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Geometrie mit Spaß lernen
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Trigonometrie 27
Funktionale Abhängigkeit in der Ebene II
(Wahlpflichtfachgruppe I)
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Aufgabe 1
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Gegeben sind die Dreiecke ABCn. Die Winkel ACnB haben das Maß  = 60° und die Winkel BACn das Maß  . Ferner gilt A(1/4); B(9/-2) |
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| a) |
Berechne die Länge der Strecke [AB] und den Umkreisradius r. Zeichne das Dreieck ABC1 für = 70°.
[Ergebnis:  ] |
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| b) |
Zeige, dass sich die Länge der Strecken [ACn] wie folgt in Abhängigkeit von darstellen lässt:
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| c) |
Zeige, dass sich der Term in b) auf folgende Form bringen lässt:
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| d) |
Berechne die Länge der Strecke [AC1].
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| e) |
Für welches Maß von hat die Strecke [AC0] maximale Länge? Gib diese Länge an.
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Klicke auf 1, 2 usw. um meine Lösungen im rechten Rand einzublenden. Du kannst das Arbeitsblatt (Applet) mit der Maus am roten Balken packen und nach links schieben. |
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| Nr. 1 |
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a)
Erinnerst du dich an den Randwinkelsatz?
Alle Randwinkel über einer Kreissehne haben das gleiche Maß und sind halb so groß wie der zugehörige Mittelpunktswinkel.
Daher gilt im Dreieck AFM:
b)
Mit Sinussatz im Dreieck ABC gilt:
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Nr. 4 |
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weiter b)
Nanu, das ist ja das Ergebnis von Teilaufgabe c) . Irgendwie scheint sich der Aufgabenbastler einen anderen Lösungsweg ausgedacht zu haben. Du bist natürlich noch nicht fertig. Auch wenn du unabhängig von der Lösung in Teilaufgabe b) auf die Lösung von Teilaufgabe c) gekommen bist.
Du machst jetzt, um Teilaufgabe b) zu lösen, genau das, was sich der Aufgabenbastler für die Lösung von Teilaufgabe c) vorgestellt hat. Du formst die Lösung in Teilaufgabe b) solange um bis du auf den Term oben kommst. Du arbeitest sozusagen rückwärts und schreibst es dann vorwärts auf. Das ist übrigens eine Strategie die oftmals weiterhilft.
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Jetzt schreibst du den Lösungsweg vorwärts hin:
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Nr. 5
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c)
Die Arbeit ist schon erledigt. Du musst sie nur noch einmal vollständig zu Papier bringen.
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d)
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e)
Der größtmögliche Wert für cos (-30°) ist 1.
cos (-30°) = 1
-30°=0°
=30°
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| Überprüfe deine Lösungen mit dem Arbeitsblatt links. |
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Aufgabe 2
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Im regelmäßigen Fünfeck ABCDE liegen die Punkte Pn auf der Seite [CD]. Die Winkel BAPn haben das Maß  . |
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| a) |
Begründe: Die Strecke [CE] verläuft parallel zur Strecke [AB]. |
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| b) |
Der Abstand der Seite [AB] von der Diagonalen [CE] beträgt 3,5 cm.
Zeige durch Rechnung: Die Seiten des Fünfecks sind 3,68 cm lang. |
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| c) |
Zeichne das Fünfeck ABCDE und das Dreieck ACP1 für
=50° |
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Klicke auf 1, 2 usw. um meine Lösungen im rechten Rand einzublenden. |
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| Nr. 1 |
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a)
Die Winkelsumme im Fünfeck beträgt 540°, d.h. jeder Winkel ist 108° groß.
=> Die Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck CDE sind 36° groß.
=> Der Winkel AEC = 72°
=> Die Winkel AEC und BAE ergänzen sich zu 180°. Sie sind Ergänzungswinkel.
