Trigonometrie 14 - Vermischte Übungen I

Trigonometrie 14
Vermischte Übungen

Aufgabe 1:

Gegeben ist das Dreieck ABC. Es gilt: c = 10,0 cm; a = 9,0 cm; = 48,6°

a) Zeichne das Dreieck ABC. Berechne die fehlende Seitenlänge und die fehlenden Innenwinkelmaße sowie die Höhe h_c. Runde auf zwei Stellen nach dem Komma.

[Ergebnis: b = 7,87 cm; = 59,07°; = 72,33°; h_c = 6,75 cm]

b) Eine Parallele zur Strecke [AB] im Abstand von 2,0 cm schneidet die Strecke [AC] im Punkt D und die Strecke [BC] Im Punkt E. Berechne die Länge der Strecke [DE]. Runde auf zwei Stellen nach dem Komma.

[Ergebnis: = 7,94 cm]

c) Berechne den prozentualen Anteil des Flächeninhalts des Trapezes ABED am Flächeninhalt des Dreiecks ABC. Runde auf eine Stelle nach dem Komma.

d) Berechne den Umfang des Trapezes ABDE auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

Klicke unten auf 1, 2, 3 usw. um meine Lösungen einzublenden.

Der Fehler und die Folgefehler in der Lösung wurden am 8. Juni 2009 korrigiert!

Nr. 1

Die Seitenlänge b berechnest du mit dem Kosinussatz:

Mit dem Sinussatz berechnest du :

Nr. 7

Du musst und berechnen. Wie? Es gilt:

Nr. 6

weiter c)

Nr. 5

Als Grundwert (= 100%) musst du noch den Flächeninhalt des Dreiecks ABC berechenen.

Nr. 4

weiter b)

Nr. 3

Du rechnest selbstverständlich mit den angegebenen Lösungen weiter. Es gilt:

Damit kannst du in den rechtwinkligen Dreiecken DGC und GEC als Summe berechnen.

Nr. 2

weiter a)

Den Winkel berechnest du über die Winkelsumme im Dreieck:

=180° - (48,6°+ 59.07°) = 72.33°

Im rechtwinkligen Dreieck FBC gilt:

Nr. 8

weiter d)

Aufgabe 2:

Gegeben ist ein Parallelogramm ABCD. Es gilt: a = 7,5 cm; =60°; d = 5,0 cm

Hinweis: Runde bei den Berechnungen die Ergebnisse auf eine Stelle nach dem Komma.

a) Zeichne das Parallelogramm und berechne dessen Höhe h_a.

[Ergebnis: h_a = 4,3 cm]

b) Der Mittelpunkt M der Diagonalen [BD] ist Mittelpunkt eines Kreises mit
r = . Zeichne den Kreis und berechne dessen Radius r.

[Ergebnis: r = 3,3 cm]

c) Der Kreis in Aufgabe b) schneidet die Strecke [AB] im Punkt E und die Strecke [DC] im Punkt F. Berechne die Länge der Strecke [BE]. Bestimme anschließend die Länge der Strecke [DF].

d) Begründe: Das Viereck BFDE ist ein Rechteck.

e) Der Punkt G auf der Strecke [AB] ist 3,0 cm vom Eckpunkt A entfernt. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks GBM.

Klicke unten auf 1, 2, 3 usw. um meine Lösungen einzublenden.

Nr. 1

Im rechtwinkligen Dreieck AED gilt:

Nr. 4

weiter c) und d)

Da du schon begründet hast, dass das Viereck EBFD ein Rechteck ist, gilt:

Nr. 3

c) und d)

Du musst begründen, warum der Fußpunkt der Höhe h_a der hier angesprochene Punkt E ist. Die Höhe h_a steht ja nicht nur senkrecht auf [AB] sondern auch auf [CD]. Der Kreis mit dem Durchmesser [DB] schneidet die Parallelen in E und F, d.h. aber [EF] ist Diagonale eines Rechtecks. Damit ist E der Fußpunkt der Höhe h_a.

Im rechtwinkligen Dreieck AED gilt:

Nr. 2

Im Dreieck AbD gilt mit Kosinussatz:

Nr. 5

weiter e)

Aufgabe 3:

Die Punkte C_n(x/y) von Dreiecken AB_nC_n liegen auf der Geraden g. Die Winkel B_nAC_n haben das Maß = 30°. Die Streckenlängen verhalten sich wie 2:1.

Es gilt: A(0/0); g mit y =0,5x + 5

a) Zeichne die Dreiecke AB₁C₁ bzw. AB₂C₂ für x = 6 bzw. x = -4.

b) Berechne die Seitenlängen, die Innenwinkelmaße und den Flächeninhalt des Dreiecks AB₁C₁.

