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Geometrie mit Spaß lernen
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Trigonometrie 15
Polarkoordinaten I
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Eiskalt werde ich dir jetzt die Polarkoordinaten servieren. Grüß Gott erst einmal. Ich freue mich, dass du wieder da bist. Spaß beiseite. Die Polarkoordinaten haben natürlich nichts mit dem Nord- oder Südpol zu tun.
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Der Pol für die Polarkoordinaten ist der Ursprung. Wenn du die Lage eines Punktes im Koordinatensystem beschreiben willst, hast du dies bisher mit der Angabe seiner x- und y-Koordinate, seiner kartesischen Koordinaten, gemacht. Doch es geht auch anders. Weißt du wer es anders macht? Alle diejenigen, die mit Radarbildschirmen arbeiten. Links z.B. siehst du eine Sturmfront in einem Wetterradar, und rechts siehst du das Bild auf dem Bildschirm eines Fluglotsen. An diesen Bildern müsstest du eigentlich auch erkennen wie sie es machen. |
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Du bestimmst einmal die Länge der Strecke vom Ursprung bis zu einem Punkt P, also die Länge des Ortsvektors  . Dies ist die erste Polarkoordinate. Man bezeichnet sie auch als Radialkoordinate. Deswegen verwendet man für sie die kleinen Buchstaben "r". Die zweite Polarkoordinate ist der Winkel  zwischen der positiven x-Achse und dem Ortvektor  . Wie du die kartesischen Koordinaten, also die (x/y)-Koordinaten, in Polarkoordinaten umrechnest, und umgekehrt, habe ich dir unten im Arbeitsblatt dargestellt. Mit der Maus kannst du den Punkt P im Koordinatensystem bewegen. Um die Umrechnungen anzuzeigen, muss ein Schalter immer auf "Aus" stehen! |
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Aufgabe 1
Rechne die Koordinaten jeweils um.
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a) A(4/3)
Lösung hier klicken... |
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b) B(4/120°)
Lösung hier klicken... |
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c) C(2,5/315°)
Lösung hier klicken... |
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d) D(2,8/-4,2)
Lösung hier klicken... |
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e) E(3.2/95°)
Lösung hier klicken... |
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Aufgabe 2
Gegeben sind die Punkte P(5/126,87°) und Q( /71,565°)
a) Zeichne die Gerade g=PQ.
b) Berechne die Gleichung von PQ.
c) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks OPQ.
Klicke unten auf 1, 2 usw. Damit blendest du am Rand meine Lösungen ein. |
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| Nr. 1 |
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a)
Du kannst dir links im Arbeitsblatt die Entstehung der Zeichnung anschauen, wenn du doppelt auf Abspielen klickst. Damit es mit GeoGebra so ausschaut als hätte man es auf Papier gemacht, brauche ich ein paar Schritte mehr als du. Sie sind aber unsichtbar.
b)
Der einfachste Weg um die Geradengleichung zu bestimmen, besteht darin, dass du die Koordinaten umrechnest.
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| Nr. 4 |
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weiter c)
A = 0,5 mal Seite mal Seite mal dem Sinus des Zwischenwinkels.
Du kennst die Längen  und  . Für den Zwischenwinkel  gilt:
Lösung mit Determinantenformel:
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| Nr. 3 |
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weiter b)
c)
Für die Berechnung einer Dreiecksfläche hast du 3 Formeln zur Verfügung, neben der Standardformel, die Determinantenformel und die Sinusformel. Die Standardformel nützt dir hier nichts. Die anderen beiden kannst du verwenden. Welche ziehst du vor? Welches ist die elegantere Methode?
Ich führe dir beide Methoden vor. Entscheide selber!
Lösung mit Sinusformel:
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| Nr. 2 |
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weiter b)
Berechnung des Steigungsvektors:
Berechnung der Steigung:
Zur Berechnung des y-Achsenabschnitts setzt du einen Punkt, entweder P oder Q, in folgende Gleichung ein:
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Aufgabe 3
Die Gerade g verläuft durch den Punkt P(5/143,13°) und schließt mit der Richtung der positiven x-Achse einen Winkel mit dem Maß 16,70° ein.
a) Zeichne die Gerade g.
b) Zeige durch Rechnung, dass die Gerade g folgende Gleichung besitzt:
y = 0,3x + 4,2
Lösung einblenden hier... |
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| Nr. 1 |
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a)
Du kannst dir links im Arbeitsblatt die Entstehung der Zeichnung anschauen, wenn du doppelt auf Abspielen klickst. Damit es mit GeoGebra so ausschaut als hätte man es auf Papier gemacht, brauche ich ein paar Schritte mehr als du. Sie sind aber unsichtbar.
b)
P eingesetzt in y = 0.3x+t
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Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 15 September, 2009 21:15
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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