=> [AB]||[EC]
b)
Du fällst von A aus das Lot auf die Strecke [EC]. Der Lotfußpunkt heißt F. Im Dreieck AFC gilt:
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Nr. 7 |
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weiter h)
Als Lösung zeigt dein GTR dann (nach einigem Nachdenken)
= 58,41°
Schauen wir einmal, ob wir das auch zu Fuß herausbringen.
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Nr. 6 |
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weiter h)
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Jetzt gehst du in Graph-Menü deines GTR und gibst den Rechtsterm als Funktionsterm ein und lässt dir dann mit F6 den Graph der Funktion zeichnen.
Sehr wahrscheinlich ist, dass dein Koordinatensystem für Trigo-Gleichungen erst umgestellt werden muss. Mit der Funktionstaste F3 wählst du "V-Window" (Casio-GTR, gilt alles nur für den Casio-GTR). Dort angekommen wählst du mit F2 "TRIG"und gibst deinen Definitionsbereich ein. Der Startwert ist 36° und der Endwert ist 72°.
Mit EXE kehrst du zurück und wählst wieder F6 zum Zeichnen. Danach gehst du mit F5 zu G-Solv und bestimmst dort mit F1 die Nullstelle(n). |
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| Nr. 5 |
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weiter h)
Wenn du an einer bayerischen Realschule bist, dann darfst du einen graphischen Taschenrechner verwenden. In diesem Fall ist die Lösung einer solchen Gleichung ein Kinderspiel. Das gilt eigentlich für jedwede Gleichung.
Die Lösungsmethode heißt "Nullstellenbestimmung". Ohne graphischen Taschenrechner musst du obige Gleichung unter Verwendung der Additionstheoreme äquivalent umformen und das ist ziemlich mühsam.
Ich werde dir beide Methoden vorführen. Zunächst einmal zeige ich dir die Lösung mittels der bestimmung der Nullstellen, denn auf diese Weise dürfen es meine Schüler machen.
Du setzt eine Seite der Gleichung gleich 0.
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| Nr. 4 |
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weiter g)
Zur Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks ACPn benutzt du die Sinusformel. Du erinnerst dich?
ADreieck = 0,5*Seite*Seite*sin Zwischenwinkel
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h)
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| Diesen Wert setzt du jetzt in das Ergebnis von Teilaufgabe g) ein. |
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| Nr. 3 |
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weiter e)
Im Dreieck ABC gilt:
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| Sinussatz im Dreieck ACPn: |
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f)
Der Wert eines Bruches ist dann am kleinsten, wenn der Wert des Nenners am größten ist. Der größtmögliche Nennerwert ist 1. Also gilt:
sin (144°-) = 1
144°- = 90°
=54° |
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| Nr. 2 |
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c)
Wenn ich dir noch erklären muss wie du ein regelmäßiges Fünfeck zeichnen kannst, dann bist du hier fehl am Platze.
d)
Du kannst links im Arbeitsblatt den Punkt P mit der Maus auf [CD] bewegen und das Intervall für beobachten. Warum gehört die linke Grenzzahl nicht zum Intervall, die rechte aber sehr wohl?
e)
Im Dreieck ACPn gilt:
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| Damit du die Länge von [APn] darstellen kannst (Sinussatz), musst du zunächst die Länge der Strecke [AC] berechnen. Dies gelingt dir mit dem Kosinussatz im Dreieck ABC. |
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Nr. 8
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i)
Wie du links siehst, ist das Fünfeck schon passend in zwei Teilflächen zerlegt und zwar in das Dreieck CDE und das Trapez ABCE.
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Das Dreieck ACPn hat dann maximalen Flächeninhalt, wenn Pn auf D liegt.
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Aufgabe 3
Gegeben ist das Dreieck ABC. Es gilt: A(1/-2); B(9/4); 
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| Nr. 1 |
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a)
Das Werkzeug zur Berechnung von heißt Kosinussatz. Den Winkel  berechnest du dann am schnellsten mit dem Sinussatz.
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b)
Lösungsidee siehe links!
