Raumgeometrie 4 - Funktionale Abhängigkeiten

Raumgeometrie 4
Funktionale Abhängigkeiten

Ich grüße dich und los geht's!

Aufgabe 1:

Die Grundfläche einer Pyramide ist ein Quadrat ABCD mit der Seitenlänge 6 cm. Die Spitze S steht senkrecht über dem Punkt A mit = 9 cm. Es entstehen neue Pyramiden AB_nC_nDS_n, wenn man die Kante [BC] über B und C hinaus um jeweils x cm verlängert und die Höhe gleichzeitig um x cm verkürzt.

a) Aus welchem Intervall kann man x wählen?

b)Zeichne ein räumliches Bild für X₁ = 2 und berechne das Maß des Neigungswinkels zwischen der Seitenfläche B₁C₁S₁ und der Grundfläche.

c) Zeige,dass sich das Volumen V wie folgt in Abhängigkeit von x darstellen lässt:

V(x) = (-2x² + 6x +108) cm³

d) Für welche Belegung von x ist das Volumen der neuen Pyramide um 50 % kleiner als das Volumen der Ausgangspyramide?

e) Berechne den Inhalt der Oberfläche der Pyramide aus Teilaufgabe d).

f) Für welche Belegung von x wird das Volumen der neuen Pyramide maximal? Gib den Maximalwert an.

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Nr. 1

Du weißt es hoffentlich noch? Verlängern kannst du beliebig, aber verkürzen nicht. Es gilt:

x [0; 9]

Du kannst den roten Punkt Sn mit der Maus ziehen. Ziehe ihn auf x = 2. Blende das notwendige Stützdreieck ein.

Im rechtwinkligen Stützdreieck ABS_n gilt:

Die Grundfläche ist ein Trapez. Es gilt:

Nr. 5

weiter e)

Dreieck DC_nS_n:

Dreieck AB_nB ist kongruent zu Dreieck DCC_n.

Mit dem Pythagoras berechnest du im Dreieck ADS_n.

Dreieck ADS_n:

Nr. 4

Grundfläche:

Der Mantel der Pyramide besteht aus vier rechtwinkligen Dreiecken. Siehst du es? Überlege warum.

Dreieck AB_nS_n:

Mit dem Pythagoras berechnest du :

Dreieck B_nC_nS_n:

Nr. 3

weiter d)

Lösung mit dem GTR:

EQUA-F2-F1-F1

Nr. 2

weiter c)

Für das Volumen der ursprünglichen Pyramide ABCDS gilt:

Jetzt musst du eine quadratische Gleichung lösen.

Nr. 6

Du bestimmst den Extremwert entweder mit quadratischer Ergänzung oder mit deinem Casio-GTR.

Lösung mit dem Casio-GTR:

GRAPH-F6-F5-F2

Aufgabe 2: ( Abschlussprüfung 2000 Aufgabengruppe A)

Im gleichschenkligen Dreieck ABC ist M der Mittelpunkt der Basis [BC].

Es gilt: = 8 cm und = 7 cm.

Das Dreieck ABC ist die Grundfläche des geraden Prismas ABCDEF mit der Höhe

= 5 cm. Der Punkt N ist der Mittelpunkt der Strecke [ EF].

a) Zeichnen Sie ein Schrägbild des Prismas ABCDEF. Dabei soll [AM] auf der Schrägbildachse liegen. Zeichnen Sie die Strecken [DN] und [MN] ein.

Für die Zeichnung: q = 0,5 ; = 45°

b) Punkte P_n mit = x cm (x < 7) liegen auf [AM]. Punkte S_n erhält man durch Verlängerung der Strecke [MN] über N hinaus um x cm. Die Punkte P_n und S_n sind zusammen mit den Punkten B und C die Eckpunkte von Pyramiden BCP_nS_n mit den Spitzen S_n . Zeichnen Sie die Pyramide BCP₁S₁ für x = 4 in das Schrägbild zu 3.1 ein.

c) Die Pyramide R₁T₁Q₁S₁ ist der Teil der Pyramide BCP₁S₁ der aus dem Prisma ADCDEF herausragt.

