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Geometrie mit Spaß lernen

 
 
 

Raumgeometrie 7
Volumen und Oberfläche der Kugel

 
     
 

Geben wir uns ganz zum Schluss die Kugel. Servus du! Auch die Kugel ist ein Rotationskörper. Wenn du einen Kreis um einen seiner Durchmesser rotieren lässt, entsteht eine Kugel. Wenn du unten im Arbeitsblatt den roten Punkt mit der Maus ziehst, kannst du dir diesen Sachverhalt veranschaulichen.

 
     
 
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Aufgabe 1:

Auf die Entdeckung des Verhältnisses der Volumina von Zylinder und Kugel war Archimedes (287 - 212. v. Chr.) besonders stolz. Ein griechischer Geschichtsschreiber berichtet, dass Archimedes sich zur Dekoration seines Grabmals eine Kugel und einen Zylinder gewünscht habe.

Berechne das Verhältnis der Volumina von Zylinder und Kugel.

 
Archimedes
(287 - 212. v. Chr.)
 
 

Aufgabe 2:

Berechne den prozentualen Anteil des Volumens der Kugeln am Volumen des Würfels mit der Kantenlänge a.

 
     
 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Aufgabe 3: (Abschlussprüfung 2005 Mathematik II Aufgabe A3)

Gegeben ist das gleichschenklige Dreieck ABC mit der Basislänge = 3 cm und dem Winkel ACB mit dem Maß 40°.

a) Zeichnen Sie das Dreieck ABC und seinen Inkreis mit dem Mittelpunkt M im Maßstab 3 : 1.

b) Der Punkt D ist der Mittelpunkt der Basis [AB]. Berechnen Sie auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet die Höhe [DC], die Länge der Seite [AC] und den Inkreisradius ri.

[Ergebnisse: = 4,12 cm; = 4,39 cm; ri = 1,05 cm]

c) Das gleichschenklige Dreieck ABC ist der Axialschnitt eines Kegels, der die Grundform einer neuen Pralinensorte beschreibt. Im Inneren der Praline befindet sich eine Knusperkugel. Im Axialschnitt fällt der Mittelpunkt der Knusperkugel mit dem Inkreismittelpunkt M des Dreiecks ABC zusammen.

Der Radius rK der Knusperkugel ist um 1,5 mm kleiner als der Inkreisradius ri.

Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Volumens der Knusperkugel am Gesamtvolumen der Praline. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)

d) Die Punkte P[AC] und Q[BC] sind jeweils 1,5 cm von der Pralinenspitze C entfernt.

Ergänzen Sie die Zeichnung in a) durch das Dreieck PQC und berechnen Sie die Länge der Strecke [PQ] auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

[Teilergebnis: = 1,03 cm]

e) Der obere Teil der Praline mit dem Axialschnitt PQC soll mit einer kreissektorförmigen Goldfolie vollständig bedeckt werden. Berechnen Sie das Mindestmaß des Mittelpunktswinkels dieses Kreissektors auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

 

 
 
f) Zum Einwickeln des oberen Teils der Praline aus e) wird aus einem rechteckigen Folienstück mit einer Breite von 1,5 cm ein Kreissektor herausgeschnitten (siehe Skizze). Aus praktischen Gründen wird dafür ein Mittelpunktswinkel mit dem Maß =135° gewählt.  
 
 

Zeichnen Sie den Kreissektor und das zugehörige rechteckige Folienstück im Maßstab 3 : 1.

Berechnen Sie sodann die Länge dieses Folienstücks auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
 
     
 
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© 2002 Wolfgang Appell

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