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Trigonometrie 24
Trigonometrische Gleichungen (Wahlpflichtfachgruppe I)

 
     
 

Grüß dich Gott! Auf dieser Seite werden wir trigonometrische, oder wie man auch sagt goniometrische, Gleichungen lösen. Es sind dies Gleichungen, die trigonometrische Terme enthalten. In den Zeiten vor dem graphischen Taschenrechner war diese Rechentechnik unverzichtbar. Heute kannst du mit dem graphischen Taschenrechner nahezu die Lösung(en) fast jeder Gleichung bestimmen. Nichtsdestotrotz musst du noch trigonometrische Gleichungen zu Fuß berechnen können. Ich werde dir beides zeigen. So kannst du immer erst die Lösungen mit deinem GTR bestimmen und weißt so, was bei deiner Rechnerei herauskommen muss.

Grundsätzlich gibt es zwei Typen von solchen trigonometrischen Gleichungen:

Typ 1:

Gleichungen, die du ohne Äquivalenzumformungen mittels der Additionstheoreme oder anderer Theoreme lösen kannst.

Typ 2:

Gleichungen, die du durch Äquivalenzumformungen mittels der Additionstheoreme oder anderer Theoreme lösen musst.

Aufgabe 1:

Dies ist eine Gleichung vom Typ 1. Hier brauchst du keine Additionstheoreme. Du könntest sie natürlich anwenden. Es würde selbstverständlich funktionieren. Aber du würdest wegen der übermäßigen Schreiberei Arbeitszeit verlieren. Lass uns hier Ausnahmsweise einmal mit der rechnerischen Lösung anfangen, dann kann ich dir besser die Vorteile bzw. Nachteile der 3 Möglichkeiten mit dem Casio-GTR verklickern.

Andere graphische Tachenrechner funktionieren ähnlich wie der Casio-GTR. Aber ich wäre völlig überfordert, wenn ich dir sämtliche graphischen Taschenrechner vorführen würde.

Der Sinus eines Winkels ist gleich 0,5. Du behandelst die Klammer als würde dort eine Winkelbezeichnung wie z.B. stehen: sin = 0,5.

Damit bekommst du als erste Lösung bei einem Definitionsbereich von [0°; 360°]:

Wie du hoffentlich weißt, gibt es im 2. Quadranten noch eine Lösung. Diese zweite Lösung bei den Winkelfunktionen im Definitionsbereich [0°; 360°] musst du entweder durch Symmetriebetrachtungen am Einheitskreis oder durch die Supplement- bzw. Komplementbeziehungen lösen. Weißt du was, all das bringe ich meinen Schülern zwar noch bei, d.h. ich zeige es, übe es aber nicht. Wozu auch, der Casio-GTR löst es.

Rechnerisch aber musst du folgende Beziehung anwenden:

sin = sin (180° - )

Damit folgt für die 2. Lösung:

Für die 2. Lösung benötigst du also zusätzliche Fertigkeiten. Ich weiß, du gehörst wahrscheinlich zu denen, die diese Fertigkeiten besitzen, aber mancher würde gerne auch ohne solche Fähigkeiten beide Lösungen bestimmen wollen. Der Casio-GTR bietet dir grundsätzlich 3 Möglichkeiten die Aufgabe 1 zu lösen. Ich zeige dir hier die Möglichkeit, die ich für die beste halte, weil sie dir immer beide Lösungen liefert. Die anderen beiden Möglichkeiten stelle ich dir kurz rechts im Rand oben vor und erläutere dir auch die gewissen Schwierigkeiten damit.

Du formst deine trigonometrischen Gleichungen so um, dass eine Seite gleich Null ist. Dann machst du mit deinem GTR eine Nullstellenbestimmung, d.h. du verstehst den trigonometrischen Term als Funktion und bestimmst die Schnittpunkte mit der x-Achse, selbstverständlich nur im Definitionsbereich von [0°; 360°]. Ansonsten würdest du bis zum Jüngsten Tag Nullstellen bestimmen. Du erinnerst dich? Die Winkelfunktionen sind periodische Funktionen.

Jetzt bestimmst du die Nullstellen der Funktion . Dazu gehst du ins GRAPH-Menü deines Casio-GTR.

 
     
 

Setze = x

 

Mit der Funktionstaste F6-DRAW lässt du dir den Graph anzeigen

     
 

Vermutlich sieht dein Graph nicht so aus. Du hast das falsche Koordinatensystem und/oder den falschen Definitionsbereich eingestellt. Du kannst es korrigieren. Mit F3-V-Window kannst du dein Koordinatensystem wählen. Du wählst TRIG und stellst den Definitionsbereich so wie in meinem SCAN ein. Immer mit EXE bestätigen! Du schaffst es! Mit EXE kehrst du auch zurück.

     

Mit F5 wählst du G-Solv.

 

Du wählst im Untermenü F1-ROOT. Root heißt zwar Wurzel, die Amis und die Engländer meinen aber damit die Nullstellen. Der Cursor, das kleine rote Kreuz steht auf der 1. Nullstelle:

x = 50

Mit der Pfeiltaste deines Casio-GTR wandert der Cursor nach rechts und die 2.Nullstelle wird angezeigt.

