Trigonometrie 21 - Trägergraphen

Trigonometrie 21
Trägergraphen (Wahlpflichtfachgruppe I)

Na gut, hier geht es um Trägergraphen. Ein Trägergraph ist so etwas wie ein Flugzeugträger. Salvete discipuli discipulaeque! Das war mein Gruß, Mensch! Google danach, dann verstehst du es. Latein ist wichtig und leicht zu lernen. Du brauchst nur Fleiß und ein gewisses Maß an logischem Denkvermögen. Ich hör schon auf.

Was trägt unser Trägergraph? Richtig, das kennst du schon, er trägt Punkte. Doch die Koordinaten der Punkte sind von "Winkelfunktionen", genauer gesagt von Winkelwerten abhängig. Weißt du was? Im Trockenen lässt sich schlecht Schwimmen lernen.

Aufgabe 1:

Gegeben sind die Pfeile mit O(0/0), .

a) Zeichne drei Pfeile , und für = 0°, = 20° und = 60° in ein Koordinatensystem ein.

b) Bestimme den Trägergraphen der Punkte P_n.

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Nr. 1

Hier hängen die Koordinaten eines Vektors von einem Winkel ab.

Falls du in meinem Arbeitsblatt gespielt hast, klicke im rechten Eck oben auf die beiden blauen Pfeile um den Anfangszustand wieder herzustellen.

Du kannst bei mir nicht nur 3 Pfeile einzeichnen, sondern 180 Stück, für jeden Winkelgrad einen Pfeil. betätige den Schieberegler für den Winkel . Was für ein Graph entsteht?

Der Graph ist ein Stück von einem rechten Parabelast einer nach unten geöffneten Parabel. Es entstehen nur Punkte auf diesem Parabelstück.

Was ändert sich wenn du den Bereich für änderst? Betätige dazu den grünen Schieberegler und dann den Schieberegler für . Im Bereich [0°; 360°] bekommst du Punkt auf einem Parabelstück oberhalb der x-Achse.

Nr. 3

Damit kein Mißverständnis aufkommt, der Winkel hat nichts mit irgendeinem Winkel zu tun, den der Vektor mit der x-Achse bildet. Der Winkel ist nur ein Wert mit dem gerechnet wird. Doch lass uns jetzt die Parameter hinausschmeißen.

Du kennst hoffentlich die Quadratbeziehung zwischen Sinus und Cosinus? Du brauchst sie hier für diese Aufgaben, wie die Luft zum Atmen. Also gut , es gilt:

Weiter gilt, aber dazu ist hier kein Platz mehr. Klicke dich weiter!

Nr. 2

Blende jetzt den Trägergraphen ein. Das Problem ist nun: Wie kommst du zur Parabelgleichung?

Für die Punkte P(x/y), die du je nach Definitionsbereich für den Winkel erzeugen kannst, gilt:

Um einen Zusammenhang zwischen x und y herzustellen, musst du die Parameter (= Hilfsvariable) und eleminieren = heraus schmeißen.

Du löst die erste Gleichung nach auf. Mittels der Quadratbeziehung kannst du den Term für in die 2. Gleichung einsetzen.

Du verstehst das nicht? Probieren geht über Studieren! Schau mir zu und hör mir zu.

Nr. 4

Kannst du noch den Scheitel des Trägergraphen berechnen? Oder das Maximum mit deinem GTR bestimmen?

Aufgabe 2:

Gegeben sind die Dreiecke OABn mit A(4/-1) und .

Es gilt: O(0/0);

a)	Zeichne drei Dreiecke , und für = 35°; = 90° und =150° in ein Koordinatensystem. Platzbedarf: -2 < x 8 und -2 < y < 5

b)	Bestimme die Gleichung des Trägergraphen für die Punkte B_n. Zeichne den Trägergraphen in das Koodinatensystem zu a) ein.

c)	Zeige, dass sich der Flächeninhalt der Dreiecke OAB_n wie folgt in Abhängigkeit von darstellen lässt:

d)	Es gibt zwei Dreiecke, für die der Flächeninhalt der Dreiecke genau 7,5 FE beträgt. Berechne die zugehörigen Belegungen für .

e)	Der Pfeil liegt auf der y-Achse. Berechne seine Koordinaten und die zugehörige Belegung für .

