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Geometrie mit Spaß lernen

 
 
 

Raumgeometrie 4
Funktionale Abhängigkeiten

 
     
 

Ich grüße dich und los geht's!

Aufgabe 1:

Die Grundfläche einer Pyramide ist ein Quadrat ABCD mit der Seitenlänge 6 cm. Die Spitze S steht senkrecht über dem Punkt A mit = 9 cm. Es entstehen neue Pyramiden ABnCnDSn, wenn man die Kante [BC] über B und C hinaus um jeweils x cm verlängert und die Höhe gleichzeitig um x cm verkürzt.

a) Aus welchem Intervall kann man x wählen?

b)Zeichne ein räumliches Bild für X1 = 2 und berechne das Maß des Neigungswinkels zwischen der Seitenfläche B1C1S1 und der Grundfläche.

c) Zeige,dass sich das Volumen V wie folgt in Abhängigkeit von x darstellen lässt:

V(x) = (-2x² + 6x +108) cm³

d) Für welche Belegung von x ist das Volumen der neuen Pyramide um 50 % kleiner als das Volumen der Ausgangspyramide?

e) Berechne den Inhalt der Oberfläche der Pyramide aus Teilaufgabe d).

f) Für welche Belegung von x wird das Volumen der neuen Pyramide maximal? Gib den Maximalwert an.

 
     
 
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Aufgabe 2: ( Abschlussprüfung 2000 Aufgabengruppe A)

Im gleichschenkligen Dreieck ABC ist M der Mittelpunkt der Basis [BC].

Es gilt: = 8 cm und = 7 cm.

Das Dreieck ABC ist die Grundfläche des geraden Prismas ABCDEF mit der Höhe

= 5 cm. Der Punkt N ist der Mittelpunkt der Strecke [ EF].

a) Zeichnen Sie ein Schrägbild des Prismas ABCDEF. Dabei soll [AM] auf der Schrägbildachse liegen. Zeichnen Sie die Strecken [DN] und [MN] ein.

Für die Zeichnung: q = 0,5 ; = 45°

b) Punkte Pn mit = x cm (x < 7) liegen auf [AM]. Punkte Sn erhält man durch Verlängerung der Strecke [MN] über N hinaus um x cm. Die Punkte Pn und Sn sind zusammen mit den Punkten B und C die Eckpunkte von Pyramiden BCPnSn mit den Spitzen Sn . Zeichnen Sie die Pyramide BCP1S1 für x = 4 in das Schrägbild zu 3.1 ein.

c) Die Pyramide R1T1Q1S1 ist der Teil der Pyramide BCP1S1 der aus dem Prisma ADCDEF herausragt.

Zeichnen Sie die Grundfläche R1T1Q1, der Pyramide R1T1Q1S1 mit Q1[DN] in das Schrägbild zu a) ein. Berechnen Sie sodann das Volumen der Pyramide R1T1Q1S1.

(Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)

d) In der Pyramide BCP2S2 hat der Winkel MP2S2 das Maß = 55°. Berechnen Sie den zugehörigen Wert für x. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)

e) Zeigen Sie rechnerisch, dass für das Volumen V(x) der Pyramiden BCPnSn in Abhängigkeit von x gilt: .

Unter den Pyramiden BCPnSn hat die Pyramide BCP0S0 das größtmögliche Volumen. Berechnen Sie den zugehörigen Wert für x.

 
     
 
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Aufgabe 2: (Abschlussprüfung 2000 Aufgabengruppe B)

Das Rechteck ABCD mit = 10 cm und = 8 cm ist die Grundfläche der Pyramide ABCDS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Mittelpunkt E der Strecke [AD] und es gilt = 8 cm. Der Punkt F halbiert die Strecke [BC]

a) Zeichnen Sie ein Schrägbild der Pyramide ABCDS, wobei [EF] auf der Schrägbildachse liegen soll.

Für die Zeichnung: q = 0,5 ; = 45°

Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels SFE und die Länge der Strecke [FS] jeweils auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

[Teilergebnis:= 38,66°]

b) Der Punkt P liegt auf [EF] mit = 4 cm. Für die Punkte Mn auf [FS] gilt = x cm mit x < 12.81.

Die Punkte Mn sind die Mittelpunkte von Strecken [QnRn] mit Qn auf [CS], Rn auf [BS] und [QnRn] || [BC].

Die Punkte P, Qn und Rn sind die Eckpunkte von Dreiecken PQnRn. Zeichnen Sie das Dreieck PQ1R1 für x = 9 in das Schrägbild zu a) ein.

Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt des Dreiecks PQ1R1. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)

c) Für das Dreieck PQ2R2 gilt . Berechnen Sie den zugehörigen Wert für x auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

d) Im Dreieck PQ3R3 hat die Höhe den kleinstmöglichen Wert. Berechnen Sie auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

Ermitteln Sie sodann das Intervall für die Höhen der Dreiecke PQnRn

(Intervallgrenzen auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet).

 
     
 
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Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 21:14 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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