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Geometrie mit Spaß lernen

 
 
 

Trigonometrie 19
Das Sieb des Erathostenes entworfen mittels Sinusfunktionen

 
     
 

Was du kennst das Sieb des Erathostenes nicht? Mit diesem Sieb hat dieser alte Grieche aus dem Zahlenmeer die Primzahlen herausgefischt. 'tschuldigung, ich habe vergessen dich zu grüßen. Grüß Gott! Den Erathostenes hast du vielleicht in der 6. Klasse kennengelernt. Dort unterhält man sich über Primzahlen. Weißt du noch, was eine Primzahl ist?

Eine Primzahl ist nur durch sich selbst oder durch die Zahl 1 teilbar.

Bitte, bitte unterscheide Primzahlen von Zahlen, die zueinander prim sind. Zwei Zahlen sind zueinander prim, wenn sie keinen gemeinsamen Teiler haben. Solche Zahlen sind aber nicht notwendigerweise Primzahlen. Nimm z.B. die Zahlen 14 und 15. Beide Zahlen haben keinen gemeinsamen Teiler. Sie sind also prim zueinander. Doch sie sind keine Primzahlen. Den 14 = 2 * 7 und 15 = 3 * 5.

Also bevor ich weitermache, möchte ich dir klar machen, diese Seite ist nur für Freaks in Wahlfachgruppe I. Es schadet dir in keiner Weise in deiner Prüfungsnote, wenn du sie nicht kennst. Doch sie bringt dich ungeheuer weiter im Verständnis von periodischen Funktionen und von Primzahlen.

Weißt du, warum ich Primzahlen und Kenntnisse darüber für wahnsinnig wichtig für dich halte? Primzahlen schützen deine Privatheit, wenn du es willst. Verschlüsselungsprogramme im Internet beruhen auf großen Primzahlen. Weißt du warum? Weil es keinerlei Berechnungsformeln für Primzahlen gibt. Solltest du jemals so etwas finden, wirst du erstens für den Nobelpreis vorgeschlagen und zweitens unsterblich. Der Herr Pythagoras wäre nur ein Furz gegen dich. Doch ich fürchte sämtliche Geheimdienste der Erde würden versuchen dich in ihre Hände zu bekommen, bevor du es veröffentlichen könntest. Dein Familienleben wäre vorbei. Zur Not würden sie dich auch dafür töten.

Das einzige 100%ig verlässliche Mittel um Primzahlen zu bestimmen, ist das Sieb des Erathostenes. Natürlich gibt es Berechnungsformeln, die nahezu sicher entscheiden können, ob eine Zahl eine Primzahl ist oder nicht, aber letzlich nicht mit letzter Sicherheit. Hier geht es um Wahrscheinlichkeiten.

Was aber ist nun dieses Sieb des Erathostenes?

Nehmen wir einmal an, dass du die Primzahlen bis zur Zahl 1000 bestimmen sollst. Die Zahl 1000 ist eine Schranke. So heißt sie tatsächlich. Du listest die Zahlen 2 bis 1000 auf, und dann streichst du zunächst alle Zahlen durch, die durch 2 teilbar sind. Dann streichst du die Zahlen durch, die Vielfache von 3, 5, 7 usw. sind, d.h. du nimmst in deiner Liste immer die nächste Zahl, die nach dem Durchstreichen in der Liste übrig bleibt. Sie ist eine Primzahl. Was übrig bleibt sind die Zahlen, die nicht teilbar sind. Wie weit musst du nun dieses Verfahren treiben?

31² = 961 und 37² = 1369

Weißt du was das heißt? Wenn du die Vielfachen bis zur Primzahl 37 gestrichen hast, dann sind alle übrig gebliebenen Zahlen < 1369 Primzahlen, d.h. du hast deine Schranke 1000 eingehalten.

Unten siehst du ein animiertes Gif, das dir dieses Verfahren darstellt, wenn die Schranke die Zahl 120 ist.

 
     
 
 
     
 

Nehmen wir einmal an du willst alle Primzahlen bis zur Schranke 100 000 bestimmen. Dann musst du mit dem Sieb des Erathostenes, d.h. durch Streichen von Primzahlen-Vielfachen solange arbeiten bis du eine Primzahl erreichst, deren Quadrat größer als die gewählte Schranke ist. Oben werden zunächst die Vielfachen von 2, 3, 5 und 7 gestrichen. Jetzt kommt die 11, doch 11² = 121, also größer als die Schranke. Alle übrig gebliebenen Zahlen bis zur Schranke sind demnach Primzahlen.

Was hat nun das Sieb des Erathostenes mit der Sinusfunktion zu tun? Du kannst die Sinusfunktion dazu benutzen um so ein Sieb zu konstruieren. Was das heißt? Wir bauen aus vielen Sinusfunktionen eine Funktion, die unter einer definierten Schranke, nur Vielfache als Nullstellen hat.

