Raumgeometrie 2 - Funktionale Abhängigkeiten beim Prisma

Raumgeometrie 2
Funktionale Abhängigkeiten beim Prisma

Servus! Ich grüße dich. Die bisherigen Aufgaben zum Prisma waren eigentlich nur ein paar Übungen zum Aufwärmen. Jetzt kommen Aufgaben mit teilweise Abschlussprüfungsniveau. Auf "Los", geht's los. Los!

Aufgabe 1:

gegeben ist ein Quader mit a = 15 cm, b = 5 cm und h = 10 cm. Es entstehen neue Quader, wenn man die Länge a um x cm verkürzt und die Höhe h um x cm verlängert.

a) Zeichne ein geeignetes Schrägbild.

b) Aus welchem Intervall darf man x wählen?

c) Stelle die Länge der Raumdiagonalen in Abhängigkeit von x dar.

c) Zeige, dass man für das Volumen der Quader in Abhängigkeit von x folgendes Ergebnis erhält:

d) Stelle die Oberfläche der Quader in Abhängigkeit von x dar.

[Ergebnis: ]

f) Besitzt der Quader mit dem größten Volumen auch die größte Oberfläche?

Klicke unten auf 1, 2, 3 usw. um meine Lösungen am rechten Rand einzublenden.

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Nr. 1

Für mein Schrägbild habe ich als Verzerrungswinkel
= 45° und als Verkürzungsfaktor q=0,5 gewählt. Schrägbildachse ist AB.

Im Arbeitsblatt links kannst du den roten Punkt B_n mit der Maus ziehen und damit einen x-Wert festlegen.

x ]0; 15[

Du wendest den Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck AC_nG_n an:

Nr. 6

weiter f)

Du kannst die y-Werte nicht einstellen? Über scale:1 kommst du mit den Pfeiltasten weg. Du hast ja hier nichts zu bestätigen, also benutzt du nicht EXE sonden die Pfeiltasten. deine Einstellungen für das Koordinatensystem sollte jetzt so ausschauen:

Mit EXE gehst du zurück. Der Graph sollte dann wie folgt ausschauen:

Wozu das Ganze? Wenn du einen Parabelscheitel (=Extremwert) oder einen Schnittpunkt von zwei Graphen bestimmen willst, dann sollte der Scheitel bzw. der Schnittpunkt im Display sichtbar sein, oder zumindest sehr in der Nähe des Displays sein.

Nr. 5

weiter f)

Mit F6 lässt du jetzt den Graphen zeichnen. Und was siehst du? Du siehst nichts. Warum? Weil dein Koordinatensystem nicht geeignet ist. Du musst dein Koordinatensystem anders einstellen. Dazu gehst du mit F3 ins V-Window (View-Window). Dort wählst du wieder mit F3 das Koordinatensystem STD (Standard). Das schaut so aus:

Unser x_min = 0 und unser x_max=15. Du stellst das ein und bestätigst mit EXE. Scale:1 kannst du lassen. y_min=0, aber was sollst du für y_max wählen. Hier musst du schätzen. y_max=1000 sollte reichen. Als scale (= Skalenstrich) wählst du 100.

Nr. 4

weiter f)

=> Der Quader mit dem größten Volumen besitzt auch die größte Oberfläche.

Du fragst warum? Weil bei beiden der Extremwert bei x = 2,5 liegt.

Casio-GTR:

Du gehst ins GRAPH-Menü und gibst deinen quadratischen Term ein. Im Display sollte oben y= stehen, ansonsten ist dein GTR falsch eingestellt.

Falls dies der Fall ist, wählst du unten im Untermenü TYPE und stellst y= ein und bestätigst mit EXE.

Nr. 3

weiter e )

Um die Frage zu beantworten musst du zweimal eine Extremwertbestimmung durchführen. Entweder machst du es mitttels quadratischer Ergänzung oder du benutzt den Casio-GTR. Ich zeige dir beides.

