Trigonometrie 23 - Additionstheoreme

Trigonometrie 23
Additionstheoreme (Wahlpflichtfachgruppe I)

Du wirst doch vor dem Wort "Additionstheorem" keine Angst haben? Sei gegrüßt! Ein Theorem ist ein mathematischer Lehrsatz. Warum man nicht Additionslehrsatz sagt? Man könnte es mit dem Kommutativgesetz der Addition verwechseln. Nein, ich glaube, der erste Mathematiker, der das Wort verwendet hat, der hat den Klang des Wortes Theorem gemocht oder er wollte nur angeben. Was immer auch der Grund war, heute ist der Sachverhalt eben unter "Additionstheoremen" bekannt. Vier Stück gibt es davon.

Ich habe für dich unten ein Arbeitsblatt vorbereitet mit dem ich dir experimentell die Gültigkeit der Additionstheoreme zeigen will.

Du musst diese Theoreme nicht auswendig lernen. Du musst sie nur in deiner Formelsammlung finden können und du musst ihr Muster in den Aufgaben wiedererkennen, damit du das richtige anwenden kannst. Aber das hat noch Zeit. Schauen wir uns die Theoreme erst einmal an.

Klicke unten auf 1oder 2 um meine Plaudereien im Rand einzublenden.

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Nr. 1

Mit den Schaltern Nr. 1 bis
Nr. 4 kannst du dir Theoreme einschalten, aber immer nur eines. Die drei anderen Schalter müssen auf Aus stehen, sonst siehst du nichts.

Im Theorem Nr. 1 zeige ich dir einerseits, was nicht ist, und andererseits, wie du die Winkelsumme äquivalent umformen kannst.

Mit den beiden Schiebereglern kannst du für und Winkelwerte zwischen 0° und 360° wählen. Somit kannst du dich für alle 130321 möglichen Winkelkombinationen überzeugen, dass die Additionstheoreme stimmen.

Da sich sowohl der Sinus als auch der Kosinus alle 360° wiederholen (periodische Funktion!) gelten sie sogar für alle denkbaren Winkelkombinationen. Nein, ich will dich natürlich nicht bis zum Jüngsten Gericht mit Ausprobieren beschäftigen, aber ein paar Versuche solltest du schon machen. Und du solltest mein Arbeitsblatt ein paar mal mit deinem Taschenrechner überprüfen.

Nr. 2

In deinem Lehrbuch findest du sicher noch einen anderen Beweis für die Additionstheoreme. Wenn du unbedingt einen solchen Beweis willst, schaue dort nach oder googel danach. Mir ist das für dich nicht wichtig.

Viel wichtiger ist vielmehr, dass du die Muster der Thereme in den Aufgaben erkennst. Und das wollen wir jetzt gleich üben.

Doch für die großen Terme ist der Rand hier zu schmal. Drum geht es unter Arbeitsblatt weiter.

Aufgabe 1:

Wende die Additionstheoreme an und vereinfache.

a) b)

c) d)

Die Additionstheoreme rechts kannst du mit der Maus am roten Balken packen und nach unten bzw. oben schieben. Dies dient deiner Bequemlichkeit, damit du nicht ständig oben im Arbeitsblatt nachschauen musst. Du könntest natürlich auch deine Formelsammlung neben die Tastatur legen.

Mit Hilfe der Additionstheoreme wollen wir jetzt noch ein paar Theoreme (Formeln) herleiten bzw. die Äquivalenz von Termen zeigen. Wozu das Ganze? Diese äquivalenten Terme brauchst du um Gleichungen wie z.B. rechnerisch zu lösen. Solche Gleichungen nennt man übrigens goniometrische Gleichungen. Derartige Gleichungen kannst du selbstverständlich mit einem graphischen Taschenrechner auch graphisch ohne jedwede Äquivalenzumformung lösen. Beides zeige ich dir später.

Aufgabe 2:

Zeige mit Hilfe der Additionstheoreme die Äquivalenz der Terme.

Klicke unten auf a, b usw. um die Teilaufgaben einzublenden.

Hinweis: Ersetze in der Formel das Winkelmaß durch .

zur Lösung hier klicken...

Hinweis: Ersetze in 2d) durch .

zur Lösung hier klicken...

zur Lösung hier klicken...

Hinweis: Ersetze in der Formel das Winkelmaß durch .

zur Lösung hier klicken...

Hinweis: Ersetze in 2c) durch .

zur Lösung hier klicken...

Diese äquivalenten Termumformungen für doppelte und halbe Winkelmaße bei Sinus und Kosinus habe ich dir rechts noch einmal zusammengefasst. Du kannst sie mit der Maus am grünen Balken fassen und sie nach oben oder unten ziehen. Benutze sie für die nächste Aufgabe Für die Teilaufgabe 3g ist auch die Tabelle mit dem orengenen balken nützlich.