Trigonometrie 28 - Funktionale Abhängigkeiten im Raum

Trigonometrie 28
Funktionale Abhängigkeiten im Raum
(Wahlpflichtfachgruppe I)

Aufgabe 1 Die Diagonalen [AC] und [BD] der Raute ABCD schneiden sich im Punkt M. Die Raute ist die Grundfläche einer Pyramide ABCDS. Die Spitze S befindet sich senkrecht über dem Eckpunkt C. Auf der Seitenkante [AS] liegen die Punkte P_n. Es gilt:

a)	Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCDS.

b)	Die Punkte P_n bilden zusammen mit den Punkten B und D gleichschenklige Dreiecke BDP_n. Zeichne das Dreieck BDP₁ für =70° ein und berechne seinen Flächeninhalt. [Teilergebnis: = 36,9°]

c)	Aus welchem Intervall kann man wählen, so dass Dreiecke BDP_n existieren? [Ergebnis: ]

d)	Berechne den Flächeninhalt der Dreiecke BDP_n in Abhängigkeit von . [Ergebnis: ]

e)	Eines der Dreiecke BDP_n hat minimalen Flächeninhalt. Berechne A_min.

f)	Die Winkel BP_nD in den Dreiecken BDP_n haben das Maß . Zeige, dass zwischen den Winkelmaßen und folgender Zusammenhang gilt:

g)	Das Dreieck BDP₀ ist gleichseitig. Berechne das zugehörige Winkelmaß . [Ergebnis: =118,7°]

h)	Berechne die Oberfläche der Pyramide ABDP₀.

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Nr. 1

Schrägbildachse [AC];
q = 0,5; =45°

b)

Winkel = 70° in M an [AM] antragen.

Im Arbeitsblatt links kannst du den roten Punkt P_n mit der Maus auf [AS] bewegen.

Um die Fläche des Dreiecks BDP_n berechnen zu können benötigst du die Länge der Höhe [MP_n]. berechnest du im Dreieck AMP_n mit dem Sinussatz.
Doch dazu benötigst du den Winkel .

Nr. 8

weiter h)

Wenn du bei deinen Zwischenergebnissen auf das Wurzelziehen verzichtest, dann hast du ein paar Probleme mit dem Runden weniger.

Nr. 7

weiter h)

Um mit dem Kosinussatz den Winkel BAP₀ berechnen zu können, benötigst du zuerst die Länge der Strecke [BP₀].

Nr. 6

Für die anderen beiden Seitenflächen der Pyramide ABDP₀ gilt:

Du brauchst also nur ein Dreieck berechnen. Als Flächenformel benutzt du die Sinusformel im Dreieck ABP₀. Dazu sind aber einige Vorarbeiten notwendig. Welche? Schau dir die Flächenformel an.

Nr. 5

f)

Im rechtwinkligen Dreieck BMP_n gilt:

Es gilt: =60°

Nr. 4

weiter d)

e)

Der Wert eines Bruches ist dann am kleinsten, wenn der nenner am größten ist. Der größtmögliche Nenner ist 1.

=> A_min = 18 cm²

für =53.1°

Nr. 9

weiter h)

Das Volumen der Pyramide ABDP₀ beträgt übrigens 76,4 cm³. Versuche es doch einmal zu berechnen. Du kannst dir auch selber Aufgaben stellen. Doch das geht!

Nr. 2

weiter b)

Die untere Grenze für den Winkel

ist klar. Der Winkel

ist am größten für P_n = S.

Du berechnest

im Dreieck AMS mittels des Sinussatzes im Dreieck AMS. Auch eine Lösung mit Hilfe des Kosinussatzes ist machbar. Für beide Lösungswege brauchst du aber die Längen von [MS] und [AS].

Nr. 3

weiter c)

Du gibst als Antwort:

d)

Den Lösungsweg bist du schon bei Teilaufgabe b) gegangen. Beachte aber:

sin(180°-) = sin

Aufgabe 2

Gegeben ist die Pyramide ABCS. Die Grundfläche ist ein gleichseitiges Dreieck ABC mit der Seitenlänge 8 cm. Die Spitze S befindet sich senkrecht über dem Schwerpunkt M der Grundfläche. Die Dreiecke P_nQ_nR_n liegen parallel zur Grundfläche ABC. Der Punkt M ist Spitze der Pyramiden P_nQ_nR_nM.

Es gilt:

Die Zeichnung erspare ich dir diesmal. Benutze unten mein Arbeitsblatt. Aber du darfst dir natürlich überlegen, wie du so ein Schrägbild hinbekommen könntest. Dazu gebe ich dir einen Hinweis. Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.

a)	Zeige, dass der Winkel MAS das Maß 60° hat.

b)	Stelle die Länge in Abhängigkeit von dar. [Ergebnis: ]

c)	Zeige durch Rechnung, dass für die Längen gilt:

d)	Berechne die Länge der Seiten [P_nQ_n] der Dreiecke P_nQ_nR_nn in Abhängigkeit von . [Ergebnis: ]

e)	Zeige durch Äquivalenzumformung:

f)	Berechne durch Äquivalenzumformung die Belegung von , für die alle Kanten der Pyramide P₀Q₀R₀M gleich lang sind.

