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Geometrie mit Spaß lernen

 
 
 

Trigonometrie 12
Der Kosinussatz

 
     
 

Wenn von einem Dreieck zwei Seiten und der Zwischenwinkel gegeben ist und du die restlichen Größen des Dreiecks berechnen sollst, dann hilft dir der Sinussatz nicht, nada, nullo, niente, aber auch gleich so was von nichts. Du brauchst ein weiteres Werkzeug dazu: Den Kosinussatz!

Schön, dass du wieder da bist. Servus! Den Kosinussatz brauchst du auch, wenn du aus drei Dreiecksseiten einen Dreieckswinkel berechnen sollst. Was ist nun der Inhalt des Kosinussatzes? Ich habe ihn unten im Arbeitsblatt dargestellt.

 
 
 
 
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In einem beliebigen Dreieck ABC gilt für zwei Seitenlängen und das Maß des Zwischenwinkels der Kosinussatz in seinen 3 Formen links.

Bediene die Schalter im Arbeitsblatt und du siehst je nach zu berechnender Seite die 3 Formen des Sinussatzes.

Und jetzt machst du Folgendes. Du kannst alle 3 Punkte des Dreiecks mit der Maus ziehen. Ziehe sie irgendwo hin. Dann nimmst du deinen Taschenrechner und überprüfst ob für deine gewählten Werte der Kosinussatz wirklich gilt. Rechne den Termwert des Rechts- und Linksterms getrennt aus. Und das machst du für jede Form des Kosinussatzes einmal. Wenn du das wirklich durchziehst, wirst du ihn bis zur Abschlussprüfung nicht mehr vergessen.

An was erinnert dich der Kosinussatz? Richtig, er sieht ein wenig wie der Pythagoras aus. Du kannst den Pythagoras auch als Sonderfall des Kosinussatzes ansehen.

Wenn der Zwischenwinkel 90° ist, dann ist cos 90° = 0 und dann hast du den Pythagoras.

 
 

Ich habe dir oben ja schon erzählt, dass du den Kosinussatz auch brauchst, wenn 3 Seiten gegeben sind und du die Dreieckswinkel berechnen sollst. Wie das funktioniert zeigt dir folgende Aufgabe.

Aufgabe 1:

Im Dreieck ABC gilt: a = 8,5 cm; b = 4,0 cm; c = 10,0 cm

a) Berechne den Winkel .

b) Berechne den Winkel mit dem Sinussatz.

c) Berechne nun das Winkelmaß mit dem Kosinussatz und anschließend das Winkelmaß mit dem Sinussatz. Was stellst du fest?

d) Begründe, warum es sinnvoll ist, im Zweifelsfall Winkelmaße im Dreieck durch Zeichnung zu überprüfen oder das größte Winkelmaß mit dem Kosinussatz zu berechnen.

 
 
 
 
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Aufgabe 2:

Im Dreieck ABC hat die Winkelhalbierende die Steigung m = -0,5.

Weiter gilt: A(2/1); B(7/1) und a = 5 LE

Zeichne das Dreieck ABC und berechne die fehlenden Seitenlängen und Winkelmaße.

 
     
 
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Aufgabe 3:

Zeichne das Drachenviereck ABCD. Berechne die fehlenden Seitenlängen und Winkelmaße.

Es gilt: AC ist Symmetrieachse; = e = 13,0 cm; a = 6,0 cm; = 60,0°

 
 

 

 
 
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Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 20:10 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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