Fangen wir mal ganz einfach an. Wir wollen eine Sinusfunktion entwerfen, deren Nullstellen Vielfache von 2 sind. Die Sinuskurve soll also die x-Achse in den Werten 2, 4, 6, 8, usw.schneiden. Wie lang muss die Periode einer solchen Funktion sein? Die normale Sinuskurve hat eine Periode von 2, hier soll sie auf 4 verkürzt werden. Im letzten Arbeitsblatt auf der letzten Seite habe ich dir gezeigt, dass für eine Verkürzung oder Verlängerung der Periode der Faktor b zuständig ist.

Wir suchen also ein b mit dem die Gleichung sin(bx) = 0 die Lösungen x = 2 und Vielfache von 2 hat. Wenn in der Klammer steht (oder Vielfache von ), dann ist der Sinuswert 0. Es muss also gelten: b*x = und die Lösung soll x = 2 sein, d.h. aber b*2 =

=> b = /2

Die Sinusfunktion hat also die Periode 4, d.h. die Vielfachen von 2 sind die Nullstellen der Funktion.

Dieselbe Überlegung kannst du natürlich auch für die Vielfachen von 3 machen.

Die Sinusfunktion hat die Periode 6, d.h. die Vielfachen von 3 sind die Nullstellen.

Probieren wir dies mit einem Arbeitsblatt aus. Damit du überhaupt etwas siehst muss ich die Längeneinheit im Koordinatensystem verkleinern. Bei einer Amplitude von 1 ist aber dann nur noch ein geringer Wellenausschlag zu sehen. Deswegen setzte ich noch einen Faktor a vor das Sinuszeichen, der wie du ja hoffentlich noch weißt, die Amplitude vergrößert oder verkleinert, aber keinen Einfluss auf die Periodenlänge und damit auf die Nullstellen hat.

Schiebe das Arbeitsblatt mit Mausklick und gedrückter Taste auf den roten Balken nach links um meine Plaudereien einzublenden.

 
 
 
 
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  Lass uns noch einmal über Primzahlen reden. Heute am 13. September 2008 war überall folgende Mathenachricht im Internet zu finden: Zwei neue Rekord-Primzahlen entdeckt!  
     
  Hier Ausschnitte aus dem Artikel:  
     
  Sie haben mehr als zehn Millionen Dezimalstellen: Mit Computerhilfe wurden zwei weitere Primzahlen entdeckt - ein neuer Rekord. Bei der Jagd nach immer größeren unteilbaren Ziffern geht es um sichere Datenverschlüsselung. Und um 100.000 Dollar.
 
 

 

 
 

Es ist die wohl seltsamste Lotterie des Internets, an der Mathematik-begeisterte Surfer seit Jahren teilnehmen. Nachdem sie eine Software namens Gimps installiert haben, bekommt ihr Computer von einem Server eine achtstellige Primzahl p zugeteilt. Diese ist, wie jede Primzahl, nur durch eins und sich selbst teilbar. Das Programm berechnet dann die Zahl 2p - 1 und überprüft, ob es sich dabei wiederum um eine Primzahl handelt. Das ist höchst mühselig: Mit derartigen Berechnungen ist selbst ein moderner PC tagelang beschäftigt.

Welche achtstellige Primzahl man als Teilnehmer des Gimps-Projekts zur Überprüfung bekommt, ist eine Frage des Zufalls. Wer großes Glück hat und dabei eine neue Primzahl findet, kann 100.000 Dollar gewinnen. Diese Summe hat die Electronic Frontier Foundation (EFF) für die Entdeckung der ersten Primzahl mit mindestens zehn Millionen Stellen ausgelobt. Der Preis geht an die Person, deren Rechner die Zahl ausfindig gemacht hat.

 
     
 

Ob die beiden Glücklichen den ausgelobten Preise verdient haben, steht heute noch nicht fest. Ihre beiden Zahlen müssen noch überprüft werden. Es gibt noch mehr solche Auslobungen für Primzahlen im Internet. Suche nur einmal danach. Mit einem schnellen PC und etwas Mathewissen kannst du eine Menge Geld verdienen.

Falls du eine Primzahl mit 10 Millionen Stellen findest, die sich nicht als eine Zahl mit 2p-1 darstellen lässt, wobei p eine Primzahl ist, hast du das große Los gefunden. Solche Primzahlen sind besonders schwer zu finden. Übrigens Primzahlen, die sich als 2p-1 darstellen lassen, wenn p ebenfalls eine Primzahl ist, nennt man Mersenne-Zahlen. Solche Primzahlen sich noch relativ leicht zu berechnen, aber eben nur relativ.

Wäre die Primzahlenjagd nicht ein schönes Hobby für dich? Du musst nur lernen deinen Rechenknecht (PC) richtig zu benutzen.

 
     
 
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Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 21:16 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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Erathostenes von Kyrene

 
* ca. 276 v. Chr. in Kyrene; † 194 v. Chr. in Alexandria) war ein griechischer Mathematiker, Geograph, Geschichtsschreiber, Philologe und Dichter sowie Direktor der Bibliothek von Alexandria. Erathostenes prägte den Begriff der Geographie.