem wählst du mit F3 V-Window (View Window) aus. Dorthin kommst du aber nur vom Koordinatensystem aus. Du musst also zuerst F6 DRAW wählen und dann F3 V-Window. Im V-Window kannst du 3 verschiedene Koordinatensystem wählen, die sich auch noch verändern lassen:

INIT TRIG STD

 
     
 

Im Normalfall bist du mit dem Koordinatensystem STD (Standard) immer gut bedient. Aber in der Trigonometrie brauchst du das Koordinatensystem TRIG. Du wählst F2 TRIG. An den Einstellungen brauchst du zunächst nichts ändern, weil du dich überzeugen sollst das die Sinus-Funktion eine periodische Funktion mit der Periodenlänge 360° ist. Die x-Achse geht hier von -540° bis +540° wobei ein Skalenstrich 90° entspricht. Gehe jetzt zurück und schaue dir die Sinuskurve an.

 
 

 

 
 
 

Im Bereich von - 540° bis +540° für den Winkel zeigt die Sinuskurve 3 Wellenberge und 3 Wellentäler. Wenn du jetzt Punkte suchst für die gilt:
sin= - 0,72, dann findest du in jedem Wellental 2 Punkte, also 2 Lösungen. Uns interessieren aber nur Lösungen im Bereich zwischen 0° und 360°. Stelle jetzt im V-Window xmin auf 0° und xmax auf 360°

 
     
  Wenn du oben im Graph eine Parallele zur x-Achse mit y=0,72 einzeichnest, dann sind die Schittpunkte mit der Sinuskurve genau die 6 Lösungen. Und genau das machen wir jetzt. Hast du im V-Window den Definitionsbereich eingeschränkt? Mit der Taste EXIT kommst du eine Menü einen Schritt zurück. Gehe zurück in das Display, wo du die Funktionsterme eingibst. Gig ein y2 = -0,72. Bestätige mit EXE und lasse dir mit F6 DRAW beide Graphen zeichnen.  
     
 
 

Ich bin schon einen Menüpunkt weiter. Du wählst mit der Funktionstaste F5 das Untermenü G-Solv. Dort kannst du dir von deinem Rechenknecht die Schnittpunkte ausrechnen lassen. Im G-Solv Display wählst du mit F5 den Menüpunkt ISECT (intersection = Schnittpunkt). Jetzt dauert es eine Weile, weil den Rechenknecht rödelt. Dann wandert der Cursor auf den linken Schnittpunkt und zeigt die Koordinaten an.

 
     
  Du notiersst deine erste Lösung 1 = 226,05°  
     
 
 

Mit der Pfeiltaste "nach rechts" steuerst du den Cursor auf den Schnittpunkt rechts. Auch hier dauert es ein wenig bis der GTR den Schnittpunkt berechnet hat.

Du notierst 2 = 313,95°

 

 
     
  Du siehst, wenn du deinen Casio-GTR richtig einsetzen lernst, kansst du die Betrachtungen am Einheitskreis vergessen. Auch eine Winkelumrechnung von negativ nach positiv ist nicht mehr notwendig. Bei Kosinus und Tangens läuft es ähnlich. Im rechten Rand zeige ich dir zwei Beispiele, die du mit deinem Taschenrechner nachvollziehen sollst.  
     
 
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Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 20:10 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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tan = -0,72
 
 
F6 DRAW
 
 
F5 G-Solv
 
 
F5 ISECT
 
 

1 = 144,25°

Pfeiltaste "nach rechts"

 
 
2 = 324,25°
 
cos= - 0,72
 
 
F6 DRAW
 
 
F5 G-Solv
 
 
F5 ISECT
 
 

1 = 136,05°

Pfeiltaste "nach rechts"

 
 
2 = 223,95°