Zeichnen Sie die Grundfläche R₁T₁Q₁, der Pyramide R₁T₁Q₁S₁ mit Q₁[DN] in das Schrägbild zu a) ein. Berechnen Sie sodann das Volumen der Pyramide R₁T₁Q₁S₁.

(Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)

d) In der Pyramide BCP₂S₂ hat der Winkel MP₂S₂ das Maß = 55°. Berechnen Sie den zugehörigen Wert für x. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)

e) Zeigen Sie rechnerisch, dass für das Volumen V(x) der Pyramiden BCP_nS_n in Abhängigkeit von x gilt: .

Unter den Pyramiden BCP_nS_n hat die Pyramide BCP₀S₀ das größtmögliche Volumen. Berechnen Sie den zugehörigen Wert für x.

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Nr. 1

siehe Arbeitsblatt links

Das Problem bei dieser Prüfungsaufgabe ist der umfangreiche Text. Von dem darfst du dich nicht aus dem Spiel bluffen lassen. Du glaubst, du verstehst nur Bahnhof. Es geht mir zunächst genauso, doch es ist ein Irrglaube. Entwickle die Zeichnung Schritt für Schritt und du wirst den Text verstehen.

Die Höhe der Pyramide R₁T₁Q₁S₁ beträgt 4 cm. Die Grundfläche berechnest du mit der Flächenformel:

A = 0.5 * g * h

wobei gilt:

Um dir die beiden Streckenlängen zu beschaffen gibt es zwei Werkzeuge:

Ähnlichkeit von Dreiecken
Vierstreckensatz

Nr. 3

Im rechtwinkligen Dreieck P₂MS₂ gilt:

Nr. 2

weiter c)

In ähnlichen Dreiecken sind die Verhältnisse sich entsprechender Streckenlängen gleich.

Dreieck Q₁T₁S₁ ist ähnlich zum Dreieck BCS₁, d.h. es gilt:

Dreieck R₁NS₁ ist ähnlich zum Dreieck P₁MS₁. Es gilt:

Nr. 4

weiter e)

Den Extremwert bestimmst du mit quadratischer Ergänzung oder mit deinem Casio-GTR.

Eigentlich bist du gewöhnt den faktor bei x² auszuklammern, wobei du das konstante Glied hinten ohne x unberührt lässt. Hier musst du noch -1 ausklammern und zwar auch beim konstanten Glied 35.

V_max ist nicht gefragt!

Mit dem Casio-GTR:

GRAPH-F6-F5-F2

Die Zeile oben ist die Dokumentation, die du angeben musst. Es ist dein Lösungsweg mit dem Casio-GTR.

Aufgabe 2: (Abschlussprüfung 2000 Aufgabengruppe B)

Das Rechteck ABCD mit = 10 cm und = 8 cm ist die Grundfläche der Pyramide ABCDS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Mittelpunkt E der Strecke [AD] und es gilt = 8 cm. Der Punkt F halbiert die Strecke [BC]

a) Zeichnen Sie ein Schrägbild der Pyramide ABCDS, wobei [EF] auf der Schrägbildachse liegen soll.

Für die Zeichnung: q = 0,5 ; = 45°

Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels SFE und die Länge der Strecke [FS] jeweils auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

[Teilergebnis:= 38,66°]

b) Der Punkt P liegt auf [EF] mit = 4 cm. Für die Punkte M_n auf [FS] gilt = x cm mit x < 12.81.

Die Punkte M_n sind die Mittelpunkte von Strecken [Q_nR_n] mit Q_n auf [CS], R_n auf [BS] und [Q_nR_n] || [BC].

Die Punkte P, Q_n und R_n sind die Eckpunkte von Dreiecken PQ_nR_n. Zeichnen Sie das Dreieck PQ₁R₁ für x = 9 in das Schrägbild zu a) ein.

Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt des Dreiecks PQ₁R₁. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)

c) Für das Dreieck PQ₂R₂ gilt . Berechnen Sie den zugehörigen Wert für x auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

d) Im Dreieck PQ₃R₃ hat die Höhe den kleinstmöglichen Wert. Berechnen Sie auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

Ermitteln Sie sodann das Intervall für die Höhen der Dreiecke PQ_nR_n

(Intervallgrenzen auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet).

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Nr. 1

Im rechtwinkligen Dreieck EFS gilt: