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Geometrie mit Spaß lernen
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Raumgeometrie 5
Oberfläche und Volumen des Zylinders
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Hallo du! Uns fehlen noch ein paar Körper und zwar der Zylinder, der Kegel und natürlich die Kugel. Hier geht es um den Zylinder. Alles was dazu zu sagen ist findest du unten im Arbeitsblatt. Den rechten oberen Eckpunkt des Rechtecks unten kannst du mit der Maus ziehen. Tue es!
Wenn du unten auf 1, 2, 3, usw. klickst, blendest du im rechten Rand Aufgaben ein. |
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| Nr.1 |
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Wenn du bei einer Konservendose den Boden und den Deckel heraus schneidest, erhältst du eine Röhre. Wenn du diese Röhre mit einer Blechschere entlang einer Seitenlinie aufschneidest, erhältst du ein Rechteck aus Blech.
Die eine Seite des Rechtecks ist der Kreisumfang und die andere Seite ist die Höhe der Konservendose.
Verstehst du jetzt die Mantelformel?
Wenn du als Grundfläche für ein Prisma ein regelmäßiges 32-Eck nimmst, sieht das Prisma einem Zylinder schon sehr ähnlich. Steigere in Gedanken die Eckenzahl des Prismas auf 1024, dann auf 8192. Du kannst das Prisma nicht mehr von einem Zylinder unterscheiden. Und in Gedanken kannst du ja dieses Spielchen noch ein wenig weiter treiben.
Was will ich sagen?
Für das Volumen des Zylinders gilt wie beim Prisma:
V = AG * h |
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weiter d)
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| Nr.5 |
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Aufgabe 1:
d) h = 12,4 cm;
O = 149,965 cm²
[r, M, V]
Lösung einblenden hier... |
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Du siehst du musst hier eine quadratische Gleichung lösen. Du findest die Lösung in Einblendung
Fortsetzung einblenden hier... |
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| Nr.4 |
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Aufgabe 1:
c) r = 12 cm;
V = 1094,4
[h, M, O]
Lösung einblenden hier... |
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| Nr.3 |
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Aufgabe 1:
b) d = 4,3 cm;
M = 9,89cm²
[h, O, V]
Lösung einblenden hier... |
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| Nr.2 |
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Aufgabe 1:
Berechne die in eckigen Klammern angegebenen Größen eines Zylinders. Runde sinnvoll.
a) r = 5,6 cm; h = 8,2 cm
[M, O, V]
Lösung einblenden hier... |
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Aufgabe 2:
Berechne mithilfe der nebenstehenden Tabelle die Masse und den Inhalt der Oberfläche der dargestellten Körper (Angaben in mm). |
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| Material |
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Gold |
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Kupfer |
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Eisen |
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Glas |
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| Dichte g/cm³ |
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19,3 |
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8,9 |
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7,8 |
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2,4 |
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Klicke unten a, b, c usw. um die Lösung einzublenden.
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a)
Um die Masse eines dieser Körpers zu berechnen, brauchst du das Volumen in cm³. Der Goldkörper wird von zwei Zylindern gebildet.
Die Oberfläche des Goldkörpers setzt sich aus zwei Mantelflächen, zwei Kreisflächen und einem Kreisring zusammen.
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c)
Der Eisenkörper besteht aus einem Zylinder, der eine quaderförmige Bohrung besitzt. Du musst demnach vom Zylindervolumen das Quadervolumen subtrahieren.
Die Oberfläche besteht aus der Oberfläche eines Zylinders und der Oberfläche eines Prismenmantels. Siehst du es?
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b)
Der Kupferkörper ist ein Zylinder in dem sich eine zylindrische Bohrung befindet. Du musst also zwei Zylindervolumen subtrahieren.
Die Oberfläche setzt sich aus zwei Mantelflächen und zwei Kreisringen zusammen.
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d)
Der Glaskörper besteht aus einem Zylinder und einem Dreikantprisma. Die Grundfläche des Prismas ist ein gleichseitiges Dreieck. Die Flächenformel für das gleichseitige Dreieck findest du in deiner Formelsammlung.
Wenn du genau nachdenkst, besteht die Oberfläche aus einer Zylinderoberfläche und einem Prismenmantel.
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Aufgabe 3:
In einem Kreiszylinder wird der Radius r um x cm verlängert und gleichzeitig die Höhe h um x cm verkürzt.
Es gilt: r = 5 cm; h = 10 cm
a) Stelle das Volumen in Abhängigkeit von x dar.
b) Tabellarisiere V(x) im Intervall x  [0; 10] mit  und zeichne den Graphen.
c) Für welche Belegung von x erhält man eine maximale Mantelfläche?
d) Überprüfe, ob für die maximale Mantelfläche auch das Volumen maximal wird.
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| Nr. 1 |
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a)
Da hier keine Lösung angeben ist, kannst du den Term so belassen wie er ist. Wenn du ihn ausmultiplizierst, wirst du sehen, dass du auf einen Term 3. Grades kommst. Rechnerisch kannst du bei Termen 3. Grades (d.h. es gibt ein x³) keinen Extremwert bestimmen. Doch du kannst Extremwerte ja auch graphisch bestimmen, entweder auf Papier oder mit deinem Casio-GTR.
b)
Um eine Wertetabelle zu erstellen, ist der Term oben ideal einfach. Du gehst im Hauptmenü auf TABLE und gibst den obigen Term ein.
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| Nr. 3 |
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weiter b)
Du kannst dir den Extremwert von einer Funktion 3. Grades (mit x³) auch im Graphmenü anzeigen lassen. Du gibst den Funktionsterm im GRAPH-Menü ein, d.h. er ist eigentlich jetzt schon drin. Er wird vom TABLE-Menü übernommen. Mit F6 lässt du den Graphen zeichnen. Du wirst ihn nicht wiedererkennen. Das liegt daran, dass dein Koordinatensystem nicht richtig eingestellt ist. Das kannst du im V-Window ändern. Wähle dort das Standard-Menü STD und ändere die Einstellungen gemäß den Einstellung im TABLE-Menü. Aber eigentlich ist es nicht notwendig.
Mit F5 wählst du G-Solv und dort mit F2 MAX. Dann sollte dein Display folgendes Bild zeigen.
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| Nr. 2 |
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weiter b)
Jetzt musst du noch den Tabellenbereich einstellen. Das machst du im Untermenü RANG (range = Bereich) deines Casio-GTR.
Mit Exe kehrst du zurück und mit F6 lässt du dir die Wertetabelle anzeigen.
Die vollständige Wertetabelle siehst du unten im Hauptteil unter dem Arbeitsblatt zusammen mit dem Graphen.
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| Nr. 4 |
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c)
d)
Der Vergleich zeigt: Nein!
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| Du kannst den grünen Punkt mit der Maus ziehen. |
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x |
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y |
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0 |
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785.4 |
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1 |
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1017.8 |
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2 |
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1231.5 |
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3 |
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1407.4 |
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4 |
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1526.8 |
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5 |
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1570.7 |
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6 |
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1520.5 |
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7 |
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1357.1 |
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8 |
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1061.8 |
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9 |
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615.8 |
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10 |
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0 |
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Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 15 September, 2009 21:14
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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