[Teilergebnis: =126,2°]

c) Begründe, dass in allen Dreiecken AB_nC_n das Winkelmaß stets 126,2° beträgt.

d) Stelle die Längen der Strecken [AC_n] und [AB_n] in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte C_n dar. Zeige anschließend durch Rechnung, dass sich der Flächeninhalt der Dreiecke AB_nC_n, wie folgt in Abhängigkeit von x darstellen lässt:

e) Das Dreieck AB₃C₃ hat einen minimalen Flächeninhalt. Berechne die zugehörige Belegung von x und gib den minimalen Flächeninhalt an.

f) Es gibt zwei Dreiecke AB₄C₄ und AB₅C₅ mit dem Flächeninhalt 10,6 FE. Berechne die zugehörigen Belegeungen von x.

g) Die Seite [AC₆] des Dreiecks AB₆C₆ liegt auf der Geraden h, die mit der positiven x-Achsenrichtung einen Winkel mit dem Maß 56,31° einschließt.

Zeichne die Strecke [aC₆]. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks AB₆C₆.

Ziehe das Arbeitsblatt am roten Balken mit der Maus soweit nach links bis der Rand frei liegt. Klicke unten auf 1, 2, 3 usw. um meine Lösungen einzublenden.

Nr. 1

Ziehe mit der Maus den roten Punkt C auf x = 6 bzw. x = 4.

x = 6 eingesetzt in g:

y = 0,5*6 + 5 = 8

=> C₁(6/8)

Nr. 9

weiter f)

Nach der Eingabe von a, b und c wähle F1 SOLV.

h: y = tan 56,31° *x

h: y = 1,5x

Nr. 8

weiter f)

Quadratische Gleichungen löst du mit dem Casio-GTR im Menü EQUA. Dort wählst du mit F2 Polynomial. Im nächsten Display mit F1 Degree 2, Gleichung 2. Grades. Hier musst du a, b und c eingeben.

Nr. 7

Hier musst du, wie meistens bei solchen Aufgaben eine quadratische Gleichung lösen. Hierzu kannst du mit der "Quadratischen Ergänzung" arbeiten (umständlich), oder mit der Lösungsformel (empfohlen, falls du keinen graphischen Taschenrechner hast), oder mit dem GTR (2 Möglichkeiten). Ich zeige dir die Lösung mit der Lösungsformel und die Lösung mit dem Gleichungslöser deines Casio-GTR. Du kannst es aber mit dem GTR auch graphisch durch Nullstellenbestimmung lösen.

Es gilt:

Nr. 6

weiter e)

Die Brüche kannst du entweder mit der a b/c Taste eingeben oder in eine Dezimalzahl umwandeln. Ich habe beides gemacht.

Mit F6 DRAW lässt du den Graphen zeichnen und wählst dann F5 G-Solv. Im dortigen Untermenü wählst du F3 Min.

Das für x nicht genau -2 angezeigt wird liegt an der Art und Weise wie der GTR den Extremwert berechnet. Du darfst bedenkenlos runden.

Falls dir angezeigt wird "Not Found", dann hast du das falsche Koordinatensystem eingestellt. Wähle mit F3 V-Window und dort im Untermenü STD (Standard).

Nr. 5

weiter e)

Wenn du mit der rechnerischen Bestimmung von Extremwerten Schwierigkeiten hast, dann findest du in der 8. Jahrgangsstufe eine Lerneinheit dazu.

Bienen, Biber und Binome 5
Extremwerte quadratischer Terme I

Mit dem Casio-GTR ist die Bestimmung eines Extremwertes ein Kinderspiel. Du musst diese Kinderspiel nur ordentlich dokumentieren.

Die Dokumentation lautet:

GRAPH-F6-F5-F3

Du gibst im GRAPH-Menü die angegebene Lösung von Teilaufgabe d) ein.

Nr. 4

Ich weiß, dass manche keinen graphischen Taschenrechner haben oder ihn nicht einsetzen dürfen. Für die zeige ich hier die rechnerische Lösung. Die bayerischen Realschüler dürfen ihren GTR einsetzen. Wie das funktioniert zeige ich danach.

Den Extremwert quadratischer Terme bestimmst du durch die "Quadratische Ergänzung".

Hierzu ist es notwendig, dass du den Faktor bei x² ausklammerst.

Nr. 3

weiter c)

Die Dreiecke AB_nC_n sind ähnlich zueinander, d.h. sie stimmen alle in den Winkeln überein.

mit C_n(x / 0,5x + 5) gilt:

Nr. 2

weiter b)

mit Sinussatz

mit Sinusformel

Kennst du den 3. Ähnlichkeitssatz für Dreiecke?

Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis zweier Seitenlängen und dem Maß des eingeschlossenen Winkels übereinstimmen.

Nr. 10

weiter g)

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Aufgabe 4:

Gegeben ist das Viereck ABCD. Es gilt: A(-4/2); B(4/-2); C(6/3); D(2/5)

a) Zeichne das Viereck ABCD und begründe: Das Viereck ist ein Trapez.

b) Berechne die Innenwinkelmaße und den Flächeninhalt des Trapezes ABCD.

c) Die Strecke [AE] mit 7 LE liegt im Inneren des Trapezes ABCD und bildet mit der Strecke [AB] den Winkel BAE mit dem Maß = 30°. Zeichne die Strecke [AE] im Trapez ein.