Nr. 7

weiter f)

Jetzt wählst du mit F5 G-Solv. Jetzt musst du allerdings wissen, ob du ein Maximum oder ein Minimum bestimmen sollst. Steht vor dem quadratischen Teilterm ein Minuszeichen wie hier, dann musst du ein Maximum bestimmen. Du wählst mit F2 den Menüpunkt MAX. Dein Display sollte jetzt so ausschauen.

Hier kannst du den Scheitel der Parabel und damit den Extremwert ablesen.

Genauer besprochen findest du es auch in der Lerneinheit Parabellissima oder in der 8.Jahrgangsstufe bei den Binomischen Formeln. Du kannst deine Lücken schließen, du findest alles bei mir. Doch du musst Eigeninitiative zeigen.

Nr. 2

Für die Oberfläche musst du drei Teilflächen berechnen.

Grundfläche AB_nC_nD:

Seitenfläche AB_nF_nE_n:

Seitenfläche B_nC_nG_nF_n:

Aufgabe 2:

Ein gleichschenkliges-rechtwinkliges Dreieck ABC mit den Katheten [AC] und [BC] ist Grundfläche eines geraden Prismas ABCDEF. Verkürzt man [AC] von A aus um x cm und verlängert [BC] über B hinaus um 2x cm, so erhält man neue Prismen A_nB_nCD_nE_nF.

Es gilt:

a) Zeichne ein Schrägbild für x = 2.

Es gilt: q = 0,5; =45°, [BC] liegt auf der Schrägbildachse.

b) Welche Belegungen für x sind zulässig?

c) Für welche Belegung von x erhält man ein Prisma mit maximalem Volumen? Gib V_max an.

d) Überprüfe mithilfe einer Wertetabelle, ob das Prisma mit dem größten Volumen auch die größtmögliche Oberfläche besitzt.

[Teilergebnis:

Packe das Arbeitsblatt mit der Maus am roten Balken und schiebe es soweit nach links bis der Rand vollständig frei liegt. Dort kannst du dann meine Lösungen einblenden.

Nr. 1

Du kannst den roten Punkt An mit der Maus ziehen. Versuche den Wert x = 2 einzustellen.

x ]0; 5[

Nr. 6

weiter d)

Zunächst musst du einen Gedanken daran verschwenden in welchem Bereich du die Wertetabelle benötigst, und welche Schrittweite du wählen sollst.

Das Maximum des Volumens liegt bei x = 1,25. Ein Startwert x=0,5 und ein Entwert x=2 reicht sicherlich aus um die Frage zu beantworten. Als Schrittweite wählst du 0,05 damit du in deiner Wertetabelle auf den x-Wert x=1,25 kommst.

Du musst den Term unter Wurzel in Klammern setzen. Den Bereich der Wertetabelle stellst du ein, indem du im Untermenü unten mit F5 RANG (range = Bereich) wählst.

Nr. 5

weiter d)

So du hast das Teilergebnis erreicht. Den Rest der Aufgabe erledigst du mit deinem graphischen Taschenrechner. Ohne GTR macht diese Aufgabe überhaupt keinen Sinn. Für diesen term eine Wertetabelle zu Fuß zu erstellen, ist unsinnig. Da bist du ja stundenlang beschäftigt.

Nr. 4

weiter d)

Für die Mantelfläche brauchst du den Umfang der Grundfläche:

Du berechnest die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks mit dem Pythagoras.

Nr. 3

weiter c)

Extremwertbestimmung mit dem Casio-GTR:

GRAPH-F6-F5-F2

Ich habe im V-Window das Standard-Koordinatensystem STD gewählt.

Hier ist ein Teilergebnis angegeben. Ein Teilergebnis ist immer ein Hinweis für dich, was du zunächst berechnen musst. Hier ist es die Oberfläche des Prismas in Abhängigkeit von x. Die Grundfläche hast du ja schon berechnet. Also fehlt dir nur noch der Mantel des Prismas.

Nr. 2

weiter c)

Extremwertbestimmung mit quadratischer Ergänzung:

Nr. 7

weiter d)

In der Wertetabelle scrollst du mit den Pfeiltasten nach unten bis zum Wert x = 1,25.

