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Geometrie mit Spaß lernen

 
 
 

Trigonometrie 13
Der Flächeninhalt des Dreiecks (Sinusformel)

 
     
 

Hallo du, du meinst ich könnte endlich mal mit der Trigonometrie zu Potte kommen. Bald! Noch diese Seite und zwei oder drei Seiten mit zusammenfassenden Aufgaben. Die trigonometrische Flächenformel für Dreiecke ist wichtig. Ich möchte doch, dass du dich in der Abschlussprüfung um mindestens eine Notenstufe gegenüber der Jahresfortgangsnote verbesserst. Dazu ist ein gutes und intensives Abschlusstraining erforderlich. Wir werden es machen. Aber das wird nur erfolgreich sein, wenn du vorher alle notwendigen Werkzeuge kennengelernt hast.

Welche Flächenformeln für das Dreieck kennst du bisher?

Da ist einmal die Allerweltsformel . Davon gibt es für das rechtwinklige Dreieck zwei Abwandlungen. Du erinnerst dich? Hier hilft die Formelsammlung und in der solltest du dich auskennen.

Dann gibt es für Dreiecke im Koordinatensystem die Determinantenformel:

wobei die beiden Vektoren und das Dreieck aufspannen. Der Vektor ist der Vektor, der gegen den Uhrzeigersinn gedreht, also linksherum gedreht, das Dreieck überstreicht.

Mit hilfe der Trigonometrie kannst du nun noch eine 3. Flächenformel herleiten, die äußerst hilfreich ist. Diese 3. Flächenformel ist eigentlich eine Abwandlung deiner 1. Flächenformel für das Dreieck.

 
 
 
 
 

Du berechnest hier den Flächeninhalt eines Dreiecks aus 2 Seiten und dem Zwischenwinkel.

Auf die gleiche Art lässt sich das auch für die anderen Seiten zeigen (siehe unten).

 
 

 

 
 
Der Flächeninhalt eines Dreiecks kann aus zwei Seitenlängen und dem Maß des Zwischenwinkels berechnet werden:
 
     
 
 
 

Aufgabe 1:

Berechne die in Klammern angegebenen Größen des Dreiecks ABC.

a) a = 7,5 cm; b = 5 cm; =30°      (A; c; )

Lösung einblenden hier...

 
 

 

 
 
 
 
 

b) c = 6 cm; a = 4 cm; = 58,21°      (A; b; )

Lösung einblenden hier...

 
 

 

 
 

 

 
 
 

 

 
 

c) A = 12 cm²; c = 6 cm; =48,59°      (a; b; )

Lösung einblenden hier...

 
     
 
 
 
 

d) A = 20 cm²; a = 7,5 cm; = 60°; = 80°

Lösung einblenden hier...

 
     
 
 
 
 

Aufgabe 2:

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit derr Hypotenuse [AB]. Der Punkt P ist Mittelpunkt der Strecke [AC] und der Punkt Q ist Fußpunkt des Lotes von C auf die Strecke [AB]. Auf der Strecke [BC] liegt der Punkt R. Der Winkel RPC hat das Maß (delta).

Es gilt: = 12,5 cm; = 30°; = 38°

a) Zeichne das DreieckABC und das Dreieck PQR.

b) Zeige durch Rechnung: Das Maß (epsilon) des Winkels APQ
beträgt 120,0°.

c) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks PQR.

Wenn du unten auf 1, 2, 3 usw. klickst, blendest du meine Lösungsvorschläge ein.

 
     
 
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© 2002 Wolfgang Appell

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