 
     
 

Mit diesem Verfahren bekommst du beide Lösungen der Aufgabe 1. Wie dokumentierst du aber dein Lösungsverfahren? Schreibe es bitte wie folgt hin:

GRAPH-F6-F5-F1

Du kannst natürlich auch so tun, als hättest du es auf traditionelle Weise berechnet. Niemand kann dir das nachweisen. Das sei für alle gesagt, die nicht wie in Bayern einen graphischen Taschenrechner verwenden dürfen. Sorry, ich schreibe nun mal in erster Linie nur für bayerische Realschüler.

In den nachfolgenden Aufgaben gehe ich auf die Möglichkeiten deines Casio-GTR nicht mehr ein. Du solltest am besten deine Lösungen schon vor der Berechnung bestimmen, zumindest solltest du danach nachschauen ob du auf die Lösungen deines GTR gekommen bist. Wenn nicht suche deinen Fehler. Selbst entdeckte Fehler sind die allerbesten Fehler. Aus ihnen lernst du am Meisten.

Aufgabe 2:

Löse die Gleichungen ohne Verwendung der Additionstheoreme .

Mit Mausklick auf a, b usw. blendest du die Aufgabenstellungen ein.

 
     
 
a
b
c
d
e
f
 
     
 

a)

zur Lösung hier klicken...

 
 
     
 

Aufgabe 3:

Löse die folgenden Gleichungen unter Verwendung der Additionstheoreme durch Rechnung .

Mit Mausklick auf a, b usw. blendest du die Aufgabenstellung ein.

 
     
 
a
b
c
d
e
 
     
 

a)

zur Lösung hier klicken...

 

 

 
 
 
     
 
Merke: Ob du die letzte Zeile mit den beiden Lösungen im RUN-Menü deines GTR und mit schwierigen Betrachtungen am Einheitskreis gewinnst, oder ob du sie durch Nullstellenbestimmung im GRAPH-Menü bestimmst, das kann hinterher niemand mehr feststellen. Deshalb zögere nicht, wenn dir ein graphischer Taschenrechner erlaubt ist, die Nullstellenbestimmung zu wählen.
 
     
 

Aufgabe 4:

Gegeben sind die Dreiecke AnBCn. Es gilt:

a) Zeichne das Dreieck A1BC1 für = 0°.

b) Zeige, dass für den Flächeninhalt der Dreiecke AnBCn gilt:

   

c) Berechne den Grenzwert von , für die der Flächeninhalt den Wert 0 FE annimmt. Gib das Intervall von an, für das Dreiecke AnBCn existieren.

Klicke auf 1,2 usw. um meine Plaudereien im Rand einzublenden.

 
     
 
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2
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4
 
     
 
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Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 21:17 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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Du interpretierst die beiden Seiten der Gleichung als Funktionen und bestimmst im GRAPH-Menü die Schnittpunkte.
 
GRAPH
F6
F5
F5

Zur 2. Lösung gelangst du, wenn du die Pfeiltaste "nach rechts" betätigst. Dieses Verfahren funktioniert auch immer. Es hat aber einen Nachteil. Erstens könntest du irritiert sein, weil die Schnittpunkte oberhalb oder unterhalb deines sichtbaren Displays liegen könnten. Wenn sie nicht zu weit von der y-Achse entfernt sind, macht es nichts aus. Die schnittpunkte werden berechnet, auch wenn du sie nicht siehst. Sind die y-Koordinaten der Schnittpunkte ihrem Betrag nach aber sehr groß, kann sie der Taschenrechner nur berechnen, wenn du dein Koordinatensystem anders einstellst. Es ist ein wenig wie Stochern im Nebel und kostet Zeit. Deswegen ist das graphische Lösungsverfahren über eine Nullstellenbestimmung (siehe Mittelteil) vorzuziehen.

 

Du könntest natürlich auch den Gleichungslöser deines Casio-GTR benutzen. Gehe dazu in das EQUA-Menü und gib die Gleichung so ein, wie sie gegeben ist. Das Gleichheitszeichen findest du in der untersten Tastenreihe.

 

EQUA
Wähle F3
 
F3
F6 oder EXE

Aber was ist das? Du bekommst eine Lösung, die nicht in unserem Definitionsbereich liegt. Vielleicht erinnerst du dich, dass sich der Sinus alle 360° wiederholt (periodische Funktion), dann subtrahierst du hier 360° und kommst auf die Lösung x = 50°. Ansonsten kannst du nur auf deinen GTR schimpfen. Für die 2. Lösung brauchst du wieder Symmetriebetrachtungen am Einheitskreis.

Also gilt:

Verwende nur in Ausnahmefällen den Gleichungslöser deines Casio-GTR.

Eine Ausnahme wäre, wenn die trigonometrische Gleichung die Form einer quadratischen Gleichung hat. Die quadratische Gleichung kannst du mit dem Gleichungslöser lösen, wenn du die trigonometrischen Terme vorher substituiert hast, d.h. durch x bzw. x² ersetzt hast.

Danach musst du dir überlegen, welche deiner Lösungen überhaupt in Frage kommt und welche Winkel sich daraus berechnen lassen. Aber alles zu seiner Zeit.