Du siehst, dass die Oberfläche bei x=1,25 kein maximum hat. Mehr war nicht gefragt. Das maximum selber musst du nicht bestimmen.

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Aufgabe 3:

Die Grundfläche des geraden Prismas ABCDEF ist ein gleichschenkliges Dreieck.

Es gilt: a = 8 cm; h_a = 6 cm; Basis ist [BC] (siehe Arbeitsblatt)

a) Zeichne ein Schrägbild des Prismas.

Für die Zeichnung: [AM] liegt auf der Schrägbildachse; q = ; = 60°

b) Zur Grundfläche ABC parallele Ebenen schneiden [AS] im Punkt U_n, [BE] im Punkt V_n, [CF] im Punkt W_n und [MS] im Punkt N_n. S ist Mittelpunkt von [EF].

Es gilt: . Zeichne das Prisma T₁BCU₁V₁W₁ für x = 2,5 in das Schrägbild ein.

c) Zeige, dass man für das Volumen der Prismen T_nBCU_nV_nW_n erhält:

V(x) = (-4x² +24x) cm²

d) Für welche Werte von x beträgt das Volumen 27 cm³?

e) Berechne die Belegung für x, für die man ein maximales Volumen erhält. Gib V_max an.

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Nr. 1

Du solltest wirklich versuchen dieses relativ komplizierte Schrägbild selbstständig zu zeichnen und erst dann wieder hierher zurückzukehren.

Du kannst den roten Punkt Nn mit der Maus ziehen. Stelle ein x = 2,5.

Um die Grundfläche des Prismas berechnen zu können, brauchst du die Höhe . Die beschaffst du dir mithilfe elementargeometrischer Überlegungen (Du kannst natürlich auch die Ähnlichkeit von Dreiecken bzw. den Vierstreckensatz verwenden. Das hieße aber, dass du mit einer Kanone auf einen Spatz schießt).

Das Viereck AMSD ist ein Quadrat. => Diagonale ist Winkelhalbierende. => Das Dreieck U_nN_nS ist gleichschenklig-rechtwinklig.

Nr. 5

weiter d)

Wie bei der Lösungsformel musst du die Gleichung auf folgende Form bringen:

-4x² + 24x - 27 = 0

a = -4 ; b = 24 ; c = -27

Du gibst a, b und c der Reihe nach ein und bestätigst jeweils mit EXE. Fehler kannst du einfach überschreiben oder du benutzt F3 CLR (Clear) im Untermenü.

Nach der Eingabe wählst du F1 SOLV.

Nr. 4

weiter d)

Du kommst in folgendes Display:

Hier musst du den Gleichungstyp auswählen.

Mit F1 Simultaneous löst du lineare Gleichungssysteme mit bis zu 6 Unbekannten.

Mit F2 Polynomial löst du Gleichungen 2. und 3. Grades, d.h. für eine quadratische Gleichung (Gleichung 2. Grades) musst du diesen Gleichungslöser wählen.

Mit F3 Solver löst du lineare Gleichungen. Du brauchst sie in keiner Weise umformen, so wie bei den anderen beiden Gleichungslösern.

Du wählst also F2 POLY. Im nächsten Display wirst du nach Grad der Gleichung gefragt (Grad = degree). Du wählst
F1 2. Grad.

Nr. 3

weiter d)

Lösung mithilfe der Lösungsformel:

27 = -4x² + 24x | -27

-4x² + 24x -27 = 0

a=-4 ; b=24 ; c=-27

Lösung mithilfe des Gleichungslösers im Hauptmenü EQUA des Casio-GTR:

Nr. 2

weiter c)

In dieser Teilaufgabe musst du eine quadratische Gleichung lösen. Das machst du entweder mit quadratischer Ergänzung, oder mit der Lösungformel, oder mit deinem Casio-GTR:

Lösung mithilfe quadratischer Ergänzung:

27 = -4x² +24x

Nr. 6

Das Maximum bestimmst du entweder durch quadratische Ergänzung oder mit dem Casio-GTR.

oder mit dem Casio-GTR:

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