Trigonometrie 26 - Funktionale Abhängigkeit in der Ebene I

Trigonometrie 26
Funktionale Abhängigkeit in der Ebene I
(Wahlpflichtfachgruppe I)

Aufgabe 1

In den gleichschenkligen Dreiecken ABC_n (siehe Abbildung) ist M Mittelpunkt der Basis [AB]. Der Halbkreis um M berührt die Schenkel in den Punkten E_n und F_n. Die Winkel BAC_n haben das Maß .

Es gilt:

a)	Stelle den Inhalt der blau markierten Fläche AD_nF_n in Abhängigkeit von dar.

b)	Zeige, dass sich der Inhalt der blauen Fläche in folgender Form darstellen lässt:

c)	Aus welchem Intervall kann man wählen?

d)	Tabellarisiere für mit . Zeichne den zugehörigen Graphen. (Für die Zeichnung: 1 cm 10°; 1 cm 0,5 cm²) Lies den maximalen Flächeninhalt und das zugehörige Maß ab. Bestätige das Ergebnis mit dem GTR:

e)	Zeige, dass sich der Flächeninhalt der Dreiecke AD_nF_n wie folgt in Abhängigkeit von darstellen lässt:

f)	Zeige, dass sich die Darstellung des Flächeninhalts in e) auf folgende Form bringen lässt:

g)	Tabellarisiere A() für mit . Zeichne den zugehörigen Graphen in das Diagramm in d) ein. Lies A_max und das zugehörige Winkelmaß ab.

Klicke auf 1, 2 usw. um meine Lösungen im rechten Rand einzublenden.

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Nr. 1

Im Arbeitsblatt links kannst du dir die Abhängigkeit von veranschaulichen, wenn du den roten Schieberegler mit der Maus betätigst.

zu a)

Die Lösungsidee liegt in einer Differenz von Flächen:

Du berechnest zunächst mit Hilfe des Dreiecks AMF_n die Längen der Strecken [AF_n] und [MF_n].

Nr. 4

weiter d)

Um das Maximum mit deinem Casio-GTR zu bestimmen wechsle bitte ins GRAPH-Menü. Zeichne dort den Graphen mit F6. Wechsle dann zu G-Solv mit F5 und bestimme das Maximum mit F2.

GRAPH-F6-F5-F2

A_max=2.26 FE für =23.22°

Lösung von d) ausblenden...

zu e)

Auch der Flächeninhalt der Dreiecke AD_nF_n lässt sich als Differenz darstellen:

Mit dem Ergebnis von a) gilt:

Nr. 3

zu c)

zu d)

Du solltest die Wertetabelle mit der angegebenen Lösung erzeugen. Gebe im TABLE-Menü deines Casio-GTR folgenden Term ein:

Lösung einschalten hier...

Im Untermenü RANG(e) stellst du den Bereich und die Schrittweite ein. Kontrollieren kannst du deine Wertetabelle mit meinem 2. Arbeitsblatt zu dieser Aufgabe. Klicke oben auf "Lösung einschalten hier". Dann klickst du einfach auf eine leere Stelle im Arbeitsblatt um es zu aktivieren. Wenn du den schieberegler betätigst, wird der Graph gezeichnet und die einzelnen Termwerte angezeigt.

A_max = 2.26 FE für

Nr. 2

weiter a)

zu b)

Bei fast allen diesen Aufgaben
ist fast immer auch die Lösung
angegeben. Von dir wird erwartet,
dass du deine Lösung auf diese
Form bringen kannst. Ansonsten
gibt es Pubktabzug. Hier in
Teilaufgabe b) ist es sogar
ausdrücklich verlangt.

Nr. 5

Die Flächenformel für das Dreieck A= 0.5*Seite* Seite*sin (Zwischenwinkel) erinnerst du hoffentlich noch? Oderrr? Tut mir leid, ich kann nicht immer wieder bei Adam und Eva anfangen. Deine Werkzeuge solltest du zumindest kennen.

zu f)

Erinnere dich an die Umformung in Teilaufgabe b)

zu g)

wie d)

Graph einblenden hier...

