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Geometrie mit Spaß lernen
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Trigonometrie 18
Trigonometrische Funktionen und das Bogenmaß
(Fortführung und Erweiterung von Trigonometrie 10)
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Grüß Gott! Heute geht es noch einmal um die trigonometrischen Funktionen. Wir haben dieses Thema ja schon einmal in Trigonometrie 10 behandelt. Du solltest dir diese Seite vielleicht noch einmal anschauen, zumindestens das dynamische Arbeitsblatt. Wir wollen dieses Thema jetzt ein wenig vertiefen. Dazu ist es notwendig, dass ich dir zunächst noch einmal ausführlich erkläre was das Bogenmaß ist.
Am Einheitskreis nennt man die Maßzahl x der Bogenlänge b = x cm Bogenmaß zum Mittelpunktswinkel  .
Schau dir das mal unten im Arbeitsblatt an. Du kannst den roten Punkt auf dem Einheitskreis mit der Maus bewegen und so den Winkel verändern. |
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Besondere Werte |
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Gradmaß |
Bogenmaß |
0° |
0 |
30° |
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45° |
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60° |
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90° |
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120° |
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135° |
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150° |
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180° |
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270° |
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360° |
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Aufgabe 1
Berechne das Winkelmaß zum Bogenmaß für  .
Wenn du auf die Aufgabe klickst, blendest du die Lösung ein. |
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a)  |
| = 45° |
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b) x = 1,5 |
| = 85,94° |
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c)  |
| = 108° |
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d) x = 0,8 |
| = 45,84° |
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e)  |
| = 90° |
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f) x = 2,45 |
| = 140,37° |
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g)  |
| = 135° |
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h) x = 1,78 |
| = 101,99° |
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i)  |
| = 225° |
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k)  |
| = 120° |
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Aufgabe 2 |
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Ein Pendel, dessen halbe Schwingungsdauer (die Zeit für eine Bewegung von A nach B) eine Sekunde beträgt, heißt Sekundenpendel. Seine Pendellänge beträgt fast genau 1 m.
Der Weg, den der Pendelkörper von der Nulllage N bis zum Punkt A oder B zurücklegt, heißt Amplitude (größter Ausschlag) der Schwingung.
a) Berechne die Amplitude, wenn gilt:  = 15°
b) Berechne für eine Amplitude von 20 cm.
Zur Lösung hier klicken... |
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a) 
Die Amplitude ist nun gleich der halben Bogenlänge, hier also 13,1 cm.
b)  |
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Wenden wir uns nun den trigonometrischen Funktionen zu, wie du sie in Trigonometrie 10 kennengelernt hast. Der Unterschied zu dort liegt jetzt nur im Definitionsbereich. Dort habe ich dir die trigonometrischen Funktionen im Intervall [0°; 360°] gezeigt, wobei ich auf der x-Achse den Winkel im Bogenmaß abgetragen habe. Genauso mache ich es jetzt auch, aber es gilt:  =
Schiebe bitte unten das Arbeitsblatt nach links indem du es mit der Maus am roten Balken packst. Der rechte Rand muss frei liegen, damit du dort meine Plaudereien einblenden kannst. Klicke dazu auf 1, 2 und 3 usw. |
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| Nr. 1 |
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Das dynamische Arbeitsblatt soll dir helfen die trigonometrischen Funktionen besser zu verstehen. Was kannst du mit dem Arbeitsblatt alles anfangen?
Links oben siehst du jeweils einen Schalter (Schieberegler) für sin, cos und tan. Damit blendest du die trigonometrischen Funktionen ein. Das funktioniert aber nur, wenn ein Schalter auf Ein steht und die anderen beiden auf Aus. Du kannst dir die Funktionen also nur einzeln betrachten.
Den dunkelvioletten Punkt auf der x-Achse kannst du mit der Maus ziehen. Damit wählst du ein bestimmtes x aus. Der Funktionswert dazu wird oben angezeigt.
Dann gibt es noch den Schieberegler z. Mit ihm wählst du aus, ob du von deinem x aus um eine, zwei usw. Perioden nach rechts oder links gehst. Auch hier wird der zugehörige Funktionswert oben angezeigt.
Spiele ein wenig mit dem Arbeitsblatt indem du verschiedene x und verschiedene z wählst. Beobachte genau!
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| Nr. 3 |
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Die Kosinusfunktion ist eine periodische Funktion mit der Periode 2 .
Weißt du was das bedeutet? Ebenso wie die Sinusfunktion wiederholt sich die Kosinusfunktion alle 360°.
Für =  und z  gilt:
Der Graph der Kosinusfunktion ist symmetrisch zur y-Achse.
Für x gilt:
cos(-x) = cos x
Beobachte links die Funktionswerte von -x, wenn du ein x ausgewählt hast. So wird dir die Formel oben begreifbar.
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| Nr. 2 |
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Die Sinusfunktion ist eine periodische Funktion mit der Periode 2.
Weißt du was das bedeutet? Die Sinusfunktion wiederholt sich alle 360°. Wenn du also einen 360° breiten Streifen der Sinusfunktion auswählst, so sind die Funktionswerte links und rechts vom Streifen gleich. Du kannst natürlich auch mehrere solche Streifen nebeneinander setzen. Das kannst du links mit der Auswahl von z machen.
Für = und z gilt:
Der Graph der Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Für x gilt:
sin(-x) = - sin x
Beobachte links die Funktionswerte von -x, wenn du ein x ausgewählt hast. So wird dir die Formel oben begreifbar. |
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| Nr. 4 |
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Die Tangensfunktion ist eine periodische Funktion mit der Periode .
