Trigonometrie 29 Funktionale Abhängigkeiten bei Rotationskörpern (Wahlpflichtfachgruppe I)
Aufgabe 1
Der Punkt D ist Mittelpunkt der Basen [AnCn] von gleichschenkligen Dreiecken AnBCn. Die Winkel C nBAn haben das Maß . Die Länge der Strecke [BD] beträgt 6 cm.
a)
Zeichne das Dreieck A1BC1 für = 50°.
b)
Aus welchem Intervall kann man wählen?
c)
Zeige, dass sich die Längen der Strecken [AnCn] bzw. [BAn] wie folgt in Abhängigkeit von darstellen lassen:
d)
Im Dreieck A2BC2 beträgt die Länge der Basis [A2C2] 75 % der Länge der Strecke [A2B]. Berechne das zugehörige Winkelmaß .
e)
Die Dreiecke AnBCn rotieren um die Gerade BD als Achse. Dabei entstehen Rotationskörper. Zeige das sich das Volumen bzw. die Mantelfläche der Rotationskörper wie folgt in Abhängigkeit von darstellen lassen:
f)
Einer der Rotationskörper hat eine Mantelfläche von 18cm². Berechne das zugehörige Winkelmaß .
Klicke auf 1, 2 usw. um meine Lösungen im rechten Rand einzublenden.
1
2
3
4
5
Nr. 1
a)
Mit dem roten Schieberegler für kannst du die Dreiecke AnBCn in Abhängigkeit von darstellen.
b)
0° < < 180°
c)
Nr. 4
f)
Diese quadratische Gleichung kannst du entweder zu Fuß mit der Lösungsformel berechnen oder du nimmst deinen GTR dazu. Mit dem GTR hast du zwei Möglichkeiten. Lösung im GRAPH-Menü durch Nullstellenbestimmung oder du benutzt das EQUA-Menü.
Nr. 3
e)
Die Rotationskörper sind Kegel. Es gilt:
Nr. 2
d)
Überprüfe dein Ergebnis mit dem Arbeitsblatt links.
Nr. 5
weiter f)
Casio-GTR:
GRAPH-F6-F5-F1
EQUA-F2-F1-F1
oder
EQUA-F3-F6 (ist am schnellsten)
Aufgabe 2
Auf der Strecke [AB] des gleichseitigen Dreiecks ABC liegt der Punkt P und auf der Strecke [AC] wandern die Punkte Qn.
Es gilt:
a)
Zeichne das Dreieck ABC und Das Dreieck APQ1 für = 40°.
b)
Aus welchem Intervall kann man wählen, sodass Dreiecke APQn existieren?
c)
Zeige, dass sich die Länge der Strecken [PQn] so in Abhängigkeit von darstellen lässt:
d)
Berechne die Belegungen von und , für welche die Strecken [PQ1] bzw. [PQ2] die Länge cm haben.
e)
Die Strecke [PQ3] hat minimale Länge. Gib die Belegung von an.
f)
Berechne den Flächeninhalt der Dreiecke APQn in Abhängigkeit von .
[Ergebnis: ]
g)
Berechne die Belegung von , für die das Dreieck APQ4 einen Flächeninhalt von cm² hat.
h)
Aus dem Dreieck ABC werden Dreiecke APQn herausgeschnitten. Die Restflächen rotieren um AB als Achse. Dabei entsteht ein Doppelkegel, aus dem Doppelkegel herausgeschnitten sind. Zeige, dass sich das Volumen der Rotationskörper wie folgt in Abhängigkeit von darstellen lässt:
i)
Berechne die Belegung von , für die der Rotationskörper in h) 50 % des Volumens des durch Rotation entstandenen Doppelkegels hat.
k)
Stelle den Oberflächeninhalt des Rotationskörpers in h) in Abhängigkeit von dar.
1
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6
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9
Nr. 1
a)
Du kannst den roten Punkt Qn mit der Maus bewegen,
b)
Die Intervallgrenzen für kannst du im Arbeitsblatt links beobachten. Wenn Qn auf C liegt, dann ist der Winkel am größten. Du berechnest die rechte Intervallgrenze mit dem Sinussatz im Dreieck APC. Dazu benötigst du die Länge der Strecke [PC].
Nr. 8
k)
Hier ist es notwendig drei Mantelflächen zu berechnen.
Mantelfläche M1, wenn Dreieck AMC um AB rotiert:
Mantelfläche M2, wenn Dreieck AFQn um AB rotiert.
Nr. 7
weiter i)
Um diese Gleichung zu lösen war ziemliche Algebra-Artistik notwendig. Mit dem Gleichungslöser im EQUA-Menü oder mit Nullstellenbestimmung im GRAPH-Menü deines Casio-GTR geht es wesentlich schneller und leichter.
Nr. 6
i)
50 % von VK1= 27
Nr. 5
weiter h)
Doppelkegel durch Rotation von Dreieck APQn um AB:
Rotationskörper durch Rotation von Viereck PBCQn um AB:
Nr. 4
weiter g)
h)
Doppelkegel durch Rotation von Dreieck ABC um AB:
Kennst du die Volumenformel für den Doppelkegel?
Nr. 3
e)
Das Lot von P auf die Strecke [AC] hat minimale Länge. In diesem Fall ist das Dreieck APQ3 rechtwinklig, d.h. über die Winkelsumme im Dreieck errechnest du =30°.
f)
Den Flächeninhalt des Dreiecks APQn berechnest du mit der Sinusformel.
. Die Länge der Strecke [BD] beträgt 6 cm. 
cm². Berechne das zugehörige Winkelmaß 
= 40°. 
und 
, für welche die Strecken [PQ1] bzw. [PQ2] die Länge 
cm haben. 
]
cm² hat. 
