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Geometrie mit Spaß lernen
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Trigonometrie 22
Trägergraphen Fortsetzung (Wahlpflichtfachgruppe I)
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Grüß Gott und ein herzliches Willkommen zu weiteren Aufgaben bei denen Trägergraphen eine bedeutende Rolle spielen. Carpe diem, tempus fugit! Fangen wir an!
Aufgabe 1:
Die Pfeile  und  spannen Parallelogramme PQnRnSn auf. Es gilt: P(0/-2);  |
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Klicke unten auf 1, 2 usw. um meine Plaudereien im Rand einzublenden. Doch erst selber arbeiten. |
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| Nr.1 |
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a)
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Mit Hilfe des Schiebereglers für  kannst du dir die beiden Parallelogramme anzeigen lassen und einige andere dazu.
b)
Eigentlich müsstest du die Gleichung des Trägergraphen aus der Zeichnung ablesen können. Der Scheitel liegt bei
(-1/8) und es scheint eine nach unten geöffnete Normalparabel zu sein. Die Lösung ist vermutlich
y = -(x +1)² +8
Aber wie rechnerisch dahin kommen? Tief nachdenken! |
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| Nr.9 |
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weiter h)
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Tja, das war 'ne ganz schön lange Aufgabe. Ich denke du brauchst eine Pause.
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| Nr.8 |
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h)
Die Winkelhalbierende des 1. und 3. Quadranten hat die Gleichung y = x
=> m= 1
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Diese quadratische Gleichung ist doch kein Problem für dich? Oderrrr!
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| Nr.6 |
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e)
Es gilt:
f)
Wenn du links den Schieberegler für betätigst, siehst du genau wo der Trägergraph der Punkt Rn seinen Scheitel hat. Außerdem kannst du auch den Öffnungsfaktor richtig abschätzen.
Mit dem Parameterverfahren den Trägergraphen auszurechnen, dass überlasse ich dir jetzt alleine. irgendwann ist Schluss mit dem Schnürsenkel zubinden.
g)
Auch das kannst du zunächst links durch Ausprobieren herausfinden. Rechnerisch bestimmst einfach die Länge des Vektors in Abhängigkeit von .
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| Nr.5 |
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d)
Es gilt:
Den kleinstmöglichen Wert den  annehmen kann, ist -1 für = 180° und der Winkel liegt im Definitionsbereich.
Den größtmöglichen Wert den annehmen kann, ist 1 für = 0° oder 360° und beide Winkel liegen nicht im Definitionsbereich. Im Bereich zwischen 0° und 180° wird der cos kleiner. Der größtmögliche Wert ist hier also der cos 20°. Im Bereich zwischen 180° und 360° nimmt der cos zu. Der größtmögliche Wert ist also
cos 340°.
Da cos 20° = cos 340° gilt:
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| Nr.3 |
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weiter b)
Du siehst, nur eine Berechnung bestätigt oder widerlegt den Augenschein! Aber unser Augenschein war auch nicht schlecht.
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| Nr.4 |
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c)
Nachdem du dir die "Vektorkette" als sehr wichtiges Werkzeug wieder in Erinnerung gerufen hast, wendest du sie hier gleich wieder an.
Du marschierst vom Ursprung nach P, von P nach Q und von Q nach R. Du kennst alle drei Vektoren.
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| Nr.2 |
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weiter b)
Was du für das Parameterverfahren benötigst sind die Koordinaten von S in Abhängigkeit von . Falls du nicht selbst trotz langen und tiefen Nachdenkens auf die Lösungsidee kommst, sei dir erlaubt sie links einzuschalten.
Das Werkzeug deiner Wahl und auch das einzige ist eine Vektorkette. Du marschierst vom ursprung nach P und von dort nach S.
In der 2. Gleichung ersetzt du sin² mittels der Quadratbeziehung durch
1 - cos². |
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Aufgabe 2:
Die Punkte A, Bn, C und Dn sind Eckpunkte von Drachenvierecken ABnCDn. Die Gerade AC ist Symmetrieachse der Drachenvierecke.
Es gilt: A(1/1); C(8/8);  |
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| a) |
Zeichne die Drachenvierecke AB1CD1 und AB2CD2 für  in ein Koordinatensystem ein.
Platzbedarf: -2 < x < 11 und -2 < y < 11 |
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| b) |
Berechne die Gleichung des Trägergraphen t der Punkte Bn.
[Ergebnis: t mit  ] |
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| c) |
Berechne die Gleichung t* des Trägergraphen der Punkte Dn. |
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| d) |
Unter den Drachenvierecken gibt es zwei Rauten. Zeichne diese in das Koordinatensystem zu a) ein. Berechne die zugehörigen Werte von x und  .
