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Geometrie mit Spaß lernen

 
 
 

Kreis 1
Kreiszahl ; Kreisumfang; Flächeninhalt

 
     
 

Hallo! Ich begrüße dich zu einer neuen, jedoch kurzen Lerneinheit. Es dreht sich alles um Berechnungen am Kreis. Ich versuche dich fähig zu machen Abschlussprüfungsaufgaben zu diesem Thema zu bewältigen. Was du hier nicht findest ist die Geschichte der Kreiszahl (Pi) und alle ihre Merkwürdigkeiten. In deinem Lehrbuch und bei Wikipedia findest du darüber genug.

Das Verhältnis des Umfangs u eines Kreises zu seinem Durchmesser d ist bei allen Kreisen gleich. Der Quotient wird als Kreiszahl (lies: pi) bezeichnet.

Die Formeln für den Umfang und den Flächeninhalt solltest du schon kennen. Wenn du sie vergessen hast, dann spiele unten mit dem Arbeitsblatt. Schiebe es dazu am roten Balken mit der Maus soweit nach links bis der rechte Rand für meine Plauderei frei wird.

Plauderei einblenden hier...

 
 
 
 
   
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Betreiben wir etwas -Mathematik. Da wäre die Frage, wie viele Nachkommastellen von du benötigst um den Umfang eines Kreises zu berechnen, der den Durchmesser des Universums hätte. Dazu sollst du die kleinstmögliche Länge als Maßeinheit benutzen, die überhaupt noch sinnvoll ist. Du sollst also den in unserem Universum größtmöglichen Kreis mit der größtmöglichen Genauigkeit in Metern berechnen.

Das Licht des Urknalls in Form der Mikrowellen-Hintergrundstrahlung erreicht uns
aus einer Entfernung, die sich als das Produkt des Weltalters (etwa 13 * 109 Jahre) mit der Lichtgeschwindigkeit 300 000 km/s oder 9,46 * 1015 m/Jahr ergibt, also rund
1,3 * 1026 m.

Der Kreis mit diesem Radius hat also einen Umfang von etwa 8,17 * 1026 m. Die kleinste physikalisch sinnvolle Längeneinheit ist die Planck-Länge von etwa 10-35 m. Kannst du dir vorstellen, wie klein eine Planck-Länge ist? Natürlich nicht. Ich kann es mir auch nicht vorstellen. Der Durchmesser eines Atoms verhält sich zum Durchmesser des Universums, wie eine Plancklänge zum Durchmesser eines Atoms.

Was heißt das? Nehmen wir an das Atom sei das Universum, dann ist die Planck-Länge der Durchmesser eines Atoms in diesem Universum. Also eine Planck-Länge verhält sich zum Atom wie das Atom zum Universum. Eine Plancklänge ist sowas von klein, fürchterlich klein, nicht beobachtbar klein, doch berechenbar klein. Also was wollen wir?

Wir wollen einen Kreisumfang berechnen, der gerade ins Universum hineinpasst und als Maßeinheit wollen wir keine Lichtjahre verwenden, auch keine Kilometer, keine Meter, nicht einmal Atomdurchmesser, sondern die unvorstellbar kleine Planck-Länge. Das Ergebnis geben wir in Metern an, natürlich mit entsprechender Nachkommastellenzahl. Wie genau musst du die Kreiszahl kennen?

10-35 * 1061 = 1026 , d.h. du musst auf 61 besser auf 62 Nachkommastellen genau kennen. In diesem Fall kannst du Kreise mit größtmöglicher sinnvoller Genauigkeit in Metern berechnen, die Universumgröße haben.

Was soll also die Kenntnis von auf mehr als 1,2 Billionen Stellen? Ist es Aberwitz von irrsinnigen Mathe-Freaks? Nein, dem ist nicht so.

