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Trigonometrie 29
Funktionale Abhängigkeiten bei Rotationskörpern
(Wahlpflichtfachgruppe I)

 
     
  Aufgabe 1

Der Punkt D ist Mittelpunkt der Basen [AnCn] von gleichschenkligen Dreiecken AnBCn. Die Winkel C nBAn haben das Maß . Die Länge der Strecke [BD] beträgt 6 cm.
 
     
 
a)

Zeichne das Dreieck A1BC1 für = 50°.

   
b)

Aus welchem Intervall kann man wählen?

   
c) Zeige, dass sich die Längen der Strecken [AnCn] bzw. [BAn] wie folgt in Abhängigkeit von darstellen lassen:

   
d)

Im Dreieck A2BC2 beträgt die Länge der Basis [A2C2] 75 % der Länge der Strecke [A2B]. Berechne das zugehörige Winkelmaß .

   
e)

Die Dreiecke AnBCn rotieren um die Gerade BD als Achse. Dabei entstehen Rotationskörper. Zeige das sich das Volumen bzw. die Mantelfläche der Rotationskörper wie folgt in Abhängigkeit von darstellen lassen:


   
f) Einer der Rotationskörper hat eine Mantelfläche von 18cm². Berechne das zugehörige Winkelmaß .
 
     
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Aufgabe 2

Auf der Strecke [AB] des gleichseitigen Dreiecks ABC liegt der Punkt P und auf der Strecke [AC] wandern die Punkte Qn.

Es gilt:

 
     
 
a)

Zeichne das Dreieck ABC und Das Dreieck APQ1 für = 40°.

   
b) Aus welchem Intervall kann man wählen, sodass Dreiecke APQn existieren?
   
c) Zeige, dass sich die Länge der Strecken [PQn] so in Abhängigkeit von darstellen lässt:

   
d) Berechne die Belegungen von und , für welche die Strecken [PQ1] bzw. [PQ2] die Länge cm haben.
   
e) Die Strecke [PQ3] hat minimale Länge. Gib die Belegung von an.
   
f) Berechne den Flächeninhalt der Dreiecke APQn in Abhängigkeit von .

[Ergebnis: ]
   
g) Berechne die Belegung von , für die das Dreieck APQ4 einen Flächeninhalt von cm² hat.
   
h) Aus dem Dreieck ABC werden Dreiecke APQn herausgeschnitten. Die Restflächen rotieren um AB als Achse. Dabei entsteht ein Doppelkegel, aus dem Doppelkegel herausgeschnitten sind. Zeige, dass sich das Volumen der Rotationskörper wie folgt in Abhängigkeit von darstellen lässt:

   
i) Berechne die Belegung von , für die der Rotationskörper in h) 50 % des Volumens des durch Rotation entstandenen Doppelkegels hat.
   
k) Stelle den Oberflächeninhalt des Rotationskörpers in h) in Abhängigkeit von dar.
 
     
 
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Diese Seite wurde zuletzt am Sonntag 8 November, 2009 13:20 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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