[Teilergebnis: x = 8] |
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| e) |
Begründe: Eine der Rauten ist zugleich ein Quadrat. |
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Klicke unten auf 1, 2 usw. um meine Plaudereien im Rand einzublenden. Doch wie immer: Erst selber arbeiten. Du kannst mein Arbeitsblatt am roten Balken mit der Maus nach links schieben. Ist bei kleineren Monitoren sinnvoll.
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| Nr. 1 |
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a)
Die Punkte D1 und D2 findest du durch Achsenspiegelung an der Symmetrieachse AC. Du könntest aber auch erst einmal nachdenken.
Welche Gleichung hat denn die Gerade AC? Wer oder was ist sie?
AC: y = x
Sie ist die Winkelhalbierende im 1. und 3 Quadranten.
Was passiert mit den Koordinaten, wenn du Punkte an der Winkelhalbierenden des 1. und 3 Quadranten spiegelst?
Richtig, du vertauscht damit die Koordinaten. Du hast also mit den Punkten B1 und B2 gleichzeitig auch die Punkte D1 und D2 berechnet. Behalte dies bitte für Teilaufgabe c) im Gedächtnis.
Auf zum Parameterverfahren! |
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| Nr. 8 |
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e)
Was macht eine Raute zum Quadrat? Die Seiten stehen aufeinander senkrecht. Oder die Diagonalen sind gleich lang. beides kannst du wieder benutzen. Aus der Zeichnung siehst du für x=8 gibt es ein Quadrat.
Du kannst z.B. zeigen, dass die Länge von  für x = 8 die halbe Länge der Strecke [AC] ist.
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| Nr. 5 |
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weiter d)
Bis jetzt hast du vier Zeilen deines richtigen Lösungsansatzes geschafft. Möglicherweise sichert dir das einen Punkt, mehr aber auch nicht. Der weitere Lösungsweg würde von dir eine beispielslose Artistik in der Anwendung der binomischen Formeln verlangen. So bösartig ist wirklich kein Lehrer/Prüfer.
Was machst du? Du gibst diesen Lösungsweg auf und suchst nach einem anderen Lösungsweg. Es gibt immer einen oder sogar mehrere Lösungswege, die es dir erlauben in der Zeit fertig zu werden.
Weißt du woran es liegt, wenn du in der Prärie landest? Du hast den Punkt B, der in Abhängigkeit von x gegeben ist, zweimal verwendet. Damit bekommst du komplizierte Terme.
Das ist nie der elegante und schnelle Weg!
Also scheint es besser die Eigenschaft zu benutzen, dass sich die Diagonalen halbieren und senkrecht aufeinander stehen, d.h. du benutzt, dass der Vektor senkrecht auf [AC] steht, wobei der Punkt M der Mitttelpunkt der Strecke [AC] ist.
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| Nr. 6 |
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weiter d)
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| mit mAC = 1 gilt: |
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Soll ich dir wirklich noch einmal zeigen, wie du eine quadratische Gleichung zu lösen hast? Na gut, steter Tropfen höhlt den Stein.
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| Nr. 3 |
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c)
Die Gleichung des Trägergraphen t* der Punkte Dn ist die Gleichung der Umkehrfunktion von
.
d)
Benutze für die Berechnung die Eigenschaften einer Raute. Eine Raute hat gleich lange Seiten und die Diagonalen stehen aufeinander senkrecht und halbieren sich. Beide Eigenschaften kannst du benutzen. Nur solltest du vorher ein paar Gedanken darauf verschwenden, wie das geschehen soll. Nur so kannst du den Arbeitsaufwand abschätzen. Unter Umständen landest du in der Prärie und findest nicht mehr zurück. Ich stelle dir jetzt die beiden Lösungswege vor und verrate dir mit welchen Überlegungen du den kürzeren hättest auswählen können. |
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| Nr. 2 |
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b)
Der Trägergraph ist ein Hyperbelast mit den Asymptoten x=4 und y=0.
Was passiert, wenn du diesen Hyperbelast an AC spiegelst? Wenn du es weißt, hast du Aufgabe c) schon fast gelöst. |
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| Nr. 4 |
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weiter d)
Meine Erfahrung sagt mir das ein Schüler sich sofort auf die Eigenschaft stürzt, dass die Seiten gleich lang sind. Also fangen wir damit an.
Du machst zwei Seiten zu Vektoren und berechnest ihre Länge in Abhängikeit von x. Du musst natürlich zwei Seiten wählen, die nicht sowieso wegen der Symmetrie im Drachen immer gleich lang sind.
Also wählen wir die Seiten [AB] und [BC], bestimmen die Seitenlängen in Abhängigkeit von x und setzen die Terme gleich.
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| Jetzt müsstest du die beiden Quadrate gleichsetzen und die Binome auflösen. Ich versichere dir, du verhungerst in der Prärie. |
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Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 15 September, 2009 21:16
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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für 
die Länge 5 LE? 
verläuft parallel zur Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten. Bestimme den zugehörigen Wert von 