Folge bitte noch einmal meinem Gedankengang. Bitte! Du kannst jede Zahl auch in Dualschreibweise darstellen, also nur die Ziffern 1 und 0 verwenden. So macht es ja dein Computer. Die bisher bekannten 1,2 Billionen Nachkommastellen stellen demnach auch eine riesige Anzahl von Einsen und Nullen dar. Mit Einsen und Nullen werden aber auch Buchstaben dargestellt. Innerhalb dieser 1,2 Billionen bekannten Stellen in Dualschreibweise gibt es eine Menge unsinniger Buchstabenkombinationen. Aber ich versichere dir an irgendeiner Stelle findest du eine Kombination, die deinem Namen entspricht. Man hat schon eine Menge Wörter identifiziert. Das geht natürlich nur mit Supercomputern.

Die philosphisch-mathematische Frage ist nun: Enthält die Zahl in Dualschreibweise alle bisher geschriebenen Texte und alle in Zukunft geschrieben werdenden Texte in codierter Form? 1,2 Billionen Stellen ist sicherlich nur eine vorübergehende Grenze. Die Computer werden besser. Irgendein Mathematiker wird die bekannte Stellenzahl weiter nach oben treiben. Ist hier in der Dualdarstellung der Nachkommastellen jeder bisher formulierte Gedanke der Menschheit enthalten und auch jeder Gedanke der noch zukünftig formuliert wird? Oder gibt es eine Schranke? Welches Instrument könnte man benutzen dieses zu untersuchen? Nicht umsonst heißen solche Zahlen irrational. Man könnte verrückt werden.

Weißt du, was das mit Realschulmathe zu tun hat? Nichts, absolut nichts. Lass uns einfach rechnen. Mir geht es wie dir.

 

 

 
 

Aufgabe 1:

Ein Kreis und ein Quadrat haben jeweils einen Umfang von 18cm . Vergleiche die Flächeninhalte der beiden Figuren.

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Aufgabe 2:

Ein Kreis und ein Quadrat haben jeweils einen Flächeninhalt von 20,25 cm². Vergleich die Umfänge der beiden Figuren.

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Auffgabe 3:

Ein gleichseitiges Dreieck hat die Seitenlänge 2a, ein Kreis den Radius a. Vergleiche die Flächeninhalte und die Umfänge der beiden Figuren.

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Aufgabe 4:

Immer mehr Automobilhersteller bauen Motoren mit vier statt nur zwei Ventilen pro Zylinder. Sie versprechen sich dadurch eine größere Durchlassfläche. Die Anordnungen der Ventile entsprechen der in Bild 1 und Bild 2 unten, dabei ist r der Radius des Zylinders und r2 bzw. r4 sind die Radien der Ventile.

 
     
 

 
     
 

a) Berechne den Anteil der Ventilfläche am Flächeninhalt des Zylinders bei beiden Motorvarianten.

b) Um wie viel Prozent lässt sich die Durchlassfläche bei einem Motor mit vier Ventilen gegenüber einem Motor mit zwei Ventilen vergrößern?

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Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 21:13 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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Pi-Skulptur in Seattle
 

Aufgabe 5:

Um einen Tennisball mit 6,5 cm Durchmesser wird straff eine Schnur gelegt. Du verlängerst diese Schnur um genau 1 m und legst sie wieder um den Tennisball.

a)

Berechne den Abstand d der verlängerten Schnur vom Ball.

b)

Denke dir in gleicher Weise längs des Äquators eine Schnur um die Erde gelegt und dann ebenfalls um 1 m verlängert. Kannst du den Tennisball unter hier hindurch rollen (Erdradius: 6370 km)?

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Aufgabe 6:

Gegeben sind drei Kreise mit dem Radius r = 2 cm, die sich gegenseitig berühren (siehe Bild).

a) Welchen Flächeninhalt hat der rote Kreis, der alle drei Kreise (wie im Bild) berührt?

b) Um wie viel Prozent ist die Summe der Umfänge der kleineren Kreise größer als der Umfang des großen Kreises?

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