Raumgeometrie 8 - Abschlussprüfungsaufgaben zur Raumgeometrie

Raumgeometrie 8
Abschlussprüfungsaufgaben zur Raumgeometrie

Es ist März und du befindest dich im Endanflug auf die Abschlussprüfung. Wie geht es dir? Ich grüße dich! Was liegt näher, als dir noch ein Abschlussprüfungsaufgaben zur Raumgeometrie aus den letzten Jahren zu stellen. Mit "letzten Jahren" meine ich die Jahre 2000 bis 2005. Die vollständigen Abschlussprüfungen aus den Jahren 2006 und 2007 werde ich dir als Extra-Übungseinheit ins Netz stellen.

Aufgabe 1: (Abschlussprüfung 2005 Aufgabe B3)

Das gleichschenklige Dreieck ABC mit der Basis [BC] ist die Grundfläche des geraden Prismas ABCDEF mit der Höhe 10 cm. M ist der Mittelpunkt von [BC] und N der Mittelpunkt von [EF].

Es gilt: = 9 cm; = 10 cm und

a) Zeichnen Sie ein Schrägbild des Prismas ABCDEF, wobei [AM] auf der Schrägbildachse liegen soll.

Für die Zeichnung gilt: [2 P]

b) Berechnen Sie das Maß des Winkels MAN und die Länge der Strecke [AN] auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

[Teilergebnis: = 48,01°] [2 P]

c) Punkte P_n [CF], Q_n[BE] und S_n [AN] sind zusammen mit den Punkten B und C Eckpunkte von Pyramiden BCP_nQ_nS_n mit den Spitzen S_n.

Es gilt: d(S_n; AM) = (0 < x < 10; x )

Zeichnen Sie die Pyramide BCP₁Q₁S₁ für x = 3 in das Schrägbild zu a) ein und berechnen Sie sodann die Längen der Strecken [AS₁] und [MS₁]. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)

[Teilergebnis: = 4,04 cm] [4 P]

d) Zeigen Sie rechnerisch, dass für das Volumen V der Pyramiden BCP_nQ_nS_n in Abhängigkeit von x gilt: [4 P]

e) Das Volumen der Pyramide BCP₂Q₂S₂ ist um 75% kleiner als das Volumen des Prismas ABCDEF. Berechnen Sie den zugehörigen Wert für x auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet. [4 P]

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Nr. 1

siehe Arbeitsblatt [2 P]

[1 P]

kannst du entweder mit dem Pythagoras oder mit einer Winkelfunktion berechnen.

[1 P]

Du kannst die Pyramide einblenden. Stelle x = 3 ein. Für das Einzeichnen bekommst du 1 Punkt.

Im Dreieck AHS₁ gilt:

[1 P]

Nr. 3

weiter d)

[1 P]

Für das Volumen der Pyramide gilt:

[1 P]

Zunächst muss du das Volumen des Prismas berechnen.

[1 P]

Die Pyramide ist um 75 % kleiner als das Prisma, d.h. sie hat nur 25 % von 450 cm². Das sind 112,5 cm². [1 P]

Diesen Wert setzt du in das Ergebnis von d) ein.

Nr. 2

weiter c)

Im Dreieck AMS₁ kennst du zwei Seiten und den Zwischenwinkel . Hörst du den Kosinussatz? Er schreit nach dir.

Auf den Ansatz mit dem Kosinussatz gibt es 1 Punkt und auf das Ausrechnen noch 1 Punkt.

Für die Grundfläche der Pyramide gilt:

[1 P]

Die Höhe der Pyramide ist die Strecke [HM]. Es gilt:

Die Dreiecke AHS₁ und AMN sind ähnlich, deshalb gilt:

[1 P]

Nr. 4

weiter e)

oder mit dem Casio-GTR:

EQUA-F2-F1-F1

[2 P]

In der Abschlußprüfung hast du für 3 Aufgaben 150 Minuten Zeit. Du musst zwei große (=volle) Aufgaben und eine kleine (= halbe) Aufgabe lösen. Große Aufgaben liegen im Bereich zwischen 15 und 17 Punkten, so wie hier die Aufgaben. Du darfst für eine solche große Aufgabe etwa 1 Stunde brauchen, nicht mehr, und für die halbe Aufgabe mit etwa 9 bis 10 Punkten 30 Minuten. An diesen Zeitplan solltest du dich halten. Erst wenn du durch die Abschlussprüfung durch bist und noch Zeit hast, kümmere dich um die Aufgaben, die du noch nicht gelöst hast.