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Nr. 1

Zunächst musst du die Punkte B1, B2 und B3 berechnen. Falls du auf Papier zeichnest, runde auf eine Kommastelle. Genauer kannst du sowieso nicht zeichnen. Benutzt du für die Zeichnung ein Geometrieprogramm, runde so wie ich auf 4 Kommastellen. In der Schule reicht eine Kommastelle.

Zeichne die Dreiecke.

Nr. 5

weiter c)

Hier musst du folgende quadratische Gleichung lösen:

Doch das ist eine quadratische Gleichung. Du siehst es deutlich, wenn du x = cos

setzt.

Nr. 4

weiter c)

Nr. 3

weiter b)

Schalte jetzt den Trägergraph links ein.

Du sollst einen Flächeninhalt bestimmen. Die erste Überlegenung dafür ist: Welche Formeln habe ich für diesen Zweck?

Für das Dreieck gibt es 3 Möglichkeiten. Entweder einhalb Grundseite mal Höhe, oder die Formel einhalb Seite mal Seite mal dem Sinus des Zwischenwinkels, oder die Determinantenformel, und die brauchst du hier, denn du bist im Koordinatensystem. Also stelle die Vektoren auf.

Nr. 2

Du entfernst die Parameter
sin und cosmittels des Werkzeugs

Nr. 6

weiter d)

Mit x = cos gilt:

Für den Pfeil gilt: x = 0

Aufgabe 3:

Gegeben sind die Punkte mit .

Berechne die Koordinaten der Punkte P₁ bis P₅ für . Runde auf eine Stelle nach dem Komma. Zeichne diese Punkte in ein Koordinatensystem ein.

Platzbedarf: -1 < x < 3 und -1 < y < 9

Überlege anhand der Zeichnung, welche Gleichung für den Trägergraphen der Punkte P_n zutrifft. Bestätige anschließend durch Rechnung.

Die Punkte P_n werden mit dem Vektor

auf die Punkte Q_n(x_Q/y_Q) abgebildet. Berechne die Gleichung des Trägergraphen der Punkte Q_n.

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Nr. 1

Die Rundungen sind schuld!

Nr. 4

Nr. 5

Lösung mit Veschiebung des S-Punktes.

Du bringst die Hyperbelgleichung auf die S-Punktform. Was ist der S-Punkt bei der Hyperbel? Es ist der Schnittpunkt der Asymptoten.

Wenn du den Bruch wieder mit (-1) erweiterst, hat deine Gleichung dieselbe Form wie die vorherige.

Nr. 2

Ich habe die Punkte exakt gemäß den geforderten Rundungen in das Arbeitsblatt eingetragen. Der Trägergraph scheint einen Knick zu haben. Hätte ich hier auf zwei Kommastellen gerundet und es so ins Arbeitsblatt eingetragen, würde es besser aussehen. Aber auf Papier kannst du so genau nicht zeichnen.

Du musst dich also nach dem Nachrechnen mit diesen "schiefen" Punkten zufrieden geben. Nevertheless you can select the right equation.

Also eine Gerade oder Parabel ist der Trägergraph nicht. Damit scheiden A und D aus. Der Graph muss eine Hyperbel sein und zwar eine nach rechts verschobene.

Die Asymptote von B ist die y-Achse. Damit scheidet B aus und C bleibt übrig.

So und jetzt eleminierst du die beiden Parameter, schmeiße sie hinaus, . Welche? Du nervst!

Nr. 3

Leider ist die Hyperbelgleichung nicht in der Form, in der du den S-Punkt leicht ablesen kannst. Also wenden wir für die Parallelverschiebung zunächst das Parameterverfahren an. Danach zeige ich dir, dass es mit der verschiebung des S-punktes schneller geht.

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