Aufgabe 2

Der Umkreisradius von Dreiecken AB_nC beträgt 4 cm. Die Winkel B_nAC haben das Maß und die Winkel CB_nA das Maß = 30°.

a)	Zeichne das Dreieck AB₁C für = 50°.

b)	Zeige, dass sich der Flächeninhalt der Dreiecke AB_nC wie folgt in Abhängigkeit von darstellen lässt:

c)	Zeige, dass sich der Term für den Flächeninhalt in b) auf folgende Form bringen lässt:

d)	Tabellarisiere A() für für . Stelle anschließend den Zusammenhang zwischen dem Winkelmaß und dem Flächeninhalt grafisch dar. [Für die Zeichnung: 1 cm 15°; 1 cm 2 cm²]

e)	Lies in d) die Belegung von ab, für die der Flächeninhalt maximal ist. Gib A_max an. Bestätige dein Ergebnis mit dem GTR.

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Nr. 2

weiter a)

Welcher Lehrsatz wird durch dieses Beispiel dargestellt?

Ok! Es ist der Randwinkelsatz.

Der Randwinkel über der Sehne eines Kreises ist halb so groß wie der zugehörige Mittelpunktswinkel.

Der Randwinkel =30° über der Sehne ist halb so groß wie der zugehörige Mittelpunktswinkel . Daraus folgt, dass im Dreieck AMC alle Winkel das Maß 60° haben. Es ist ein gleichseitiges Dreieck, d.h. es gilt:

= 4 cm.

Damit hast du deine Länge.

Das zweite Werkzeug, das du benutzen könntest, wäre der erweiterte Sinussatz. Häähh?

Nr. 7

weiter c)

zu d)

Graphen einblenden hier...

Wie du deine Wertetabelle
erzeugst weiß ich nicht.
Jedenfalls kannst du deine
Wertetabelle kontrollieren,
wenn du oben den Graphen
einblendest.

Für alle bayerischen Realschüler,
die den Casio-GTR verwenden,
hier der Term den sie im Menü
TABLE eingeben müssen:

Achte darauf, dass dein GTR
auf DEG steht.

Nr. 6

weiter b)

Ich weiß, ich habe bei dieser Teilaufgabe ziemlich viel
gelabert. Aber ich wollte dir
zeigen, wie du durch
Nachdenken Schritt für Schritt
zur Lösung kommst. Wenn das
für dich überflüssig war,
verzeihe mir und meine
herzliche Gratulation.

zu c)

Auch hier hilft es dir, wenn du dir das Ziel deiner Termumformung anschaust. Der Term kommt nicht mehr vor. Du kannst ihn nur mit folgendem Additionstheorem auflösen:

Nr. 5

weiter b)

In der angegebenen Form der Lösung kommt der Teilterm vor. Das ist der entscheidende Hinweis. Denn es gilt:

Wenn du dich daran nicht erinnerst, hast du schlechte Karten. Hier hilft nur Erfahrung und die bekommst du nur durch Übung .

Qk! Das Geheimnis ist gelüftet. Der Zwischenwinkel für die Sinusformel ist und du musst mit dem Sinussatz die Länge der Seite [AB_n] in Abhängigkeit von berechnen.

Nr. 4

weiter b)

Die Sinusformel in Worten lautet:

A = 0,5 * Seite * Seite * Sinus des Zwischenwinkels

Für die Sinusformel musst du noch eine Seite in Abhängigkeit von berechnen. Die Winkel kennst du ja. Es sind ,
=30° und
= 180°-(+30°)

Das Dreieck AB_nC ist nicht rechtwinklig, also bleibt dir als Werkzeug zur Seitenberechnung nur der Sinussatz oder der Kosinussatz. Da du nur eine Seite kennst scheidet der Kosinussatz aus.

Ok! Du musst den Sinussatz ansetzen. Aber für welche Seite, [AB_n] oder [B_nC]?

Schaue auf das Ziel, dort findest du den entscheidenden Hinweis.

Nr. 3

weiter a)

Erweiterter Sinussatz:

mit r = Umkreisradius

Dieser Lehrsatz steht leider nicht in deiner Formelsammlung. Er ist, wie du siehst, aber durchaus nützlich.

zu b)

Du sollst eine Dreiecksfläche berechnen. Die erste Überlegung ist: Welche Werkzeuge stehen zur Verfügung?

Du bist nicht im Koordinatensystem, also bleiben zwei Werkzeuge:

Du brauchst die Sinusformel.

Nr. 8

weiter d)

Ach ja, du musst den roten Schieberegler links betätigen, wenn du deine Werte kontrollieren willst. Passen deine Werte nicht, dann ist entweder dein Term im GTR falsch oder oder der GTR ist falsch eingestellt.

