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Geometrie mit Spaß lernen

 
 
 

Raumgeometrie 8
Abschlussprüfungsaufgaben zur Raumgeometrie

 
     
 

Es ist März und du befindest dich im Endanflug auf die Abschlussprüfung. Wie geht es dir? Ich grüße dich! Was liegt näher, als dir noch ein Abschlussprüfungsaufgaben zur Raumgeometrie aus den letzten Jahren zu stellen. Mit "letzten Jahren" meine ich die Jahre 2000 bis 2005. Die vollständigen Abschlussprüfungen aus den Jahren 2006 und 2007 werde ich dir als Extra-Übungseinheit ins Netz stellen.

Aufgabe 1: (Abschlussprüfung 2005 Aufgabe B3)

Das gleichschenklige Dreieck ABC mit der Basis [BC] ist die Grundfläche des geraden Prismas ABCDEF mit der Höhe 10 cm. M ist der Mittelpunkt von [BC] und N der Mittelpunkt von [EF].

Es gilt: = 9 cm; = 10 cm und

a) Zeichnen Sie ein Schrägbild des Prismas ABCDEF, wobei [AM] auf der Schrägbildachse liegen soll.

Für die Zeichnung gilt: [2 P]

b) Berechnen Sie das Maß des Winkels MAN und die Länge der Strecke [AN] auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

[Teilergebnis: = 48,01°] [2 P]

c) Punkte Pn [CF], Qn[BE] und Sn [AN] sind zusammen mit den Punkten B und C Eckpunkte von Pyramiden BCPnQnSn mit den Spitzen Sn.

Es gilt: d(Sn; AM) = (0 < x < 10; x )

Zeichnen Sie die Pyramide BCP1Q1S1 für x = 3 in das Schrägbild zu a) ein und berechnen Sie sodann die Längen der Strecken [AS1] und [MS1]. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)

[Teilergebnis: = 4,04 cm] [4 P]

d) Zeigen Sie rechnerisch, dass für das Volumen V der Pyramiden BCPnQnSn in Abhängigkeit von x gilt: [4 P]

e) Das Volumen der Pyramide BCP2Q2S2 ist um 75% kleiner als das Volumen des Prismas ABCDEF. Berechnen Sie den zugehörigen Wert für x auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet. [4 P]

 
     
 
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  In der Abschlußprüfung hast du für 3 Aufgaben 150 Minuten Zeit. Du musst zwei große (=volle) Aufgaben und eine kleine (= halbe) Aufgabe lösen. Große Aufgaben liegen im Bereich zwischen 15 und 17 Punkten, so wie hier die Aufgaben. Du darfst für eine solche große Aufgabe etwa 1 Stunde brauchen, nicht mehr, und für die halbe Aufgabe mit etwa 9 bis 10 Punkten 30 Minuten. An diesen Zeitplan solltest du dich halten. Erst wenn du durch die Abschlussprüfung durch bist und noch Zeit hast, kümmere dich um die Aufgaben, die du noch nicht gelöst hast.  
     
 

Aufgabe 2: (Abschlussprüfung 2004 Aufgabe B3)

Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit der Basis [AB] und der zur Basis gehörenden Höhe [CD]. Der Punkt D legt zusammen mit Punkten En [BC], Fn[CD] und Gn[AC] Drachenvierecke DEnFnGn fest, deren Diagonalen [DFn] und [EnGn] sich im Punkt Mn schneiden.

Es gilt: = 10 cm, = 10 cm, = 2 cm und (x) = x cm
mit ; x

a) Zeichnen Sie das Dreieck ABC und das Drachenviereck DE1F1G1 für x = 4 mit der gemeinsamen Symmetrieachse CD. Bestimmen Sie sodann die Länge der Diagonalen [EnGn] in Abhängigkeit von x.

[Teilergebnis: (x) = (10 - x) cm] [3 P]

b) Das Dreieck ABC und die Drachenvierecke DEnFnGn rotieren um die gemeinsame Symmetrieachse CD. Dadurch entstehen ein Kegel mit dem Radius [AD] und Doppelkegel mit dem Radius [EnMn].

Berechnen Sie für x = 4 den prozentualen Anteil des Volumens des Doppelkegels am Volumen des Kegels. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.) [3 P]

c) Ein zweiter Doppelkegel besitzt den Öffnungswinkel E2DG2 mit dem Maß =116°.

Berechnen Sie den zugehörigen Wert von x. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.) [2 P]

d) Bei einem dritten Doppelkegel sind die Mantellinien [DE3] und [E3F3] gleich lang.

Berechnen Sie den Flächeninhalt AO der Oberfläche dieses Doppelkegels. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.) [4 P]

e) Die Mantellinien [DEn] und [EnFn] schließen Winkel FnEnD mit dem Maß ein.

Bestimmen Sie durch Rechnung das Intervall für das Maß . (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.) [4 P]
 
     
 
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© 2002 Wolfgang Appell

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