|
Geometrie mit Spaß lernen
|
| |
|
|
| |
Trigonometrie 16
Polarkoordinaten II
|
|
| |
|
|
| |
Ich grüße dich. Wir sind mit den Übungsaufgaben zum Thema Polarkoordinaten noch längst nicht am Ende. Auf "Los!" geht's los. Los!
Aufgabe 1
Gegeben ist das Dreieck ABC. Es gilt: A(4/-2), B( / 45°), C(5/120°)
a) Zeichne das Dreieck ABC.
b) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC .
c) Berechne die Polarkoordinaten des Punktes A.
Klicke unten auf 1oder 2 um meine Lösungen einzublenden. |
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| Nr.1 |
| |
a)
Klicke doppelt auf "Abspielen" und schaue dir die Konstruktion an.
b)
Das Dreieck ABC wird von den Vektoren  und  aufgespannt.
|
| |
|
| Nr.2 |
| |
weiter b)
c)
|
|
|
|
|
| |
|
|
| |
Aufgabe 2
Das Dreieck ABC ist festgelegt durch A(0/0), B(2/yB), C( /156°),  = 82°.
a) Zeichne das Dreieck ABC.
b) Zeige durch Rechnung, Dass die Gerade BC folgende Gleichung besitzt:
y = 1,6x + 4,2
c) = Berechne die Polarkoordinaten des Punktes B.
Klicke unten auf 1 oder 2 um meine Lösungen einzublenden. |
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| Nr. 1 |
| |
a)
Wenn du links doppelt auf "Abspielen klickst, kannst du dir die Konstruktion in ihrer Entstehung anschauen.
b)
Den Steigungswinkel  der Geraden BC berechnest du aus den Winkeln und  mittels Betrachtung von Winkeln an Parallelen (Z-Winkel und Stufenwinkel). Wenn du nicht selbst drauf kommst, blende dir die Lösungsidee ein.
 = 180° - 156° = 24°
= 82° - 24° = 58°
m = tan58° = 1,6
Berechnung der kartesischen Koordinaten von C:
Jetzt setzt du den Punkt C in die Gleichung
y = 1,6x + t ein.
|
| |
|
| Nr. 1 |
| |
weiter b)
Je nachdem wie du rundest, kann dein y-Achsenabschnitt auch etwas abweichen.
c)
|
| |
|
|
|
|
| |
Aufgabe 3
Die DreieckeOAnBn sind gegeben durch die Punkte An(4/4cos ) und
Bn(5/180°-).
Es gilt: O(0/0); 
a) Berechne die kartesischen Koordinaten der Punkte A1 und B1 bzw. A2 und B2 für =30° und =90°.
b) Begründe:Die Seitenlängen  betragen stets 5 LE.
c) Zwei Dreiecke der Schar sind gleichschenklig mit der Basis [A3B3] bzw. [A4B4]. Berechne die zugehörigen Winkelmaße  und  .
d)Zeige, dass sich der Flächeninhalt der Dreiecke OAnBn wie folgt in Abhängigkeit von darstellen lässt: 
e) Bestimme den Extremwert des Flächeninhalts.
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| Nr. 1 |
| |
a)
Dies ist eine Abhängigkeitsaufgabe. Eine Schar von Dreiecken hängt von der Variablen ab. Du kannst links den Winkel verändern indem du den roten Punkt mit der Maus ziehst. Ach ja, die Variable hat natürlich nichts mit dem Winkel der Schardreiecke zu tun.
Spiele ein wenig mit dem Arbeitsblatt und schaue dir die Dreiecke an, die entstehen, dann bekommst du eine Vorstellung davon wie die Punkte A und B von abhängen.
Die Punkte A und B sind in Abhängigkeit von gegeben. Bei A sind es aber kartesische Koordinaten und bei B sind es Polarkoordinaten.
|
|
| Nr. 5 |
| |
weiter d)
Du hast jetzt zwar einen
Term, der den Flächeninhalt
in Abhängigkeit darstellt,
doch er schaut noch nicht so
aus, wie er in der
Aufgabenstellung gefordert
ist.
Du musst den Kosinus noch
in einen Sinus umwandeln.
Hier hilft dir die
Quadratbeziehung zwischen
Sinus und Kosinus.
Eingesetzt in
e)
Der obige Term ist ein
quadratischer Term, d.h. er
hat einen Extremwert.
Setze x für sin und du
siehst es ganz deutlich.
T(x)=-10x²+10x+10
|
|
| Nr. 4 |
| |
weiter d)
Damit gilt für unsere beiden Gleichungen:
Du hast doch hoffentlich inzwischen nicht vergessen, wie man eine Determinante auflöst. Oderrr?
|
|
| Nr. 3 |
| |
weiter c)
Beachte die Definitionsmenge für !
d)
B in kartesischen Koordinaten:
Hier hilft dir nur deine Formelsammlung weiter. Oder kennst du noch die Supplementbeziehungen bei Sinus und Kosinus?
Es gilt:
und
|
|
| Nr. 2 |
| |
b)
Es gilt: 
c)
Es muss gelten  , d.h. aber, wenn du A in Polarkoordinaten angibst, muss r hier ebenfalls gleich 5 sein.
Achtung! A Dännschen blies!
Das Quadrieren einer Gleichung ist keine Äquivalenzumformung! Du musst hinterher deine Lösungen überprüfen, ob sie wirklich Lösungen sind.
|
|
| Nr. 6 |
| |
weiter e)
T(x)=-10x²+10x+10
An dem Minuszeichen vor dem quadratischen Glied erkennst du, dass du ein Maximum bestimmen sollst. Hierzu hast du 3 Möglichkeiten:
- quadratische Ergänzung
- Scheitelbestimmung
- graphischer Taschenrechner
Lösung durch quadratische Ergänzung:
-10x²+10x+10 =
-10[x²-x] +10 =
-10[x²-x+0,5²-0,5²] + 10 =
-10[(x-0,5)²-0,25] + 10 =
-10(x-0,5)² + 2,5 + 10 =
-10(x-0,5)² + 12,5
Tmax = 12,5 für x = 0,5
Überprüfe deine Lösung mit dem Arbeitsblatt.
|
|
|
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
|
|
Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 15 September, 2009 21:15
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
|
|
|
|
