Geometrie mit Spaß lernen

 
Berechnung des Kugelvolumens
 
     
  Falls das Applet nicht oder nur teilweise sichtbar ist, klicke mit der Maus irgendwo außerhalb dieses Fensters hin und kehre dann zurück.  
     
 
 
   
  Um das Volumen einer Halbkugel vom Radius r (im Applet links oben) herauszufinden, verwendet man einen Vergleichskörper (rechts oben), dessen Volumen einfacher zu berechnen ist: Es handelt sich um einen geraden Kreiszylinder mit Radius r und Höhe r, aus dem ein gerader Kreiskegel, ebenfalls mit Radius r und Höhe r, herausgenommen wurde.

Es lässt sich nun zeigen, dass die Halbkugel und der Vergleichskörper das gleiche Volumen besitzen. Dazu stellt man sich vor, dass beide Körper parallel zur jeweiligen Grundfläche durchgeschnitten werden. Im Fall der Kugel entsteht als Schnittfläche ein Kreis (grün), im Fall des Vergleichskörpers ein Kreisring (orange). Der Abstand (h) der Schnittebene von der Ebene der Grundfläche kann jeden Wert zwischen 0 und r annehmen. Durch Ziehen der Maus mit gedrückter Maustaste lässt sich im Applet dieser Abstand h verändern. Im unteren Teil sind die beiden Schnittflächen in wahrer Größe zu sehen.

Wenn man r und h kennt, lassen sich die Inhalte der beiden Schnittflächen leicht berechnen.

Für den Inhalt der grünen Schnittfläche ergibt sich zunächst A1 = s2p. Da das eingezeichnete Dreieck links oben im Applet rechtwinklig ist, erhält man nach Pythagoras s2 + h2 = r2, das heißt s2 = r2 - h2. Daher hat die grüne Schnittfläche den Inhalt A1 = (r2 - h2) p.

Noch einfacher ist die Rechnung für die orange gezeichnete Schnittfläche: Man nimmt den Inhalt der äußeren Kreisfläche minus den Inhalt der inneren Kreisfläche und erhält A2 = r2p - h2p = (r2 - h2) p.

Die Inhalte der beiden Schnittflächen stimmen also tatsächlich überein, und zwar für jeden Wert von h zwischen 0 und r. Nach dem Prinzip von Cavalieri (siehe rechts und unten) muss folglich auch das Volumen der Halbkugel gleich dem Volumen des Vergleichskörpers sein.

VHalbkugel = VVergleichskörper = VZylinder - VKegel = r2p · r - (1/3) r2p · r = (2/3) r3p

Wenn man das Volumen einer ganzen Kugel berechnen will, ist dieses Ergebnis noch zu verdoppeln. Somit lautet die endgültige Formel:

 
     
 
V = (4/3) r3 p

 
 
 
     
 
 
     
Diese Seite wurde zuletzt am Mittwoch 29 März, 2006 22:12 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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Bonaventura Francesco Cavalieri wurde 1598 in Mailand geboren und starb am 30.11.1647 in Bologna.

Er war mathematisch Autodidakt und beschäftigte sich mit Mathematik intensiv ab etwa 1614. Seine glänzende Fortschritte erregten Aufsehen, und 1619 wurde ihm vertretungsweise eine Professur in Pisa übertragen. Ab 1616 Mitglied des Jesuitenordens, war Cavalieri aber nicht auf eine akademische Laufbahn angewiesen. Im Auftrag das Ordens wirkte er 1620-1623 in Mailand, ab 1623 war er Prior erst in Lodi, dann in Pirma bis 1629. Danach lebte er in Bologna. Die ersten veröffentlichten Schriften Cavalieris stammen aus dem Jahre 1632. In "Lo speccio ustorio" behandelte er Probleme der Mechanik, u.a. die Fallinie. Im "Direktorium generale" fand Cavalieri als sein wichtigstes Ergebnis den Flächeninhalt des sphärischen Dreiecks. Fast genau die gleichen Probleme erläuterte er nochmals in der "Trigonometria plana" von 1643. Hauptwerk Cavalieris war die berühmte "Geometria indivisibilibus" die 1635 erstmals veröffentlicht wurde.

Neben den angeführten Werken sind auch astronomische Schriften und ausgezeichnete trigonometrische Tafeln von Cavalieri bekannt.

Prinzip von Cavalieri

Zwei Körper sind volumengleich, wenn sie folgende Bedingungen erfüllen:

  • Die Grundflächen sind inhaltsgleich und liegen in derselben Ebene.
  • Die Deckflächen sind inhaltsgleich und liegen in einer Ebene.
  • Jede Parallelebene zur Grundebene schneidet aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen aus.
Der Satz von Cavalieri

Zwei gleich hohe Körper sind volumengleich, wenn sie in jeweils gleicher Höhe flächengleiche Querschnitte haben.
 

Eine anschauliche Begründung kann mit Hilfe eines Bücherstapels (siehe Applet links) geliefert werden, da zum Beweis des Satzes die Integralrechnung vorausgesetzt werden müsste. Man bildet mit den Büchern einen Quader, der dann verformt werden kann. Der Bücherstapel veranschaulicht die Zerlegung eines Körpers in (unendlich) dünne Scheiben. Alle so erzeugten Körper sind volumengleich, da die einzelnen Bücher (Scheiben) jeweils kongruent sind.

Im Applet links ist ein Bücherstapel dargestellt. Du kannst mit den Buttons den Stapel nach links oder rechts verschieben (verschrägen). Am Gesamtvolumen der Bücher ändert sich nichts. Das ursprüngliche gerade Prisma und das erzeugte schiefe Prisma sind volumengleich. Du kannst aber auch mit der Maus einzelne Bücher ein Stück aus dem Stapel ziehen. Der so erzeugte unregelmäßige Körper ist immer noch volumengleich mit dem ursprünglichen geraden Prisma (Quader).