 =Außenwinkel + Steigungswinkel
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Nr. 7 |
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weiter f) |
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g)
Hier solltest du aber mit der angegebenen Lösung von f) arbeiten.
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GRAPH-F6-F5-F1
(Casio-GTR)
=40,97°
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| Nr. 6 |
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weiter f)
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Wenn du in die angegebene Lösung schaust, dann berechnet der Aufgabenbastler den Winkel BPQ mit 29,74°. Auch hier ist es ein Rundungsproblem. Wir haben die Streckenlänge von [PQ] auf 3.22 LE gerundet.
Diese geringen Abweichungen durch Runden sind keine Fehler!
Rechne ruhig mit deinem Ergebnis weiter. Ein kleiner Hinweis auf das Rundungsproblem wäre vielleicht angebracht. Es ist nicht unbedingt notwendig. Aber es macht einen guten und kompetenten Eindruck. |
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| Nr. 5 |
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weiter e)
Du bringst 84,78° heraus? Hast du bedacht, dass zu einem positiven Sinuswert im Intervall [0°;180°] zwei Winkelwerte existieren? Warum mein Arbeitsblatt 94,76° anzeigt? Nun gut, dein und mein PC runden beim Rechnen nicht. Du hast die Länge der Strecke [CP] auf zwei Kommastellen gerundet. Das macht die Abweichung aus.
f)
Den Flächeninhalt der Dreiecksfläche PQRn berechnest du, wie fast immer bei Aufgaben, die ihren Schauplatz im Koordinatensystem haben und winkelabhängig sind, mit der Sinusformel. Dazu brauchst du zuerst einmal die Länge der Strecke [PQ] und den Zwischenwinkel BPQ.
Mit  gilt: |
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| Nr. 4 |
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weiter e)
Die linke Intervallgrenze ist offensichtlich. Du ziehst Rn auf den Punkt A. Aber für die rechte Intervallgrenze bedarf es etwas Rechenaufwand.
Du musst den Winkel CPA berechnen. Was kennst du im Dreieck APC?
Du kennst zwei Seiten und den Zwischenwinkel. Damit kannst du mit dem Kosinussatz die Länge der Strecke [CP] berechnen und dann kannst du den Sinussatz einsetzen. |
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| Nr. 3 |
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d)
Du kannst links den roten Punkt Rn mit der Maus ziehen.
Um die Strecke [AB] im Verhältnis 3:2 zu teilen brauchst du eine Hilfskonstruktion. Du zeichnest eine 5 LE große Hilfsstrecke [AH], die parallel zu einer der Achsen ist. Ich habe sie parallel zur x-Achse gezeichnet, weil mir hier die Hilfskonstruktion nicht im Wege ist. Die Strecke [AH] lässt sich durch Abmessen bequem im Verhältnis 3:2 teilen. Du erhältst den Teilungspunkt J.
Du zeichnest die Strecke [BH] und eine Parallele zu [BH] durch J. Diese Parallele teilt die Strecke [AB] ebenfalls im Verhältnis 3:2 (Eigenschaft der zentrischen Streckung).
e)
Wenn du links den Punkt Rn mit der Maus ziehst, dann kannst du das Intervall ablesen
Aber wie berechnest du die Intervallgrenzen? |
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Nr. 8
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weiter g)
Ohne graphischen Taschenrechner bleibt dir nichts anderes übrig als die Gleichung unter Anwendung der entsprechenden Additionstheoreme zu lösen.
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h)
Bild I beschreibt die Länge der Strecke [PRn] in Abhängigkeit von . Die Streckenlänge hat ein Minimum (Lot von P auf [AC]). Demgemäß beschreibt Bild II den Flächeninhalt der Dreiecke PQRn in Abhängigkeit von .
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Diese Seite wurde zuletzt am
Montag 2 November, 2009 23:23
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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cm
an. Berechne anschließend dessen kartesische Koordinaten und danach die Koordinaten des Punktes C. 
. Zeichne das Dreieck PQR1 für 
