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Geometrie mit Spaß lernen

 
 
 

Raumgeometrie 1
Volumen und Oberfläche des Prismas
(Fortsetzung von Raumspaziergang 4)

 
     
 

Wie gut bist du drauf? Auch die Mathematik kennt "Körperwelten": Prisma, Pyramide, Kegel, Zylinder und Kugel. Für jeden Körper plane ich zwei Webseiten. Aber "Grüß Gott" erst einmal.

Weißt du, was ich hier nicht machen werde. Ich werde die Oberflächen- und Volumenformeln weder herleiten noch beweisen, allenfalls plausibel machen. Ich werde mich hier auf ihre Anwendung in Aufgaben konzentrieren.

Falls du Probleme mit Schrägbildern hast und/oder nicht weißt, was Stützdreiecke in Schrägbildern sind, solltest du auf alle Fälle die Lerneinheit Raumspaziergang vom Ende der 9. Jahrgangsstufe wiederholen. Es handelt sich um 4 Webseiten auf denen ich dir erkläre, wie du Schrägbilder zeichnest und in ihnen Streckenlängen und Flächen berechnest.

Ich setze voraus, dass du die Lerneinheit "Raumspaziergang" beherrscht.

Warum sollte ich mich auf einer Webseite wiederholen, wenn ein interner Link ausreicht.

Was ist ein Prisma?

Ein Prisma hat ein n-Eck als Grundfläche und ein kongruentes n-Eck als Deckfläche. Die Seitenkanten sind zueinander parallel. Du kennst schon Prismen seit der 5. Klasse. Quader und Würfel sind spezielle Prismen.

Unten das Arbeitsblatt zeigt ein Dreikantprisma, dessen Höhe du mit dem Schieberegler verändern kannst. Wenn du mit der Maus den roten Eckpunkt der Deckfläche ziehst, entsteht aus dem geraden Prisma ein schiefes Prisma. Aber lass mich im rechten Rand weiter plaudern.

 
     
 
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1. In einem Prisma liegen Grund- und Deckflächen parallel zueinander und sind kongruent.

2. Stehen die Kanten des Prismas nicht senkrecht zur Grundfläche, so spricht man von einem "schiefen Prisma".

3. Für ein gerades Prisma gilt:

  • Die Mantelflächen sind Rechtecke.
  • Der Abstand von Grund- und Deckfläche heißt Höhe.

 

 
 

Aufgabe 1:

Berechne das Volumen und den Inhalt der Oberfläche des Prismas. Zeichne das Netz.

Lösung einblenden hier...

 
     
 
 
 

Aufgabe 2:

Berechne das Volumen und den Inhalt der Oberfläche des Prismas. Zeichne das Netz.

Lösung einblenden hier...

 
     
 
 
 

Aufgabe 3:

Berechne das Volumen und den Inhalt der Oberfläche des Prismas. Zeichne das Netz.

Lösung einblenden hier...

 
     
 
 
 

Aufgabe 4:

Ein Graben soll 2,50 m tief und 90 m lang werden. Oben soll er 4,40 m und unten 2,10 m breit sein.

Wie viele Kubikmeter Erdreich müssen ausgehoben werden?

Lösung einblenden hier...

 
 

 

 
   
 

Warum hat ein schiefes Prisma das gleiche Volumen wie ein gerades Prisma, wenn beide die gleiche Höhe haben?

Weißt du wer hierfür die Schuld trägt? Es ist der Herr Cavalieri. Schuld ist eigentlich zu viel gesagt. Er hat einen Lehrsatz aufgestellt und bewiesen:

Der Satz von Cavalieri

Zwei gleich hohe Körper sind volumengleich, wenn sie in jeweils gleicher Höhe flächengleiche Querschnitte haben.

Warum das gilt? Der Beweis ist kinderleicht mit z.B. einem Stapel von 2-Cent zu machen.

 
     
 
 
     
 

Auch wenn du den Stapel Münzen verschiebst, hat der Münzstapel doch immer das gleiche Volumen. Nun ist der Münzstapel links ein Zylinder und kein Prisma. Aber du könntest ja einen Bücherstapel nehmen, dann hättest du ein Prisma. Der Satz von Cavalieri gilt also für alle möglichen und "unmöglichen" Körper.

Nun hat ein Querschnitt niemals eine Dicke (= Höhe). Du musst dir also vorstellen, dass die Münzen bzw. die Bücher fast unendlich dünn werden. Dann kommen wir dem Satz von Cavalieri schon näher. An der Grundüberlegung zur Verschiebung der Schichten ändert dies aber nichts.

Weißt du wo du den Satz des Cavalieri besonders brauchst? Du brauchst ihn um das Kugelvolumen herzuleiten. Aber ich habe ja schon gesagt, du brauchst ihn eigentlich für alle möglichen und "unmöglichen" Körper. In der Realschule gibt es aber gottseidank keine "unmöglichen" Körper.

Keine Angst ich werde ihn nie wieder ansprechen. Aber vielleicht solltest du dir einmal im rechten Rand durchlesen wer der Herr Cavalieri überhaupt war.

 
     
     
 
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Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 21:13 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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Bonaventura Francesco Cavalieri wurde 1598 in Mailand geboren und starb am 30.11.1647 in Bologna.
 
Er war mathematisch Autodidakt und beschäftigte sich mit Mathematik intensiv ab etwa 1614. Seine glänzende Fortschritte erregten Aufsehen, und 1619 wurde ihm vertretungsweise eine Professur in Pisa übertragen. Ab 1616 Mitglied des Jesuitenordens, war Cavalieri aber nicht auf eine akademische Laufbahn angewiesen. Im Auftrag das Ordens wirkte er 1620-1623 in Mailand, ab 1623 war er Prior erst in Lodi, dann in Pirma bis 1629. Danach lebte er in Bologna. Die ersten veröffentlichten Schriften Cavalieris stammen aus dem Jahre 1632. In "Lo speccio ustorio" behandelte er Probleme der Mechanik, u.a. die Fallinie. Im "Direktorium generale" fand Cavalieri als sein wichtigstes Ergebnis den Flächeninhalt des sphärischen Dreiecks. Fast genau die gleichen Probleme erläuterte er nochmals in der "Trigonometria plana" von 1643. Hauptwerk Cavalieris war die berühmte "Geometria indivisibilibus" die 1635 erstmals veröffentlicht wurde.

Neben den angeführten Werken sind auch astronomische Schriften und ausgezeichnete trigonometrische Tafeln von Cavalieri bekannt.