Aufgabe 2: (Abschlussprüfung 2004 Aufgabe B3)

Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit der Basis [AB] und der zur Basis gehörenden Höhe [CD]. Der Punkt D legt zusammen mit Punkten E_n[BC], F_n[CD] und G_n[AC] Drachenvierecke DE_nF_nG_n fest, deren Diagonalen [DF_n] und [E_nG_n] sich im Punkt M_n schneiden.

Es gilt: = 10 cm, = 10 cm, = 2 cm und (x) = x cm
mit ; x

a) Zeichnen Sie das Dreieck ABC und das Drachenviereck DE₁F₁G₁ für x = 4 mit der gemeinsamen Symmetrieachse CD. Bestimmen Sie sodann die Länge der Diagonalen [E_nG_n] in Abhängigkeit von x.

[Teilergebnis: (x) = (10 - x) cm] [3 P]

b) Das Dreieck ABC und die Drachenvierecke DE_nF_nG_n rotieren um die gemeinsame Symmetrieachse CD. Dadurch entstehen ein Kegel mit dem Radius [AD] und Doppelkegel mit dem Radius [E_nM_n].

Berechnen Sie für x = 4 den prozentualen Anteil des Volumens des Doppelkegels am Volumen des Kegels. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.) [3 P]

c) Ein zweiter Doppelkegel besitzt den Öffnungswinkel E₂DG₂ mit dem Maß =116°.

Berechnen Sie den zugehörigen Wert von x. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.) [2 P]

d) Bei einem dritten Doppelkegel sind die Mantellinien [DE₃] und [E₃F₃] gleich lang.

Berechnen Sie den Flächeninhalt A_O der Oberfläche dieses Doppelkegels. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.) [4 P]

e) Die Mantellinien [DE_n] und [E_nF_n] schließen Winkel F_nE_nD mit dem Maß ein.

Bestimmen Sie durch Rechnung das Intervall für das Maß

. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.) [4 P]

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Nr. 1

Mit der Maus kannst du den roten Punkt ziehen. Stelle x = 4 ein. Zeichnung [1,5 P]

Immer, wenn du in einem Dreieck eine Parallele zu einer Seite findest, sollte dies für dich ein Signal sein, dass du hier mit einem Spezialwerkzeug weiterkommst. Von diesem Werkzeug gibt zwei Formen, ein älteres Modell, genannt Vierstreckensatz, und ein neues Modell, genannt Ähnlichkeit von Dreiecken.

Welches Werkzeug du von beiden verwendest ist egal.

In ähnlichen Dreiecken stehen sich entsprechende Streckenlängen im gleichen Verhältnis.

Hier ist Dreieck E_nG_nC ähnlich zum Dreieck ABC. Es gilt:

[1,5 P]

Nr. 5

Wenn du M_n mit der Maus ganz nach oben schiebst, erhältst du den größmöglichen Wert für . Wenn du M_n nach unten ziehst, wird der Winkel immer kleiner. Am kleinsten ist er, wenn gilt D = M_n.

Wenn D = M_n, dann gilt im Dreieck M_nE_nF_n:

[1 P]

Für x = 8 musst du mittels zweier Teilwinkel berechnen. Im Dreieck M_nE_nC gilt:

[1 P]

Und im Dreieck DE_nM_n gilt:

[1 P]

Nr. 4

weiter d)

[1 P]

Die Mantellinie berechnest du mit dem Pythagoras.

[1 P]

Bei der Oberfläche handelt es sich um einen doppelten Kegelmantel.

[1 P]

Dein Ergebnis darf ruhig in den
Nachkommastellen gering abweichen. Das liegt daran, wie du gerundet hast. Kein Lehrer wird dir dafür einen halben Punkt abziehen. Das wäre angesichts der knappen Punktzahl völlig unangemessen.