Weißt du was das bedeutet? Die Tangensfunktion wiederholt sich alle 180°
Für = \ 
und z gilt:
Der Graph der Tangensfunktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung
Für x gilt:
tan(-x) = - tan x
Beobachte links die Funktionswerte von -x, wenn du ein x ausgewählt hast. So wird dir die Formel oben begreifbar.
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Zum Abschluss möchte ich dir noch zeigen, dass du so eine periodische Funktion genau so behandeln kannst, wie z.B. eine quadratische Funktion. Du erinnerst dich, was wir mit Parabeln alles angestellt haben? Wir haben sie parallel verschoben, und wir haben gestreckt bzw. gestaucht. All dieses kannst du mit den periodischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens in gleicher Art und Weise machen. Ich zeige es dir anhand der Sinusfunktion.
Schiebe bitte unten das Arbeitsblatt nach links indem du es mit der Maus am roten Balken packst. Der rechte Rand muss frei liegen, damit du dort meine Plaudereien einblenden kannst. Klicke dazu auf 1, 2 und 3 usw. |
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| Nr. 1 |
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Betrachen wir einmal die quadratische Funktion
y= (x - 4)² + 2
Wie schaut der Graph aus?
Es handelt sich um eine nach oben geöffnete Normalparabel, die mit dem Vektor  verschoben wurde.
Wie schaut es nun aus, wenn du die Funktion y = sin (x) mit dem gleichen Vektor verschiebst?
Wir wenden das Parameterverfahren an um die Gleichung des verschobenen Graphen zu finden.
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| Nr. 4 |
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Mit dem Faktor b beinflusst du die Länge einer Periode, d.h. du presst den Graphen der Sinusfunktion zusammen oder du dehnst ihn.
Wenn du Wechselspannung mit Hilfe eines Oszillokops darstellst, erhältst du auch eine Sinuskurve.
Oszillokop (Messinstrument)
Hier kannst die Spannungsänderungen der Wechselspannung pro Sekunde ablesen. Dieses Maß nennt man die Frequenz der Wechselspannung und gemessen wird sie in Hertz. Wechselspannung im Stromnetz hat 50 Hertz.
Was bedeuten 50 Hertz mathematisch?
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| Nr. 3 |
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Die Schalter c und stehen also auf Null und jetzt spielst du mit dem Schalter a. Was verändert sich und was verändert sich nicht?
Der Schwingungsausschlag der Sinuskurve ändert sich. Diesen Schwingungsausschlag bezeichnet man hier ebenfalls als Amplitude. Bei der Funktion y = sin(x) beträgt die Amplitude 1. Stellst du den Schieberegler a auf 2,
y = 2sin(x), beträgt die Amplitude 2 usw. Wählst du für a einen negativen Wert z.B. -2, y = -2sin(x) beträgt die Amplitude ebenfalls 2. Der Graph von y = -2sin(x) ist das Spiegelbild von y = 2sin(x), wobei die x-Achse die Spiegelachse ist.
Was ändert sich durch a nicht?
Die Periode der Funktion ändert sich nicht. Sie beträgt nach wie vor 2. Das bedeutet aber auch, dass die Funktion y = a sin(x) die gleichen Nullstellen wie die Funktion y = sin(x) hat.
Bleibt nur noch der Schieberegler b. Mit ihm änderst du den Faktor der vor dem x unter dem Sinuszeichen steht. Was passiert, wenn du b änderst?
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| Nr. 2 |
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Du siehst, die Parallelverschiebung einer Sinusfunktion genauso vorgenommen wird wie bei der quadratischen Funktion.
Führe nun links diese verschiebung im Arbeitsblatt durch. Die x.Koordinate des Verschiebungsvektors stellst du mit dem Schiberegler c ein, und für die y-Koordnate verwendest du den Schieberegler d.
Nachdem du lange genug mit c und d gespielt hast, stelle beide Schieberegler wieder auf Null. Jetzt beschäftigen wir uns zunächst mit dem Schieberegler a.
Ein a gibt es auch bei der Parabel. Hier spricht man von Öffnungsfaktor, weil ein a mit  vor dem quadratischen Teilterm die Parabel dehnt oder staucht.
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| Nr. 5 |
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Was bedeuten 50 Hertz mathematisch?
50 Hertz heißt, du hast 50 Sinusperioden pro Sekunde, d.h. du hast 50 Maxima und 50 Minima pro Sekunde.
Halten wir noch einmal fest: Mit dem Faktor b bestimmst du die Länge einer Periode (Mathematik).
Stellt die Sinuskurve eine Wechselspannung dar (Elektronik, Physik), kannst du am Faktor b die Frequenz ablesen.
Hier noch zwei Links.
Hier findest du ein tolles virtuelles Oszilloskop. Mit der Maus kannst du die Schalter bedienen und mit Doppelklick findest du Erklärungen zu den Schaltern. Doch ich fürchte ohne Physiklehrer wirst du es nicht schaffen.
Vielleicht hilft dir ja die folgende kleine, erste Einführung zum Arbeiten mit einem Oszilloskop.
http://www.elexs.de/oszi1.htm
Auf der nächsten Seite werden wir den Faktor b dazu benutzen eine Sinusfunktion zu entwerfen, deren Nullstellen Vielfache von 2 sind und damit ein Sieb konstruieren.
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Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 15 September, 2009 21:16
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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