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Geometrie mit Spaß lernen
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Trigonometrie 13
Der Flächeninhalt des Dreiecks (Sinusformel)
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Hallo du, du meinst ich könnte endlich mal mit der Trigonometrie zu Potte kommen. Bald! Noch diese Seite und zwei oder drei Seiten mit zusammenfassenden Aufgaben. Die trigonometrische Flächenformel für Dreiecke ist wichtig. Ich möchte doch, dass du dich in der Abschlussprüfung um mindestens eine Notenstufe gegenüber der Jahresfortgangsnote verbesserst. Dazu ist ein gutes und intensives Abschlusstraining erforderlich. Wir werden es machen. Aber das wird nur erfolgreich sein, wenn du vorher alle notwendigen Werkzeuge kennengelernt hast.
Welche Flächenformeln für das Dreieck kennst du bisher?
Da ist einmal die Allerweltsformel  . Davon gibt es für das rechtwinklige Dreieck zwei Abwandlungen. Du erinnerst dich? Hier hilft die Formelsammlung und in der solltest du dich auskennen.
Dann gibt es für Dreiecke im Koordinatensystem die Determinantenformel:
wobei die beiden Vektoren  und  das Dreieck aufspannen. Der Vektor ist der Vektor, der gegen den Uhrzeigersinn gedreht, also linksherum gedreht, das Dreieck überstreicht.
Mit hilfe der Trigonometrie kannst du nun noch eine 3. Flächenformel herleiten, die äußerst hilfreich ist. Diese 3. Flächenformel ist eigentlich eine Abwandlung deiner 1. Flächenformel für das Dreieck. |
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Du berechnest hier den Flächeninhalt eines Dreiecks aus 2 Seiten und dem Zwischenwinkel.
Auf die gleiche Art lässt sich das auch für die anderen Seiten zeigen (siehe unten). |
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Der Flächeninhalt eines Dreiecks kann aus zwei Seitenlängen und dem Maß des Zwischenwinkels berechnet werden: | |
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Aufgabe 1:
Berechne die in Klammern angegebenen Größen des Dreiecks ABC.
a) a = 7,5 cm; b = 5 cm;  =30° (A; c;  )
Lösung einblenden hier... |
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A = 0,5*7,5*5*sin 30° = 9,38 cm²
c² = 7,5²+5²-2*7,5*5*cos 30° = 16,30
=> c = 4,04 cm
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b) c = 6 cm; a = 4 cm; = 58,21° (A; b;  )
Lösung einblenden hier... |
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A = 0,5*6*4*sin 58,21° = 10,2 cm²
b² = 6² + 4² - 2*6*4*cos 58,21° = 26,71
=> b = 5,17 cm
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c) A = 12 cm²; c = 6 cm; =48,59° (a; b; )
Lösung einblenden hier... |
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12 = 0,5*6*a*sin 48,59° => 12 = 2,25*a | : 2,25
a = 5,33 cm
b² = 6² + 5,33² - 2*6*5,33*cos 48,59° = 22,10
b = 4,70 cm
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d) A = 20 cm²; a = 7,5 cm; = 60°; = 80°
Lösung einblenden hier... |
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Kennst du zwei Winkel im Dreieck, kannst du dir den dritten Winkel über die Winkelsumme berechnen. Damit kannst du hier zweimal den Sinussatz anwenden. Das ist allemal schneller und leichter als den Kosinussatz zu verwenden. Damit ist auch die Flächeninhaltsangabe überflüssig.
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Aufgabe 2:
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit derr Hypotenuse [AB]. Der Punkt P ist Mittelpunkt der Strecke [AC] und der Punkt Q ist Fußpunkt des Lotes von C auf die Strecke [AB]. Auf der Strecke [BC] liegt der Punkt R. Der Winkel RPC hat das Maß  (delta).
Es gilt:  = 12,5 cm; = 30°; = 38°
a) Zeichne das DreieckABC und das Dreieck PQR.
b) Zeige durch Rechnung: Das Maß  (epsilon) des Winkels APQ
beträgt 120,0°.
c) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks PQR.
Wenn du unten auf 1, 2, 3 usw. klickst, blendest du meine Lösungsvorschläge ein. |
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| Nr. 1 |
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a)
Wenn du im Arbeitsblatt unten zweimal auf Abspielen klickst, kannst du dir die Entstehung der Zeichnung ansehen.
b)
(epsilon) ist ein Winkel im Dreieck AQP. Was weißt du von diesem Dreieck? Du kennst nur den Winkel =30°. Das Dreieck AQP ist nicht rechtwinklig. Wenn du hier einen Winkel berechnen willst, musst du entweder den Sinussatz oder den Kosinussatz benutzen. Dazu brauchst du zwei Seitenlängen.
Es muss also möglich sein zwei Seitenlängen im Dreieck AQP zu berechnen. Dazu musst du aber andere Dreiecke benutzen von denen du mehr weißt. Im rechtwinkligen Dreieck ABC kannst du  und damit  berechnen. |
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| Nr. 5 |
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c)
Wenn du den Inhalt einer Dreiecksfläche berechnen sollst, dann hast du 3 Werkzeuge zur Verfügung:
- A = 0.5*g*h
- Determinanteformel
- Sinusformel
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Die erste ist mühsam, weil großer Riesenumweg. Im Koordinatensystem sind wir nicht, d.h. es bleibt nur die Sinusformel. Dazu brauchst du zwei Seiten und den Zwischenwinkel. Im Dreieck PQR hast du  bereits berechnet. Welchen Winkel kannst du ganz leicht berechnen?
Jetzt fehlt nur noch  . |
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| Nr. 4 |
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weiter b)
Wenn du nicht zu grob rundest, solltest du dir über Rundungsprobleme keine Sorgen machen. Auch in Abschlussprüfungen kommst du fast nie genau auf die angegebene Lösung. Wenn eine Kollege/Kollegin dir deswegen einen halben Punkt abziehen will, dann mache dir die Mühe und rechne wirklich alles noch einmal mit den ungerundeten Werten. Es ist mühsam, aber vielleicht fehlt dir gerade dieser halbe Punkt. Ich wette, du kommst auch mit den völlig ungerundeten Werten nicht genau auf die angegebene Lösung und zwar weil der Aufgabenbastler auch irgendwo gerundet hat. Aber du solltest bitte auf mindesten 2 Stellen runden. Beim Endergebnis solltest du aufpassen ob zwei Stellen oder eine verlangt sind.
Wichtig ist auch, dass du mit der angegebenen Lösung weiterrechnest!
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| Nr. 3 |
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weiter b)
Du kennst jetzt im Dreieck zwei Seiten und den Zwischenwinkel. Damit kannst du immer noch nicht berechnen. Doch du kannst die 3.Seite berechnen (Kosinussatz) und dann abermals mit dem Kosinussatz den Winkel .
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| Nr. 2 |
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weiter b)
im rechtwinkligen Dreieck AQC gilt:
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| Nr. 6 |
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weiter c)
Im rechtwinkligen Dreieck PRC ist [PR] die Hypotenuse. Es gilt:
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Je weniger du rundest, desto näher sollte dein Ergebnis bei 6,9 cm² liegen. Solange du deine Zwischenergebnisse auf 2 Stellen rundest, solange bin ich zufrieden, und dein(e) LehrerIn sollte es auch sein. |
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Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 15 September, 2009 20:10
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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