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Nr. 1

Der Schwerpunkt eines Dreiecks teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1. In der Aufgabe gilt also:

Für die Höhe im gleichseitigen Dreieck findest du in deiner Formelsammlung eine Formel, die die Höhe in Abhängigkeit von der Seitenlänge a darstellt. Du kannst natürlich auch die Länge der Höhe [AD] mit dem Pythagoras im Dreieck ABD berechnen.

Nr. 4

weiter d)

f)

Wenn alle Kanten gleich lang sind, dann gilt:

Nr. 3

2. Lösung mittels der Ähnlichkeitssätze

Nr. 2

Nr. 5

weiter f)

Aufgabe 3

Das gleichschenklige Dreieck ABC mit der Basis [BC] ist Grundfläche einer Pyramide ABCS. Der Punkt E ist Mittelpunkt der Strecke [BC]. Die Spitze S der Pyramide befindet sich senkrecht über dem Punkt A. Der Punkt M liegt auf der Strecke [AE].

Es gilt:

a)	Zeichne ein Schrägbild der Pyramide (Rißachse: AE; q = 0,5; = 45°)

b)	Parallelen zu Strecke [BC] schneiden die Kante [BS] in den Punkten P_n; die Kante [CS] in den Punkten Q_n und die Strecke [ES] in den Punkten T_n. Die Winkel EMT_n haben das Maß . Zeichne die Strecke [MT₁] für =80° und das zugehörige Dreieck MP₁Q₁ in das Schrägbild ein.

c)	Zeige, dass sich die Länge wie folgt in Abhängigkeit von darstellen lässt:

d)	Zeige, dass für die Länge gilt:

e)	Berechne durch Äquivalenzumformung die belegungen für , für die gilt:

f)	Zeige, dass sich die Streckenlängen so in Abhängigkeit von darstellen lassen:

g)	Zeige durch Termumformung, dass gilt:

h)	Zeige, dass sich der Flächeninhalt der Dreiecke P_nMQ_n wie folgt in Abhängigkeit von darstellen lässt:

i)	Berechne mit dem GTR die Belegung von , für die das Dreieck P₃MQ₃ einen Flächeninhalt von 12 cm² .

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Nr. 1

a) und b)

Diese beiden Teilaufgaben solltest du wirklich selbstständig können. Nur ein Hinweis: In meinem Arbeitsblatt unten kannst du den roten Punkt Tn mit der Maus auf [ES] bewegen.

c)

Damit du im Dreieck im Dreieck MET_n mit dem Sinussatz bestimmen kannst musst du zuerst den Winkel MET_n berechnen.

Nr. 6

weiter i)

Der Lösungsweg mit dem GTR heißt Nullstellen-Bestimmung. Zu Fuß lässt sich die Gleichung für einen Realschüler nicht lösen, d.h. fast nicht.

Du setzt eine Gleichungsseite gleich 0 und gibst den obigen Rechtsterm als Funktion im Graph-Menü ein. Mit F6 lässt du dir den Funktionsgraphen zeichnen. Falls du Nichts siehst, dann hast du das falsche Koordinatensystem eingestellt. Mit F3 wählst du V-Window und dort das Koordinatensystem "TRIG". Im Untermenü "RANG" (=range=Bereich) stellst du deinen Bereich für zwischen 0° und 180° ein. Zurück, wählst du mit F5-F1 die Nullstellenbestimmung. Folgende Dokumentation musst du angeben:

GRAPH-F6-F5-F1
(Casio-GTR)
= 82,1 °

Nr. 5

weiter h)

i)

Diese Teilaufgabe lässt sich eigentlich nur von Schülern lösen, die einen GTR benutzen dürfen. Aber man kann sie natürlich auch zu Fuß rechnen.

Nr. 4

weiter f)

h)

Warum hat dich wohl der Aufgabenbastler gerade in Teilaufgabe g) diese Äquivalenzumformungen machen lassen? Du hast es erfasst, du brauchst sie hier. Meistens sind die Aufgaben sinnvoll, äußerst sinnvoll, aufgebaut. Benutze diese Hinweise.

Nr. 3

f)

Es gibt zwei Hinweise, die du auf den Lösungsweg hast. Einmal die angegebene Lösung und zum anderen hat dich der Aufgabenbastler unmittelbar vorher berechnen lassen . In der Klammer steht eine Differenz. Das riecht nach Ähnlichkeit von Dreiecken bzw. Vierstreckensatz.

Das sieht ja man schon gut aus. Erahnst du was die Differenz in der Lösung bedeutet?

Nr. 2

d)

Sinussatz im Dreieck MET_n:

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