Grüß dich Gott! Auf dieser Seite werden wir trigonometrische, oder wie man auch sagt goniometrische, Gleichungen lösen. Es sind dies Gleichungen, die trigonometrische Terme enthalten. In den Zeiten vor dem graphischen Taschenrechner war diese Rechentechnik unverzichtbar. Heute kannst du mit dem graphischen Taschenrechner nahezu die Lösung(en) fast jeder Gleichung bestimmen. Nichtsdestotrotz musst du noch trigonometrische Gleichungen zu Fuß berechnen können. Ich werde dir beides zeigen. So kannst du immer erst die Lösungen mit deinem GTR bestimmen und weißt so, was bei deiner Rechnerei herauskommen muss.

Grundsätzlich gibt es zwei Typen von solchen trigonometrischen Gleichungen:

Typ 1:

Gleichungen, die du ohne Äquivalenzumformungen mittels der Additionstheoreme oder anderer Theoreme lösen kannst.

Typ 2:

Gleichungen, die du durch Äquivalenzumformungen mittels der Additionstheoreme oder anderer Theoreme lösen musst.

Aufgabe 1:

Dies ist eine Gleichung vom Typ 1. Hier brauchst du keine Additionstheoreme. Du könntest sie natürlich anwenden. Es würde selbstverständlich funktionieren. Aber du würdest wegen der übermäßigen Schreiberei Arbeitszeit verlieren. Lass uns hier Ausnahmsweise einmal mit der rechnerischen Lösung anfangen, dann kann ich dir besser die Vorteile bzw. Nachteile der 3 Möglichkeiten mit dem Casio-GTR verklickern.

Andere graphische Tachenrechner funktionieren ähnlich wie der Casio-GTR. Aber ich wäre völlig überfordert, wenn ich dir sämtliche graphischen Taschenrechner vorführen würde.

Der Sinus eines Winkels ist gleich 0,5. Du behandelst die Klammer als würde dort eine Winkelbezeichnung wie z.B. stehen: sin = 0,5.

Damit bekommst du als erste Lösung bei einem Definitionsbereich von [0°; 360°]:

Wie du hoffentlich weißt, gibt es im 2. Quadranten noch eine Lösung. Diese zweite Lösung bei den Winkelfunktionen im Definitionsbereich [0°; 360°] musst du entweder durch Symmetriebetrachtungen am Einheitskreis oder durch die Supplement- bzw. Komplementbeziehungen lösen. Weißt du was, all das bringe ich meinen Schülern zwar noch bei, d.h. ich zeige es, übe es aber nicht. Wozu auch, der Casio-GTR löst es.

Rechnerisch aber musst du folgende Beziehung anwenden:

sin = sin (180° - )

Damit folgt für die 2. Lösung:

Für die 2. Lösung benötigst du also zusätzliche Fertigkeiten. Ich weiß, du gehörst wahrscheinlich zu denen, die diese Fertigkeiten besitzen, aber mancher würde gerne auch ohne solche Fähigkeiten beide Lösungen bestimmen wollen. Der Casio-GTR bietet dir grundsätzlich 3 Möglichkeiten die Aufgabe 1 zu lösen. Ich zeige dir hier die Möglichkeit, die ich für die beste halte, weil sie dir immer beide Lösungen liefert. Die anderen beiden Möglichkeiten stelle ich dir kurz rechts im Rand oben vor und erläutere dir auch die gewissen Schwierigkeiten damit.

Du formst deine trigonometrischen Gleichungen so um, dass eine Seite gleich Null ist. Dann machst du mit deinem GTR eine Nullstellenbestimmung, d.h. du verstehst den trigonometrischen Term als Funktion und bestimmst die Schnittpunkte mit der x-Achse, selbstverständlich nur im Definitionsbereich von [0°; 360°]. Ansonsten würdest du bis zum Jüngsten Tag Nullstellen bestimmen. Du erinnerst dich? Die Winkelfunktionen sind periodische Funktionen.

Jetzt bestimmst du die Nullstellen der Funktion . Dazu gehst du ins GRAPH-Menü deines Casio-GTR.

Mit diesem Verfahren bekommst du beide Lösungen der Aufgabe 1. Wie dokumentierst du aber dein Lösungsverfahren? Schreibe es bitte wie folgt hin:

GRAPH-F6-F5-F1

Du kannst natürlich auch so tun, als hättest du es auf traditionelle Weise berechnet. Niemand kann dir das nachweisen. Das sei für alle gesagt, die nicht wie in Bayern einen graphischen Taschenrechner verwenden dürfen. Sorry, ich schreibe nun mal in erster Linie nur für bayerische Realschüler.

In den nachfolgenden Aufgaben gehe ich auf die Möglichkeiten deines Casio-GTR nicht mehr ein. Du solltest am besten deine Lösungen schon vor der Berechnung bestimmen, zumindest solltest du danach nachschauen ob du auf die Lösungen deines GTR gekommen bist. Wenn nicht suche deinen Fehler. Selbst entdeckte Fehler sind die allerbesten Fehler. Aus ihnen lernst du am Meisten.

Aufgabe 2:

Löse die Gleichungen ohne Verwendung der Additionstheoreme .

Mit Mausklick auf a, b usw. blendest du die Aufgabenstellungen ein.

Aufgabe 3:

Löse die folgenden Gleichungen unter Verwendung der Additionstheoreme durch Rechnung .

Mit Mausklick auf a, b usw. blendest du die Aufgabenstellung ein.