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Trigonometrie 26
Funktionale Abhängigkeit in der Ebene I
(Wahlpflichtfachgruppe I)

 
     
 

Aufgabe 1

 
 


In den gleichschenkligen Dreiecken ABCn (siehe Abbildung) ist M Mittelpunkt der Basis [AB]. Der Halbkreis um M berührt die Schenkel in den Punkten En und Fn. Die Winkel BACn haben das Maß .

Es gilt:

 
 
     
 
a) Stelle den Inhalt der blau markierten Fläche ADnFn in Abhängigkeit von dar.
   
b)

Zeige, dass sich der Inhalt der blauen Fläche in folgender Form darstellen lässt:

   
c) Aus welchem Intervall kann man wählen?
   
d)

Tabellarisiere für mit . Zeichne den zugehörigen Graphen.

(Für die Zeichnung: 1 cm 10°; 1 cm 0,5 cm²)

Lies den maximalen Flächeninhalt und das zugehörige Maß ab. Bestätige das Ergebnis mit dem GTR:

   
e)

Zeige, dass sich der Flächeninhalt der Dreiecke ADnFn wie folgt in Abhängigkeit von darstellen lässt:

   
f) Zeige, dass sich die Darstellung des Flächeninhalts in e) auf folgende Form bringen lässt:
   
g) Tabellarisiere A() für mit . Zeichne den zugehörigen Graphen in das Diagramm in d) ein. Lies Amax und das zugehörige Winkelmaß ab.
 
     
  Klicke auf 1, 2 usw. um meine Lösungen im rechten Rand einzublenden.  
     
 
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Aufgabe 2

Der Umkreisradius von Dreiecken ABnC beträgt 4 cm. Die Winkel BnAC haben das Maß und die Winkel CBnA das Maß = 30°.

 
 

 

 
 
a) Zeichne das Dreieck AB1C für = 50°.
   
b)

Zeige, dass sich der Flächeninhalt der Dreiecke ABnC wie folgt in Abhängigkeit von darstellen lässt:

   
c) Zeige, dass sich der Term für den Flächeninhalt in b) auf folgende Form bringen lässt:
   
d) Tabellarisiere A() für für . Stelle anschließend den Zusammenhang zwischen dem Winkelmaß und dem Flächeninhalt grafisch dar.
[Für die Zeichnung: 1 cm 15°; 1 cm 2 cm²]
   
e) Lies in d) die Belegung von ab, für die der Flächeninhalt maximal ist. Gib Amax an. Bestätige dein Ergebnis mit dem GTR.
 
     
  Klicke auf 1, 2 usw. um meine Lösungen im rechten Rand einzublenden.  
     
 
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Aufgabe 3

Gegeben ist das Dreieck ABC mit .
Der Punkt R teilt die Strecke [AB] im Verhältnis 2:3, d.h. es gilt:

Der Punkt R ist Mittelpunkt der Strecke [AC], die Punkte Qn wandern auf der Strecke [BC], die Winkel BPQn haben das Maß .

   
a) Zeige durch Rechnung, dass gil: =49,1°
   
b) Begründe: Die Winkel PQnB haben das Maß
180° - ( + 49,1°)
   
c) Berechne die Länge der Strecken [PQn] in Abhängigkeit von .

[Ergebnis:
 
 
 
d) Die Strecke [PQ1] hat minimale Länge. Gib das zugehörige Winkelmaß an. Deute die Lage der Strecke [PQ1] geometrisch
   
e) Die Strecke [RQ2] verläuft parallel zur Strecke [AB]. Berechne für diesen Fall die Länge der Strecke [PQ2].
   
f)

Stelle den Flächeninhalt der Dreiecke PBQn in Abhängigkeit von dar.

[Ergebnis: ]

   
g) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks PBQ1.
   
h) Aus welchem Intervall kann man wählen, damit Dreiecke PQnR existieren?
   
i)

Berechne den Flächeninhalt der Dreiecke PQnR in Abhängigkeit von .

[Ergebnis: ]

   
k) Für welche Belegung von haben das Dreieck PBQ3 und das Dreieck PQ3R den gleichen Flächeninhalt?

Klicke auf 1, 2 usw. um meine Lösungen im rechten Rand einzublenden. Außerdem kannst du das Arbeitsblatt mit der Maus am roten Balken packen und zusammen mit den Lösungen rechts daneben nach links ziehen. Bei einem kleinen Bildschirm hast du dann bessere Sicht.

 
     
 
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© 2002 Wolfgang Appell

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