Gehe ins Menü RUN. Hier drückst du die Tasten SHIFT MENU. Mit den Pfeiltasten suchst die Einstellung von ANGLE (=Winkel). Sie muss auf DEG (= degree = Grad) stehen.

zu e)

für = 75°

Die Vorgehensweise mit dem GTR siehe Aufgabe 1 oben. Du musst mit V-Window dein TRIG-Koordinatensystem richtig einstellen -1,6<y<20

GRAPH-F6-F5-F2

Nr. 1

zu a)

Was weißt du von dem Dreieck AB₁C? Du kennst alle drei Winkel mit =50°,
=30° und =100°. Aber dir fehlt eine Seitenlänge. Was du brauchst ist ein Werkzeug, welches dir aus dem Umkreisradius eine Seitenlänge berechnet.

Vielleicht fällt dir ja spontan ein Werkzeug ein. Dann bist du wirklich gut. Doch ich fürchte, die meisten von euch haben zunächst keinen Plan. Es ist wichtig, dass du deine Werkzeugkiste (= Formelsammlung) kennst und weißt wozu und wie die Werkzeuge benutzt werden.

Mir fallen zwei Werkzeuge ein, die du benutzen könntest. Eines davon findest du auch in deiner Formelsammlung, d.h. dies gilt für die Formelsammlungen, die für die bayerische Realschule zugelassen sind. Schalte mal links meine Lösungsidee ein.

Aufgabe 3 Gegeben ist das Dreieck ABC mit . Der Punkt R teilt die Strecke [AB] im Verhältnis 2:3, d.h. es gilt: Der Punkt R ist Mittelpunkt der Strecke [AC], die Punkte Q_n wandern auf der Strecke [BC], die Winkel BPQ_n haben das Maß .

a)	Zeige durch Rechnung, dass gil: =49,1°

b)	Begründe: Die Winkel PQ_nB haben das Maß 180° - ( + 49,1°)

c)	Berechne die Länge der Strecken [PQ_n] in Abhängigkeit von . [Ergebnis:

d)	Die Strecke [PQ₁] hat minimale Länge. Gib das zugehörige Winkelmaß an. Deute die Lage der Strecke [PQ₁] geometrisch

e)	Die Strecke [RQ₂] verläuft parallel zur Strecke [AB]. Berechne für diesen Fall die Länge der Strecke [PQ₂].

f)	Stelle den Flächeninhalt der Dreiecke PBQ_n in Abhängigkeit von dar. [Ergebnis: ]

g)	Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks PBQ₁.

h)	Aus welchem Intervall kann man wählen, damit Dreiecke PQ_nR existieren?

i)	Berechne den Flächeninhalt der Dreiecke PQ_nR in Abhängigkeit von . [Ergebnis: ]

k)	Für welche Belegung von haben das Dreieck PBQ₃ und das Dreieck PQ₃R den gleichen Flächeninhalt?

Klicke auf 1, 2 usw. um meine Lösungen im rechten Rand einzublenden. Außerdem kannst du das Arbeitsblatt mit der Maus am roten Balken packen und zusammen mit den Lösungen rechts daneben nach links ziehen. Bei einem kleinen Bildschirm hast du dann bessere Sicht.

Nr. 1

Im Dreieck ABC kennst du
zwei Seiten und den
Zwischenwinkel. Noch kannst
den Winkel nicht mit dem
Sinussatz berechnen. Zunächst
musst du mit dem Kosinussatz
die Länge der Seite [BC]
berechnen.

Jetzt kannst du zur Berechnung
von den Sinussatz ansetzen.

Die Winkelsumme im Dreieck
PBQ_n beträgt 180°.

Nr. 9

weiter k)

Wenn du diese Gleichung zu Fuß
lösen willst, d.h. ohne Nullstellenbestimmung
im GRAPH-Menü deines GTR, dann
brauchst du als Werkzeug folgendes
Additionstheorem:

Wenn du die Gleichung mit Nullstellenbestimmung
setzt du eine Seite der Gleichung gleich Null.

Nr. 8

weiter i)

Das Dreieck APR ist also zuzmindest gleichschenklig. Da gilt: =60°
ist es sogar ein gleichseitiges Dreieck, d.h. der Winkel RPA hat das Maß 60°.

Somit lässt sich der Winkel Q_nPR wie folgt in Abhängigkeit von berechnen:

Damit kennst du im roten Dreieck PQ_nR zwei Seiten und den Zwischenwinkel.

