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Geometrie mit Spaß lernen
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Trigonometrie 12
Der Kosinussatz
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Wenn von einem Dreieck zwei Seiten und der Zwischenwinkel gegeben ist und du die restlichen Größen des Dreiecks berechnen sollst, dann hilft dir der Sinussatz nicht, nada, nullo, niente, aber auch gleich so was von nichts. Du brauchst ein weiteres Werkzeug dazu: Den Kosinussatz!
Schön, dass du wieder da bist. Servus! Den Kosinussatz brauchst du auch, wenn du aus drei Dreiecksseiten einen Dreieckswinkel berechnen sollst. Was ist nun der Inhalt des Kosinussatzes? Ich habe ihn unten im Arbeitsblatt dargestellt. |
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In einem beliebigen Dreieck ABC gilt für zwei Seitenlängen und das Maß des Zwischenwinkels der Kosinussatz in seinen 3 Formen links.
Bediene die Schalter im Arbeitsblatt und du siehst je nach zu berechnender Seite die 3 Formen des Sinussatzes.
Und jetzt machst du Folgendes. Du kannst alle 3 Punkte des Dreiecks mit der Maus ziehen. Ziehe sie irgendwo hin. Dann nimmst du deinen Taschenrechner und überprüfst ob für deine gewählten Werte der Kosinussatz wirklich gilt. Rechne den Termwert des Rechts- und Linksterms getrennt aus. Und das machst du für jede Form des Kosinussatzes einmal. Wenn du das wirklich durchziehst, wirst du ihn bis zur Abschlussprüfung nicht mehr vergessen.
An was erinnert dich der Kosinussatz? Richtig, er sieht ein wenig wie der Pythagoras aus. Du kannst den Pythagoras auch als Sonderfall des Kosinussatzes ansehen.
Wenn der Zwischenwinkel 90° ist, dann ist cos 90° = 0 und dann hast du den Pythagoras. |
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Ich habe dir oben ja schon erzählt, dass du den Kosinussatz auch brauchst, wenn 3 Seiten gegeben sind und du die Dreieckswinkel berechnen sollst. Wie das funktioniert zeigt dir folgende Aufgabe.
Aufgabe 1:
Im Dreieck ABC gilt: a = 8,5 cm; b = 4,0 cm; c = 10,0 cm
a) Berechne den Winkel  .
b) Berechne den Winkel  mit dem Sinussatz.
c) Berechne nun das Winkelmaß mit dem Kosinussatz und anschließend das Winkelmaß mit dem Sinussatz. Was stellst du fest?
d) Begründe, warum es sinnvoll ist, im Zweifelsfall Winkelmaße im Dreieck durch Zeichnung zu überprüfen oder das größte Winkelmaß mit dem Kosinussatz zu berechnen. |
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| Nr. 1 |
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a)
Nach dem Kosinussatz gilt:
In allen Lehrbüchern werden die SchülerInnen nun aufgefordert, diese Gleichung äquivalent umzuformen. Meine Erfahrung sagt mir, dass es eine Menge SchülerInnen gibt, die mit Äquivalenzumformungen leider Schwierigkeiten haben. Weißt du, was die die Lösung des Problems ist? Du formst nicht äquivalent um, sondern setzt sofort die Werte für die Seiten ein. Dann fasst du sie zusammen und machst 2 Äquivalenzumformungen, die jeder beherrscht und dann, dann hast du die Lösung. Schaue es dir an.
Klicke oben auf 2! |
| Nr. 5 |
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weiter c)
Für den Winkel gibt es plötzlich 2 Lösungen. Warum? |
| Nr. 4 |
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c)
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| Nr. 3 |
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b)
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| Nr. 2 |
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| Nr. 6 |
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d)
Für Dreieckswinkel beträgt der Definitionsbereich ]0°; 180°[. Wenn der Sinuswert, wie in dieser Aufgabe, positiv ist, gibt es dafür in diesem Bereich 2 Lösungen, denn der Sinus ist im I. und II. Quadranten positiv.
Wenn der Kosinuswert positiv ist, gibt es im Definitionsbereich nur eine Lösung.
Das ist der Grund, warum es sinnvoll ist im Zweifelsfall Winkelmaße im Dreieck durch Zeichnung zu überprüfen oder das größte Winkelmaß mit dem Kosinussatz zu berechnen. Woher du wissen sollst, was der größte Winkel ist? Na, aber! Der größte Winkel liegt der größten Seite gegenüber. Wenn du wie hier 3 Seiten gegeben hast, berechnest du zuerst den Gegenwinkel der größten Seite mit dem Kosinussatz. Den 2. Winkel berechnest du mit dem Sinussatz, denn jetzt ist der Definitionsbereich ja eingeschränkt auf
]0°; 90°[ . Den 3. Winkel berechnest du über die Winkelsumme im Dreieck. |
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Aufgabe 2:
Im Dreieck ABC hat die Winkelhalbierende  die Steigung m = -0,5.
Weiter gilt: A(2/1); B(7/1) und a = 5 LE
Zeichne das Dreieck ABC und berechne die fehlenden Seitenlängen und Winkelmaße. |
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| Nr.1 |
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Wenn du links im Arbeitsblatt unten auf Abspielen klickst, kannst du dir anschauen, wie du das Dreieck ABC zeichnen kannst.
Derjenige Teil der Schritte, die ich brauchte, um die Zeichnungentstehung wie im heft erscheinen zu lassen, bleibt unsichtbar. Daher sind die Konstruktiomspausen unterschiedlich lang.
Du zeichnest A und B ein. Aus der Steigung von mit  entwickelst du ein Steigungsdreieck und trägst es von B aus ab. Damit kannst die Winkelhalbierende zeichnen.
Aus den Koordinaten von A und B kannst du die Seitenlänge c berechnen:
c = 5 LE
d.h. das Dreieck ABC ist gleichschenklig. |
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| Nr.3 |
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Den Steigungswinkel  misst du zwischen der Parallelen zu x-Achse, hier die Gerade AB, und . Der Rest, der auf 180° fehlt ist
d.h. aber auch es gilt für die beiden Basiswinkel:
 == (180° - 53,14°) : 2
= 63,43°
So jetzt fehlt nur noch die Basis b. Du kennst neben den beiden Schenkeln a und c auch deren Zwischenwinkel, d.h. du berechnest die Basislänge b mit dem Kosinussatz.
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| Nr.2 |
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Da gilt: a = 5 LE lässt sich demnach folgern, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist. Die Basis ist die Seite [AC]. Damit ist die Winkelhalbierende gleichzeitig auch Mittelsenkrechte. Wenn du jetzt also A an spiegelst gilt für den Spiegelpunkt A':
A' = C
Damit kannst du das Dreieck vollenden.
Für den Steigungswinkel  (epsilon) von gilt:
Der Tangens wiederholt sich alle 180°, die tangensfunktion hat die Peride 180°. Du addierst also nur 180°.
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| Nr.4 |
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Aufgabe 3:
Zeichne das Drachenviereck ABCD. Berechne die fehlenden Seitenlängen und Winkelmaße.
Es gilt: AC ist Symmetrieachse;  = e = 13,0 cm; a = 6,0 cm; = 60,0° |
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| Nr. 1 |
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im Dreieck ABC gilt:
Da die Diagonale e Symmetrieachse ist gilt:
c = 8,86 cm und d = 6 cm
Den Winkel berechnest du jetzt mit dem Sinussatz.
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| Nr. 2 |
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Aus Symmetriegründen gilt:
 = (delta = beta)
=> = 123,97°
Weiter gilt noch immer im Dreieck ABC:
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Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 15 September, 2009 20:10
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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