Figurine12
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometrie mit Spaß lernen

 
 
 

Trigonometrie 28
Funktionale Abhängigkeiten im Raum
(Wahlpflichtfachgruppe I)

 
     
 

Aufgabe 1

Die Diagonalen [AC] und [BD] der Raute ABCD schneiden sich im Punkt M. Die Raute ist die Grundfläche einer Pyramide ABCDS. Die Spitze S befindet sich senkrecht über dem Eckpunkt C. Auf der Seitenkante [AS] liegen die Punkte Pn.

Es gilt:

   
a) Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCDS.
   
b) Die Punkte Pn bilden zusammen mit den Punkten B und D gleichschenklige Dreiecke BDPn. Zeichne das Dreieck BDP1 für =70° ein und berechne seinen Flächeninhalt.

[Teilergebnis: = 36,9°]
 
 
     
 
c)

Aus welchem Intervall kann man wählen, so dass Dreiecke BDPn existieren?

[Ergebnis: ]

   
d)

Berechne den Flächeninhalt der Dreiecke BDPn in Abhängigkeit von .

[Ergebnis: ]

   
e) Eines der Dreiecke BDPn hat minimalen Flächeninhalt. Berechne Amin.
   
f)

Die Winkel BPnD in den Dreiecken BDPn haben das Maß . Zeige, dass zwischen den Winkelmaßen und folgender Zusammenhang gilt:

   
g)

Das Dreieck BDP0 ist gleichseitig. Berechne das zugehörige Winkelmaß .

[Ergebnis: =118,7°]

   
h) Berechne die Oberfläche der Pyramide ABDP0.
 
     
  Klicke auf 1, 2 usw. um meine Lösungen im rechten Rand einzublenden.  
     
 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
 
     
 
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)  
 
     
 

Aufgabe 2

Gegeben ist die Pyramide ABCS. Die Grundfläche ist ein gleichseitiges Dreieck ABC mit der Seitenlänge 8 cm. Die Spitze S befindet sich senkrecht über dem Schwerpunkt M der Grundfläche. Die Dreiecke PnQnRn liegen parallel zur Grundfläche ABC. Der Punkt M ist Spitze der Pyramiden PnQnRnM.

Es gilt:

Die Zeichnung erspare ich dir diesmal. Benutze unten mein Arbeitsblatt. Aber du darfst dir natürlich überlegen, wie du so ein Schrägbild hinbekommen könntest. Dazu gebe ich dir einen Hinweis. Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.

 
     
 
a)

Zeige, dass der Winkel MAS das Maß 60° hat.

   
b) Stelle die Länge in Abhängigkeit von dar.

[Ergebnis: ]
   
c) Zeige durch Rechnung, dass für die Längen gilt:

   
d) Berechne die Länge der Seiten [PnQn] der Dreiecke PnQnRnn in Abhängigkeit von .

[Ergebnis:
]
   
e) Zeige durch Äquivalenzumformung:
   
f) Berechne durch Äquivalenzumformung die Belegung von , für die alle Kanten der Pyramide P0Q0R0M gleich lang sind.
 
     
 
1
2
3
4
5
 
     
 
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)  
 
     
 

Aufgabe 3

Das gleichschenklige Dreieck ABC mit der Basis [BC] ist Grundfläche einer Pyramide ABCS. Der Punkt E ist Mittelpunkt der Strecke [BC]. Die Spitze S der Pyramide befindet sich senkrecht über dem Punkt A. Der Punkt M liegt auf der Strecke [AE].

Es gilt:

 
 
a) Zeichne ein Schrägbild der Pyramide (Rißachse: AE; q = 0,5; = 45°)
   
b) Parallelen zu Strecke [BC] schneiden die Kante [BS] in den Punkten Pn; die Kante [CS] in den Punkten Qn und die Strecke [ES] in den Punkten Tn.

Die Winkel EMTn haben das Maß . Zeichne die Strecke [MT1] für =80° und das zugehörige Dreieck MP1Q1 in das Schrägbild ein.
   
c)

Zeige, dass sich die Länge wie folgt in Abhängigkeit von darstellen lässt:

   
d) Zeige, dass für die Länge gilt:

   
e) Berechne durch Äquivalenzumformung die belegungen für , für die gilt:

   
f)

Zeige, dass sich die Streckenlängen so in Abhängigkeit von darstellen lassen:


   
g) Zeige durch Termumformung, dass gilt:

   
h) Zeige, dass sich der Flächeninhalt der Dreiecke PnMQn wie folgt in Abhängigkeit von darstellen lässt:

   
i) Berechne mit dem GTR die Belegung von , für die das Dreieck P3MQ3 einen Flächeninhalt von 12 cm² .
 
     
 
1
2
3
4
5
6
 
     
 
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)  
 
     
 
Zurück zu Seite 27 geht es hier...  
 
     
Diese Seite wurde zuletzt am Mittwoch 13 Januar, 2010 20:06 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

Free counter and web stats