Du musst die beiden Terme
für die Flächeninhalte gleichsetzen.
Diese Gleichung zu lösen, solltest
du schaffen. Dein GTR schafft sie
auf jeden Fall

Nr. 7

weiter h)

Hier geht es um den Flächeninhalt
des roten Dreiecks PQ_nR . Es ist
sicher keine schlechte Vermutung,
dass unser Werkzeug wieder
die Sinusformel ist. Die Länge
der Strecke [PQ_n] kennst du in
Abhängigkeit von . Die Strecke
[PR] ist konstant. Vielleicht
könnte man die ja berechnen.

Betrachte einmal das Dreieck APR
etwas näher. Da R der Mittelpunkt
der Strecke [AC] gilt:

Nr. 6

Wenn du links im Arbeitsblatt
den roten Punkt Q_n mit der
Maus nach B bzw. C ziehst,
kannst du das Intervall sehen.

Zu einer solchen Vermutung
kannst du natürlich bei deiner
Zeichnung auf Papier auch
kommen. Nur wie beweist du sie?

Du musst nachweisen, dass,
wenn Q_n auf C liegt, das
Dreieck APC rechtwinklig ist.
Du berechnest die Länge der
Strecke [PC] und zeigst, dass
im Dreieck APC der Satz des
Pythagoras gilt.

Das Werkzeug ist der
Kosinussatz.

Nr. 5

weiter e)

Du berechnest mit Hilfe der
Ähnlichkeit bzw. dem
Vierstreckensatz die Länge
der Strecke [Q₂C]. Mit dem
Ergebnis kannst du die Länge
der Strecke [BQ₂] berechnen,
da du die Länge der Strecke
[BC] schon in Teilaufgabe a)
berechnet hast.

Das Werkzeug ist die Sinusformel:

Nr. 4

weiter e)

Die Parallele zu einer
Dreieckseite durch den
Mittelpunkt einer Seite
halbiert die dritte Seite, d.h.
der Punkt Q₂ halbiert die
Strecke [BC]. Die Länge der
Strecke [BC] haben wir in Teilaufgabe a) berechnet.
Du kennst also auch die
Länge der Strecke [BQ₂].

Mit dem Kosinussatz im
Dreieck PBQ₂ berechnest
du die Länge der Strecke
[PQ₂]. Denn du kennst ja
zwei Seiten und den
Zwischenwinkel.

Es gibt noch einen zweiten
schnellen Lösungsweg zur
Berechnung der Streckenlänge
von [BQ₂], falls dir das mit der Mittelparallelen nicht einfällt.

Das Dreieck ABC ist ähnlich
dem Dreieck RQ_nC.

Nr. 10

weiter k)

Im GRAPH-Menü deines GTR gibst
du jetzt folgende Funktion ein:

Mit einem Casio-GTR bestimmst
du die Nullstellen mit folgender
Tastenfolge:

GRAPH-F6-F5-F1

Dein Koordinatensystem sollte
allerdings das für trigonometrische
Funktionen sein. Falls dein GTR
falsch eingestellt ist, wähle mit F3
das V-Window. Dort wählst du
den mit dem Menü-Punkt TRIG
das richtige Koordinatensystem.
Mit dem Menü-Punkt RANG stellst du den Definitionsbereich ein. Dann kann's losgehen.

Du kannst ja auch einmal den
Gleichungslöser im EQUA-Menü
versuchen.

Nr. 2

Im Dreieck PBQ_n setzt du den
Sinussatz an. Hierzu musst du
aber zuerst die Länge der
Strecke [PB] berechnen.

Jetzt setzt du den Sinussatz an.

Nr. 3

Im Term steht
im Nenner ein Sinuswert.
Dieser Sinuswert kann nur
Werte zwischen 0 und 1
annehmen. Ist der Sinuswert <1,
dann ist der Termwert > 4,5.
Nur bei einem Sinuswert = 1
ist der Termwert 4,5. Die
minimale Streckenlänge
ist also 4,5 cm.

Der Sinuswert ist 1 für sin 90°.
Damit gilt: 49,1°+ =90°
=> = 40,9°

Die geometrische Deutung
dieses Ergebnisses kannst du
dir links anschauen, wenn du
mit der Maus den roten Punkt
Q_n auf der Strecke [BC] ziehst.

Was siehst du?

Die minimale Strecke [PQ₁] ist
das Lot von P auf [BC].

Die Strecke [RQ₂] ist die
Mittelparallele im Dreieck ABC.
Denke tief, tief nach.

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